６．３ ２次元ＤＦＴ （１）２次元ＤＦＴとは 画像のような２次元信号をサンプリングしたデータを ２次元ＤＦＴを ６．３　２次元ＤＦＴ （１）２次元ＤＦＴとは 画像のような２次元信号をサンプリングしたデータを ２次元ＤＦＴを とすると，以下のように定義される。

（２）方式 定義式は次のように変形できる すなわち， 方向により１次元DFTのあと， 方向による１次元 ＤＦＴを行えばよい。 … … …

（３）周波数の並べ方 １次元の場合，直流分を左に配置するが， ２次元の場合，直流分を中央に配置するのが便利 … … … … 画像の場合，通常 通常のＤＦＴにおける周波数配置 … … … … 負の周波数に対応させる

中央にシフトする方法 として， に を乗ずる。 したがって，次のような式として処理する。

VBAでの記述　準備 Ｘの値を保存する「Ｘ」，「Ｙ」，「Ｚ」シートを用意する。

VBAでの記述 ②データ宣言 Private Const Max = 100 Private X(Max, Max) As Complex Private Y1(Max, Max) As Complex Private Y2(Max, Max) As Complex Private Z1(Max, Max) As Complex Private Z2(Max, Max) As Complex

VBAでの記述 ③データの設定 （色々な関数を設定して確かめてみよう） Private Sub 関数0() DX = 0.3 For j = 0 To Max XX = (j - Max / 2) * DX For k = 0 To Max YY = (k - Max / 2) * DX R = Sqr(XX * XX + YY * YY) If R < 0.00001 Then V = 1 Else VV = Sin(R) V = Sin(R) / R End If X(j, k) = SetC(V, 0) Next End Sub

VBAでの記述 ④結果設定（１） Sub 結果設定() With Worksheets("X") For k = 0 To Max .Cells(1, k + 2) = k Next For j = 0 To Max .Cells(j + 2, 1) = j .Cells(j + 2, k + 2) = X(j, k).実部 End With

VBAでの記述 ⑤結果設定（２） With Worksheets("Y") For k = 0 To Max .Cells(1, k + 2) = k Next For j = 0 To Max .Cells(j + 2, 1) = j .Cells(j + 2, k + 2) = Y2(j, k).実部 End With

VBAでの記述 ⑥結果設定（３）とＣｌｉｃｋイベントハンドラ With Worksheets("Z") For k = 0 To Max .Cells(1, k + 2) = k Next For j = 0 To Max .Cells(j + 2, 1) = j .Cells(j + 2, k + 2) = Z2(j, k).実部 End With End Sub Sub ボタン1_Click() 関数0 DFT IDFT 結果設定

VBAでの記述 ⑦２次元ＤＦＴ（１） Private Sub DFT() ' 2次元DFT m = Max: ARG= -6.28318530717959 / m For k = 0 To m For N = 0 To m DD = (-1) ^ (k + N) Y2(k, N).実部 = X(k, N).実部 * DD Y2(k, N).虚部 = X(k, N).虚部 * DD Next For I = 0 To m - 1 For k = 0 To m - 1 Y1(I, k) = SetC(0, 0) For N = 0 To m - 1 Y1(I, k) = AddC(Y1(I, k), MultC(Y2(I, N), ExpJ(ARG * N * k))) Y1(I, Max) = Y1(I, 0)

VBAでの記述 ⑧２次元ＤＦＴ（２） For I = 0 To m - 1 For k = 0 To m - 1 Y2(k, I) = SetC(0, 0) For N = 0 To m - 1 Y2(k, I) = AddC(Y2(k, I), MultC(Y1(N, I), ExpJ(ARG * N * k))) Next Y2(Max, I) = Y2(0, I) End Sub

VBAでの記述 ⑨２次元ＩＤＦＴ（１） Private Sub IDFT() ' 逆2次元DFT m = Max: ARG = 6.28318530717959 / m For I = 0 To m - 1 For k = 0 To m - 1 Z2(I, k) = SetC(0, 0) For N = 0 To m - 1 Z2(I, k) = AddC(Z2(I, k), MultC(Y2(I, N), ExpJ(ARG * N * k ))) Next Z2(I, Max) = Z2(I, 0) For I = 0 To m For k = 0 To m Z2(I, k) = DivR(Z2(I, k), m)

VBAでの記述 ⑩２次元ＩＤＦＴ（２） For I = 0 To m - 1 For k = 0 To m - 1 Z1(k, I) = SetC(0, 0) For N = 0 To m - 1 Z1(k, I) = AddC(Z1(k, I), MultC(Z2(N, I), ExpJ(ARG * N * k))) Next Z1(Max, I) = Z1(0, I) For I = 0 To m For k = 0 To m Z1(I, k) = DivR(Z1(I, k), m)

VBAでの記述 ⑪２次元ＩＤＦＴ（３） For k = 0 To m For N = 0 To m DD = (-1) ^ (k + N) Z2(k, N).実部 = Z1(k, N).実部 * DD Z2(k, N).虚部 = Z1(k, N).虚部 * DD Next End Sub

実行して等高線グラフにすると．．． FFTの結果を逆FFTすると元に戻っていることが分かる

（４）画像データのフーリエ変換 まず，写真データをＤＦＴ用のデータに… ＶＢ６，ＶＢ．Ｎｅｔ等を使えば 写真を読み込んで白黒写真にし ＤＦＴ用のデータにすることができる

以下は，ＶＢ６でピクチャボックスに読み込まれた画像を 白黒写真に変換し，ＤＦＴ用のデータに変換するプログラムである。 Public 画像DT(100, 100) As Double Public Sub window(P As PictureBox, X1, Y1, X2, Y2) With P .ScaleLeft = X1 .ScaleTop = Y1 .ScaleWidth = X2 - X1 .ScaleHeight = Y2 - Y1 End With End Sub Private Sub 白黒変換() Dim X1 As Double Dim C As Double Dim C1 As Double Dim C2 As Double Dim C3 As Double window Picture2, 0, 0, 100, 100 W = Picture1.ScaleWidth H = Picture1.ScaleHeight 　DW = W / 100: DH = H / 100 For I = 0 To 100 For J = 0 To 100 X = DW * J: Y = DH * I C = Picture1.Point(X, Y) 　　Picture2.Line (J, I)-(J + 1, I + 1), C, BF 　　If C < 0 Then 　 X = 255 　　Else C1 = (C \ 256) \ 256 C2 = (C \ 256) Mod 256 C3 = C Mod 256 X = (C1 + C2 + C3) / 3 End If Picture2.Line (J, I)-(J + 1, I + 1), RGB(X, X, X), BF 画像DT(I, J) = X Next End Sub

画像のフーリエ変換 画像データのフーリエ変換と逆フーリエ変換結果

色々な２次元フーリエ変換（１）

色々な２次元フーリエ変換（２）

色々な２次元フーリエ変換（３）

色々な２次元フーリエ変換（４）

色々な２次元フーリエ変換（５）