Wiener Hermite 展開を用いたゆらぎの成長の記述 天文学教室４年 望月悠紀 ゆらぎの非線形性に関する一考察 Wiener Hermite 展開を用いたゆらぎの成長の記述 天文学教室４年 望月悠紀

目次 １．背景 ２．考察の目的 ３．準備 ４．手法の紹介と方程式の導出 ５．数値計算の結果 ６．結果の考察 ７．まとめ ８．今後の発展

１．背景(1)～宇宙のゆらぎの成長 宇宙初期において、ごく小さな密度ゆらぎ この密度ゆらぎが少しずつ成長 →密度の濃いところと薄いところができる。 濃いところには星や銀河などの構造ができる。 密度ゆらぎが成長して、我々の銀河などができる

１．背景(2)～ゆらぎには…～ 密度ゆらぎの成長にはたくさんの情報が含まれている！例えば… などなど、色々なことがわかる！ ダークマター、ダークエネルギー、バリオン密度などの宇宙論パラメータの決定 ニュートリノの質量に制限 　　　　　　　　　　　などなど、色々なことがわかる！

１．背景(3) ～密度ゆらぎから宇宙論パラメータ決定～ 銀河の２点相関関数 　（銀河が空間的にどのように群れ集まっているかを表す） →→バリオン音響振動の名残りが成長したもの ゆらぎの成長モデルが理論的に分かれば、この観測結果にあうように、宇宙論パラメータを決めることができる。 →ゆらぎの成長モデルが要　る ＳＤＳＳ赤方偏移サーベイ 100h-1Mpc付近に特徴的な盛り上がり！ z～0.35 Eisenstein et al. (2005)

１．背景(4) ～密度ゆらぎからニュートリノ質量制限～ ニュートリノの質量制限 ニュートリノは、速度分散が非常に大きい。 →重力で粒子が集まろうとしても、すぐどこかにいってしまう。 →ニュートリノがゆらぎの成長を抑制。 ゆらぎの成長モデルが理論的に分かれば、観測と合うようにニュートリノの質量に制限をかけることができる。 やはり、密度ゆらぎの成長モデルが必要！！ ニュートリノなし ニュートリノあり ニュートリノのような軽くて無衝突な粒子がこんなにゆらぎをならしてしまう！ 空間スケール小 （東京大学　斎藤俊）

２．本考察の目的 精密な密度ゆらぎの成長モデルはまだ誰も作れ ていない！ 　　宇宙論パラメータの決定、ニュートリノの質量制限のための密度ゆらぎの成長モデルがほしいが… 精密な密度ゆらぎの成長モデルはまだ誰も作れ　　　　　　　　　　ていない！ →→→まずは、ダークマターの密度ゆらぎを、非線形性も考慮したモデルの構築！ 世界一精密がいい。二位ではだめ。

３．準備 宇宙のダークマターを流体粒子と考える。 膨張宇宙における流体力学の基礎方程式 連続の式 オイラー方程式 ポアソン方程式 さらに、速度ポテンシャルψ を導入し、そしてフーリエ変換

フーリエ変換後 これで準備は整った。ここからオリジナル。

４． Wiener Hermite展開 Wiener Hermite 展開の方法 かつて、乱流現象を記述するために使われた摂動展開の一つ。 Ｈは関数値がランダムな値をとる確率関数（ただし、分布はガウス分布になるようなもの）。これを基底に。 これを先の、フーリエ変換した式に代入し、アンサンブル平均をとると４元連立微分積分方程式が出てくる。

計算する４元微分積分方程式

とにかく、 のA1とC1の数値が主要な項なので、ここを数値計算によって求める。方法は４次のRunge-Kutta法。

５．数値計算の結果 パワースペクトルP(k) z～0.7 z～0.8 z～1.3 z～2 z～3 k [hMpc-1]

数値計算の結果(2) 波数が小 波数が大

６．結果の考察（物理的に正しいか？） 宇宙は大きいスケールになるほど一様で等方だと考えられる。 →つまり、波数の小さいところでは、線形理論とほとんど同じであることが予想される。 Wiener Hermite 展開で （１次の項）＞＞（２次の項） になっているか？

数値計算の結果は物理的に非常に正しいと思われる！

７．まとめ 密度ゆらぎの精密なモデルを作ろうと試みた。 特に、Wiener Hermite展開を使ってオリジナルのゆらぎの成長モデルを考案した。 数値計算の結果を物理的に解釈すると、この方法は正しいと言える。 →→→密度ゆらぎの成長モデルの構築に成功

８．今後の発展 数値計算をより精密に。 →積分の刻み幅、積分の上限の打ち切りなどをより正確にしたい。 数値計算の結果を他の理論モデルと比較 数値計算の結果を観測と比較 バリオンのゆらぎの成長のモデルも作る 宇宙論パラメータの決定、ニュートリノの質量制限に結びつけたい！

参考文献 二間瀬敏史・池内了・千葉柾司　シリーズ・現代の天文学宇宙論Ⅱ（日本評論社） Atsushi Taruya (2000) Stochastic Biasing And Weakly Nonlinear Evolution Of Power Spectrum Toshifumi Futamase, Takuya Matsuda (1979) Spectrum evolution of primordial cosmic turbulence Tsutomu Imamura, Wiliam C. Meechan (1963) Symbolic Calculus of the Wiener Process and Wiener-Hermite Functionals Komatsu et al. (2010) Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Cosmological Interpretation Bruce A. Bassett & Renee Hlozek (2009) Baryon Acoustic Oscillations Masahiro Takada, Eiichiro Komatsu, Toshifumi Futamase (2006) Cosmology with High-redshift Galaxy Survey: Neutrino Mass and Inflation 今村勤　応用数学講座 Wiener-Hermite 展開

感謝１ ４年生のみなさんに感謝します。 　呑んだり、風呂行ったり、呑んだり、屋上で呑んだり、芋煮したり、花見したり、花見の場所取りをＭ２から頼まれたり… 　本当に楽しい思い出をありがとうございました！

感謝２ 続いて、２人の先生方に。 まずは秋山先生。 　　主に活動銀河のゼミでした。先生の熱心なゼミのおかげで、勉強が楽しくできました。本当にありがとうございました。 そして、二間瀬先生。 　　　宇宙論の知識がまったくない私をビシビシ鍛えてくださいました。毎日のように質問に行く私に時間をとって議論していただきました。本当にありがとうございました。

ここで、二間瀬大先生にメッセージがあります。 早く… 私の… 名前を…

…… 覚えてください！！っちゅう。

ご清聴ありがとうございました

補遺 計算ルール