節集合 (set of clauses) 認知システム論 知識と推論（５） 一階述語論理による知識表現の技法 節集合への変換 認知システム論　知識と推論（５） 知識と論理で問題を解決する 節集合 (set of clauses) 一階述語論理による知識表現の技法 節集合への変換

復習(1/3) 個体記号 個体記号 オブジェクト（個体）を表現 A 述語記号 （１変数） オブジェクトの性質(property)を命題として表現 Mortal A is mortal. A 述語記号 （2変数） オブジェクト間の関係(relation)を命題として表現 A is a friend of B. A B 関数記号 オブジェクト間の関数(function)を表現 名前の ない要素 A father of A

復習(2/3) 項 原子式

復習(3/3) 限量子： 全称記号 「すべての x について」 (for all x , …) 存在記号「ある x が存在して」 限量子： 　 全称記号 「すべての x について」 (for all x , …) All 存在記号「ある x が存在して」 (there exists x such that …) Exists

述語論理による知識表現の技法

表現の技法(1/9) 定義域 定義域（オブジェクトの世界）を決定する D = {Jack, Elizabeth，...} :いろいろな人の集合 D = {0, 2, π,1+2i, ...} : すべての数の集合 　ここまでで，一階述語論理の構文論と意味論という形式的な理論は学んだことになるが，実際問題としては，与えられた知識をいかにして記号的に表現するかということは，基本的には人間が行うべき仕事である．この仕事は，案外むずかしい．しかし，一階述語論理は論理的な「言語」なので，我々の使う日本語や英語などの自然言語（特に，「論理」発祥の地であるギリシャの流れをもつヨーロッパ系の言語）との関連を理解すると，表現のコツがつかめてくる． 　まず，いろいろな概念や事物を４種類のどの記号で表現したらよいかを考えておこう．その場合，各記号には「解釈」を通して意味を付与することとなるが，その解釈の基盤となる定義域Ｄを事前に具体的に決定しておく必要がある．

表現の技法(2/9) 個体記号（定数） 固有名詞，数詞は個体記号（定数）で表現 Jack, Mickey，Sapporo 2, π 点P，直線L，三角形ABC 　このスライドでは，個体記号（定数）で表現すべきものの例を示している．個体記号は定義域Ｄ内の個別の要素を表すものなので，固有名詞や数詞など，個々のオブジェクトを表すものは，個体記号（定数）で表すのが自然である．

表現の技法(3/9) 述語記号 普通名詞，形容詞，動詞は述語記号で表現 DOCTOR(x): x is a doctor. INT(x): x is an integer. RED(x): x is red. GREATER(x, y): x is greater than y. ON(x, y): Point x lies on Line y. LOVES(x, y): x loves y. PRODUCT(x, y, z): The product of x and y is z. 　「述語記号」の「述語」という言葉は，主語・述語というときの「述語」のことであり，英語の文法的には動詞や（be動詞＋）形容詞がそれにあたる．そのほか，普通名詞も述語記号にするとうまくいくことが多い． 　動詞は主語や目的語などと共に用いられる用法が決まっているので，それに応じた変数（引数）の数をもつ述語記号にする．たとえば，love という動詞は，S loves O のように「主語＋loves+目的語」で使用されるので，２変数の述語記号LOVESを導入して LOVES(S, O) のように記述する． 　形容詞は，「主語＋be動詞＋形容詞」の形で用いられ，主語の性質を表すので，主語を引数とする１変数述語記号にすることが多い．たとえば，S is red は RED(S) のように表現される． 　普通名詞（たとえば，「医師」）というのは，特定の個人や事物を表しているものではなく，各個人あるいは事物の性質（属性，プロパティ）を表しているものなので，すでに学んだ意味論での議論によると，それは命題（たとえば，「○○は医師である」）を表すための述語記号を導入するのが良いのである．たとえば，S is a doctor は DOCTOR(S) あるいは IS-DOCTOR(S) などのように表現される．

表現の技法(4/9) 関数記号 MOTHER(x, y): y is the mother of x. ２変数以上の述語で１つの引数が他の引数から 一意に決定できる MOTHER(x, y): y is the mother of x. SUCCESSOR(x, y): y is the successor of x (y=x+1). MID(x, y, z): z is the midpoint of x and y. 関数記号で表すことも可能 the 普通名詞 of は関数記号で表現 mother(x): the mother of x s(x): the successor of x (= x + 1) mid(x, y): the midpoint of x and y 　２変数以上の述語で，１つの引数が他の引数から一意に決定できる場合には，関数記号を用いても良い．その指針は，英語の「the + 普通名詞 + of 」のような定冠詞(the)を用いた表現によって，特定の事物から一意に定まるオブジェクトを表しているかどうかである．たとえば，mother(x) は「xの母」を表す．どの人物xも，（生みの）母というのは唯一に定まるからである． 　もちろん，述語記号を用いて， 　　　MOTHER(x, y): y is the mother of x のように表現することも可能であるが，この場合，y が x から一意に定まるオブジェクトであることは，コンピュータにはわからない．（もちろん，応用上，それで良いなら問題はない．）

表現の技法(5/9) ∀と→の組合せ 「P は Q である」 という一般的な叙述は，(∀x)( P(x) → Q(x) ) のパターン使う． (1) 花は美しい． Flower is beautiful. (∀x)( FLOWER(x) → BEAUTIFUL(x) ) (2) 偶数は２で割り切れる． Every even number is divided by 2. (∀x)( EVEN(x) → DIVIDES(s(s(0)), x) ) 　全称記号や存在記号自体の意味は単純なものだが，他の論理的記述とからんでくると表現がむずかしくなってくる．このスライドでは，全称記号の典型的な使用パターンを学んでおこう． 　ＰとＱが普通名詞や形容詞など，述語記号で表現できるものであるとする．このとき， 　　　「ＰはＱである」 というタイプの叙述が知識として良く使われる．そのような知識の表現は 　　　 (∀x)( P(x) → Q(x) ) とするのが一般的である．すなわち，直訳すると， 　　　「任意のxについて，xがＰという性質をもつならば，xはＱという性質をもつ」 というように表現する．全称記号∀と含意記号→の組合せは相性が良いので，よく組み合わせて用いられる．

表現の技法(6/9) ∃と∧の組合せ 「 a ＋普通名詞」 は，∃ と ∧ の組合せを使う． 　 ジャックはある女性を愛している． Jack loves a woman. (∃w)(WOMAN(w) ∧LOVES(Jack, w)) 　存在記号は，不定のあるオブジェクトを指し示しているので，英語では 　　　 「不定冠詞(a, an)＋普通名詞」 あるいは，さらに，普通名詞が形容詞で修飾されて 　　　「不定冠詞(a, an)＋形容詞＋普通名詞」 で表されることが多い．そのときは，変数xを(∃x)のようにして導入し，xの満たすべき性質（形容詞や普通名詞を記号化した述語）をANDで結合すればよい．このように，存在記号∃はAND記号∧と相性が良い．

「任意のx に対し，あるy が存在し，P(x,y) が成り立つ」 全称記号と存在記号の出現順序が意味をもつ 任意のx に対し，あるy が存在し，P(x,y) が成り立つ P(x,y) a b c T F y x 　一般に，全称記号と存在記号の出現順序は，きわめて重要である．順序によって意味が異なってくるのである． 　このスライドの例の場合，（∀x)(∃y）P(x,y)　という論理式は， 「任意のx に対し，あるy が存在し，P(x,y) が成り立つ」 と読むのだが，ここでは， ∀xが∃yの外側（左側）にあることが重要である． 　トランプ手品のような状況を想定するとわかりやすい．まず最初に任意のカードxを誰かに選んでもらう．そうすると，x として何が来ようと，その後，私たち（手品師）はその x に依存してカード y をその都度うまく選ぶことができて，命題 P(x,y) を真として，客を驚かせることができるのである． 　たとえば，解釈の定義域ＤとしてＤ＝｛ａ，ｂ，ｃ｝を考え，述語Ｐをこのスライドの表によって解釈しよう．すると，どのxを最初に選んでも，それに依存して，P(x,y)=T となるようにyを選ぶことができるので，論理式（∀x)(∃y）P(x,y)は真である．

「あるy が存在し，任意のx に対し，P(x,y) が成り立つ」 全称記号と存在記号の出現順序が意味をもつ あるy が存在し，任意のx に対し，P(x,y) が成り立つ P(x,y) a b c T F y x 　こんどは，（∀x）と（∃y）の順序を入れ換えた論理式（∃y)(∀x）P(x,y)　を考えてみる．これは， 「あるy が存在し，任意のx に対し，P(x,y) が成り立つ」 と読むのだが，ここでは， ∃yが∀xの外側（左側）にあることが重要である．さきほどの手品からの類推で言えば，私たちはまず事前にカード y を１つ適切に選んでおく．それ以降は y は固定され，変えることはできない．そうすると，その後は， 誰かに自由に選ばせたカード x として何が来ようと，すべての x に対して，命題 P(x,y) が真となるのである． 　たとえば，解釈の定義域ＤとしてＤ＝｛ａ，ｂ，ｃ｝を考え，述語Ｐをこのスライドの表によって解釈しよう．すると，ｙ＝ｂに選んでおけば，その後，どのｘに対しても，P(x,y)=T となるので，この論理式は真である．

表現の技法(9/9) 技法の組合せ (1) すべての男性はある女性を愛している． Every man loves a woman. (∀m)( MAN(m) → (∃w)(WOMAN(w) ∧LOVES(m, w)) 各男性(m)ごとに，愛している女性(w)が異なる (2) すべての男性が愛する女性がいる． There exists a woman every man loves. (∃w) (WOMAN(w) ∧ (∀m)( MAN(m) → LOVES(m, w)) ) 　これまで学んだ技法を組み合わせた表現を見ておこう． 　（１）の例では，∀mが∃wの外側（左側）にある．まず，任意の男性mを考えると，そのmに依存して女性wが存在して，mはwを愛しているのである．したがって，m=Jackのときはw=Elizabethかもしれないが，mが別の男性のときはwは他の女性かもしれない． 　（２）の例のように， ∃wが∀mの外側（左側）になると，まず，ある女性wが存在することが宣言される．すると，すべての男性mはその女性wを愛しているというのである．すなわち，全男性は特定の１名の女性を愛していることになる．たとえば，敬虔なキリスト教の世界だと，そのwという女性はマリア様かもしれない．あるいは，大学の小さな研究室内で女性が１名しかいない集団を定義域Ｄとすれば，そのようなことがあるかもしれない． 全男性(m)が，特定の１人の女性(w)を愛している

節集合への変換

節形式への変換の概要 一階述語論理の論理式 等価 冠頭標準形 連言標準形 等価ではないが，充足可能性は保存 スコーレム標準形 節集合 １．同値と含意を除去する ２．否定を原子論理式の直前に移す ３．変数名を付け替える ４．冠頭標準形にする 冠頭標準形 連言標準形 ５．連言標準形にする 等価ではないが，充足可能性は保存 スコーレム標準形 　命題論理のところで，すべての命題論理式を連言標準形（ＣＮＦ）に変換し，それを節の集合として表現し，融合原理に基づく推論規則によって，論理的帰結となる節を導出する方法を学んだ．一階述語論理でも同様なことが可能である．今回は，その準備として，任意の一階述語論理式を節集合に変換する方法を学ぼう． 　ただし，その変換は一気にはできない．スライドに示す幾つかのステップをふむ必要がある． ６．スコーレム標準形にする 節集合 ７．節集合にする

冠頭標準形への変換(1) 冠頭標準形 論理式は次の形をしているとき冠頭標準形であるという． ただし，各 は， か であり， 　論理式は次の形をしているとき冠頭標準形であるという． ただし，各 　　　　 　　は， か　　　であり， M は限量子を含まない論理式である． 　冠頭標準形とは， （∀x）や（∃y）のような限量子が，すべて論理式の最も外側（＝左端，頭部）に集まっている形のことである．限量子が集まった部分を前置部，それ以外を母式という．任意の論理式は，それと等価な冠頭標準形に変換できる． 例

休憩

冠頭標準形への変換(2) １．同値と含意を除去する ２．否定を原子の直前まで移す 　この２つのステップは，命題論理のときにも学んだものである．ただし，一階述語論理の場合には，限量子を扱う最後の２つの規則が追加される．この２ステップが終了すれば，論理式からすべての同値記号と含意記号が削除され，否定記号は原子式の直前まで移動されていることになる．

冠頭標準形への変換(3) ３．変数名を付け替える 各限量子に対応する変数が他の限量子に対応する 変数と同じ名前にならないように必要に応じて付 例 ステップ４ 　つぎの第４ステップで限量子を外側に移動する処理を行うのだが，その準備として，必要に応じて限量子の名前を付け替えておく．基本的に，すべての限量子の名前を付け替えて問題がない．ただし，その必要がない場合もあるので，つぎのスライドで示す．

冠頭標準形への変換(4) NOTE M(x): x is a man. W(x): x is a woman. NOTE 下記のケースは付け替えなくても良い 　最初の２つの式は，変数名を付け替える必要性を示している．Ｍ（ｘ）を「ｘは男性である」，Ｗ（ｘ）を「ｘは女性である」と解釈すると，各論理式の意味はつぎにようになる． 　（∀ｘ）Ｍ（ｘ）∨（∀ｘ）Ｗ（ｘ）：「全員が男性または全員が女性である」（たとえば，混浴でない風呂場） 　（∀ｘ）（Ｍ（ｘ）∨ Ｗ（ｘ））：「全員が男性または女性である」（中性がいない普通の状況） 　（∃ｘ）Ｍ（ｘ）∧（∃ｘ）Ｗ（ｘ）：「男性も女性も少なくとも１名存在する」（男女混合ダブルス） 　（∃ｘ）（Ｍ（ｘ）∧ Ｗ（ｘ））：「男性かつ女性であるオブジェクトが存在する」（両性か！） 　（∀ｘ）Ｍ（ｘ） ∧ （∀ｘ）Ｗ（ｘ）＝ （∀ｘ）（Ｍ（ｘ） ∧ Ｗ（ｘ）） ：「全員が男性かつ女性である」（全員が両性生物の世界） 　（∃ｘ）Ｍ（ｘ）∨ （∃ｘ）Ｗ（ｘ） ＝（∃ｘ）（Ｍ（ｘ）∨ Ｗ（ｘ）） ：「男性または女性が存在する」（普通の人が１人でもいる世界）

冠頭標準形への変換(5) ４．冠頭標準形にする 限量子を外側(左側)に移動する 　このスライドの３，４番目のケースは２つの限量子が同じでもよいが，それ以外の場合は，限量子を変数名を必要に応じて付け替えながら，それぞれ外側へ移動する．

冠頭標準形への変換(5) 例 　冠頭標準形に変換する例題．

連言標準形への変換(1) リテラル 原子式 はリテラルである． 正リテラル 例 原子式 はリテラルである． 負リテラル 節 原子式　はリテラルである． 正リテラル 例 　　原子式　はリテラルである． 負リテラル 節 リテラルの選言(orで結合したもの） 例 連言標準形 　１個の原子式，または，その否定をリテラルという．とくに，前者を正リテラル，後者を負リテラルという． 　リテラルの宣言(orで結合したもの）を節という． 　節の連言(andで結合したもの）を連言標準形という． 　したがって，連言標準形では最も外側では and 記号が現れて節を結合しており，各節の内部では or 記号がリテラルを結合し，リテラルの内部では not 記号が現れるというように，and, or, not が整然とした入れ子構造の中に配置されている． 節の連言(andで結合したもの） 例

連言標準形への変換(2) ５．連言標準形にする 冠頭標準形 M を連言標準形にする 分配則を使って∨を入れ子の内側へ移動していき，リテラル同士を直接接合するようにする 　すでに得られている冠頭標準形の母式Ｍを，分配則を使って，連言標準形にすることができる．

スコーレム標準形への変換(1) スコーレム標準形 ６．スコーレム標準形にする 冠頭標準形 M が連言標準形 存在記号をすべて除去する ・等価性は失われる ・充足可能性は変わらない スコーレム標準形 　ここまでで，論理式は冠頭標準形になっていて，その母式は連言標準形になっている．ここで，以下のスライドで述べる方法で，すべての存在記号∃を除去した論理式をスコーレム標準形という． 　重要な点は，この変形によって論理式の等価性は失われるということである．なぜなら， ∃を除去するのと引き替えに，その論理式に今まで含まれていなかった新しい個体記号（定数）や新しい関数記号を導入することになるからである． 　しかし，変換前の論理式と変換後の論理式では，充足可能性は変わらない．一方が充足可能なら，他方も充足可能である．また，一方が充足不能なら，他方も充足不能である．論理式が事前知識の論理的帰結かどうかは，命題論理のときと同様に，等価性の判定ではなく，充足可能性の判定に帰着されるので，それを目的とする場合には，この変形が有用なのである． スコーレム標準形への変換手順： 　最も左にある存在記号に着目し，以下の処理（つぎの２つのスライド）を存在記号がなくなるまで繰り返す

スコーレム標準形への変換(2) のとき １．M に現れない新しい定数 a を任意に選び，M中のすべての を a で置き換える． a をスコーレム定数という． ２． を前置部から除去する 例 　スコーレム標準形への変換は，論理式の中の存在記号∃のうち，最も左にあるものに着目し，それを除去する．その存在記号のさらに左に全称記号∀があるかないかで，２つのケースがある． 　このスライドは，除去する （∃x1）のさらに左に全称記号∀がない場合，スコーレム定数というこれまで論理式に含まれていなかった新しい定数（たとえば，a）を導入し，母式の中のx1をそれで置き換えることを示している．

スコーレム標準形への変換(3) のとき １．M に現れない新しい関数記号 f を任意に選び，M中のすべての を　　　　　　　で置き換える．f をスコーレム関数という． ２． を前置部から除去する 例 　除去する （∃xk）のさらに左に全称記号∀がある場合，スコーレム関数というこれまで論理式に含まれていなかった新しい関数記号（たとえば，f ）を導入し，その引数に （∃xk）の左側に出現している各∀の右にあるすべての変数を書き込んだ項で母式の中のxkを置き換える．

節集合への変換 ７．節集合にする スコーレム標準形 M が連言標準形 Ｍに含まれている節を集める 節集合 例 　ここまで来れば，母式の中のすべての節を集めた集合が節集合となる． 　節集合に含まれるそれぞれの節の中の変数 x は，暗黙裏に，(∀x)で限量されていることに注意しよう．すなわち，「 任意の x について．．．」と読むわけである．