第５回 ディジタル回路内の数値表現 瀬戸 ディジタル回路内部で，数を表現する方法（２進数）を学ぶ １０進数⇔２進数⇔１６進数の変換ができる ２のべき乗を、K,　M,　Gを使ってすぐに表せる ２の補数表現を説明できる １０進数⇔２の補数表現の変換ができる http://www.ee.tcu.ac.jp/lectures/digital/index.html ユーザ名： tcu　　　パスワード： seto

数 非負 の整数 整数 正負 の整数 固定 小数点数 小数 浮動 小数点数 ディジタル回路内で使用される数の分類 0,1,2,3,... 本講義で学習 　非負 　の整数 0,1,2,3,... 符号 なし 整数 正負 の整数 ...,-2,-1,0,1,2,... 符号 つき 数 固定 小数点数 1.52 固定 小数 浮動 小数点数 1.52 移動

１０進数、２進数、１６進数 １０進数 (decimal number) 日常的に使用している数 ２進数 (binary number) 0～9 の１０種類の数字 200810年 ２進数 (binary number) コンピュータ、ディジタル回路の中で使用 0, 1の２種類の数字　（1 ... Hレベル, 0 ... Lレベル） 111110110002年　（長くて，見にくい...） １６進数 (HEXadecimal number) ２進数を短く表示するために使用 0～9, A, B, C, D, E, Fの１６種類の文字 7D816年

そもそも１０進数って？ （復習） 2008 =(2x103)+(0x102)+(0x101)+(8x100) そもそも１０進数って？　（復習） 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9の９個の数字を使用 例 2008 =(2x103)+(0x102)+(0x101)+(8x100) 1973 =(1x103)+(9x102)+(7x101)+(3x100) １０のべき乗で重み付け 1000の位 100の位 10の位 1の位

本日のテーマ - ２進数 ライプニッツが発明 ドイツの数学者、哲学者 微積分記号の提案 ２進数の提案 本日のテーマ　-　２進数 ライプニッツが発明 ドイツの数学者、哲学者 微積分記号の提案 ２進数の提案 「全ての数を１と０によって表す驚くべき表記法」　(1692年)

符号無し２進数は、どんなものか？ 0, 1の2種類の数字だけを使用　（0以上の数） 符号無し２進数の例 1101 = 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 　　　 　= 8 + 4 + 0 + 1 = 1310 ２のべき乗 8の位 4の位 2の位 1の位 最上位ビット MSB 最下位ビット LSB １０進数への変換： “10進数”を表す

では、符号無し２進数は、どんなものか？ n個のビット列 an-1an-2...a0で以下の数を表す と決める 例：　3ビットの場合、 0 ～ 7 まで表せる

では、16進数は、どんなものか？ 0, ..., 9, A, B, C, D, E, F の16種類の文字を使う 例 1AB= 1 x 162 + A x 161 + B x 160 = 256 + 160 + 11 = 42710 = = = = = = 10 11 12 13 14 15 １６のべき乗 256の位 16の位 1の位 １０進数への変換：

２進数 ⇔ １６進数の変換 (簡単) 7 5 C 11 1010 1011 2進数は長ったらしいので、16進数に変換することが多い 変換例1： 111010111002を16進数に直せ 最下位ビット（ 右 ）から４ビットずつ区切り，変換 111 _ 0101 _ 1100 = 75C 変換例2： 3AB16を2進数に直せ 各数字を，２進数にして，つなげる 3 A B = 1110101011 7 5 C 11 1010 1011

10進数 16進数 2進数 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 10 A 1010 11 B 1011 12 C 1100 13 D 1101 14 E 1110 15 F 1111 符号無し数 の２進表現 のまとめ

+ + ２進数の加算 (ディジタル回路で実行可能） 0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1 1+1 = 10 （1繰上がり） 通常の数（１０進数） と 全く同様の方法で、筆算できる 一桁分の加算 ４ビットの加算 0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1 1+1 = 10 （1繰上がり） 1 0 0 1 910 + 0 1 0 1 510 0 0 1 繰上がり 1 0 0 1 910 + 0 1 0 1 510 1 1 1 0 1410

０，１だけで “もの”を表す方法 （複数） nビットでは、最大 2n 通りの“もの”が表せる 3ビットだと，2×2×2 = 8 通り 例 ０，１だけで “もの”を表す方法　（複数） nビットでは、最大 2n 通りの“もの”が表せる 3ビットだと，2×2×2 = 8 通り 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 例 スイッチの状態 （ １ ビット）　　on: 1, off: 0 ３色（ 2 ビット） アルファベット 26文字　（ 5 ビット = 25 = 32 ） A: 00000, B: 00001, C: 00010, .... 01 10 11

０，１だけでどうやって数を表すのか？ （１） 数も“もの”の一種 nビットでは、 最大2n個の“数”が表せる 3ビットの場合、 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 （= 23 – 1 ） 例 4ビット: 最大 24-1 = 15 ( 1111 ) ８ビット: 最大 28-1 = 255 ( 11111111 ) 「0」の分、 1引いている

よく出る 2nの値 （覚えておく） 任意の2nの簡単な計算法 2ab = 210 x a x 2b 計算例 1 2 4 3 8 16 5 32 6 64 7 128 256 9 512 65536 n 2n 呼び名 10 1,024 ≒ 103 K 20 1,048,576 ≒ 106 M 30 1,073,741,824 ≒ 109 G 40 1,099, 511,627,776 ≒ 1012 T 任意の2nの簡単な計算法 2ab = 210 x a x 2b 計算例 224 = 220 x 24 = 16M 232 = 230 x 22 = 4G

a5 a4 a3 a2 a1 a0 １０進数から２進数への変換 a0 a1 a2 a3 a4 a5 1 1 0 1 0 1 余り ２進数 2 53 26 13 6 3 1 ・・・ ・・・ a0 a1 a2 a3 a4 a5 1 最下位 ビット 最上位 ビット 2 2 a5 a4 a3 a2 a1 a0 2 1 1 0 1 0 1 2 2 必ず検算をする! （２進数→１０進数）

符号つき２進数の表現法： ２の 補数表現 1 x -23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 符号つき２進数の表現法： ２の　補数表現 以上では、符号なし（ 0 か 正 ）の２進数のみを考えた 負を含む，符号つきの数は、どうやって0,1で表すのか？ nビット an-1an-2...a0の２の補数表現は，次の値を表す 最上位 ビットが１だと負で，０だと正(０)　（符号ビット） ２の補数の例：　４ビットの２の補数 1011が表す値は？ 1 x -23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = -8 + 0 + 2 + 1 = -5 マイナス（これが肝） 確かに負の数を表現できる

例：4ビットの２の補数表現 範囲：-8～7 最上位 ビットが ０だと非負， １だと負 2進数 10進数 0000 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 -8 1001 -7 1010 -6 1011 -5 1100 -4 1101 -3 1110 -2 1111 -1 例：4ビットの２の補数表現 範囲：-8～7 最上位 ビットが 　０だと非負， １だと負 0000が「0」を表現するため， 負 数が，正 数より１個多い 負の数の最上位ビットは 「 1 」 符号　ビットと呼ぶ

２の補数の簡単な計算法 マイナス をつけることに相当 方法 反転して、１を足す 例: 01102(=610)の２の補数 0 1 1 0 10進数 2進数 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 -8 1000 -7 1001 -6 1010 -5 1011 -4 1100 -3 1101 -2 1110 -1 1111 ２の補数の簡単な計算法 マイナス　をつけることに相当 方法 反転して、１を足す 例: 01102(=610)の２の補数 ２の補数の性質 数xの２の補数の、そのまた ２の補数は、xに戻る 0 1 1 0 610 反転 1 0 0 1 1を足す 1 0 1 0 -610

１０進数⇒2の補数表現 への変換方法の例 +6 -12 -1 （-12と同様の方法） 次の10進数を5ビットの2の補数表現（符号付き２進数）で表せ +6 6を符号無し２進数で表現：　　　　110 　　　 ５ビットに拡張するため，4，５ビット目に0を追加： 00110 -12 対応する正の値(12)を、５ビットの2の補数で表現: 01100 反転して１を足す: 10011 + 1 = 10100 -1　（-12と同様の方法） １を、５ビットの２進数で表現： 00001 反転して１を足す: 11110+1 = 11111

２進数の注意点 例： 11112 符号無し２進数と見ると 符号付き２進数（４ビットの２の補数）と見ると 符号無しと見るか，符号付き（２の補数表現）と見るかで，符号ビットが１の場合に異なるので，どちらかを意識する 例：　11112 符号無し２進数と見ると 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 符号付き２進数（４ビットの２の補数）と見ると 1 x -23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = -8 + 4 + 2 + 1 = -1

ディジタル回路内部での，数値の表現法を学習 ２進数 まとめ ディジタル回路内部での，数値の表現法を学習 ２進数 符号無し２進数 (0以上の整数を表現． ） 符号付き２進数 (２の補数表現．正負の整数を表現） ２進数(符号付き/無し）、１６進数、１０進数の相互変換 中間試験の範囲 第１回～第６回までの講義内容，演習問題，宿題