コラッツ予想の変形について 白柳研究室 ５５０９０６４ 田渕 康貴
研究目的と背景 本研究では、コラッツ予想の規則性に興味を持っ た。Ｍａｐｌｅ１４を用いて、コラッツ予想の変 形に関する計算機実験を行い、新たな規則性を発 見する。 そして、本来のコラッツ予想と比較し、解決への 糸口を探る。 昨年度４年生、藤田の研究論文ではコラッツ予想 の変形、πとeについて的をしぼり研究していた。
コラッツ予想 コラッツ予想とは、任意の自然数Ｎに対して、そ れが偶数の場合は２で割り、奇数の場合は３倍し て１を加えるという操作を繰り返して行くと、必 ず有限回で１に到達するであろうという予想であ る。 Ｎ＝２１のときでは ２１→６４→３２→１６→８→４→２→１→４→ ２→１→・・・ １の周期サイクル
コラッツ予想の変形 本来のコラッツ予想（２，３，１，ｎ） コラッツ予想の変形 ｛ｎが１～１００｝ （２，３，４，ｎ）、（２，５，１，ｎ） （２，３，２，ｎ）・・・ 定数項１を置き換える （２，３，４，ｎ）・・・発散するものもある （２，３，５，ｎ）・・・収束した （２，３，６，ｎ）・・・発散するものもある
実験結果１ （２，３，５，ｎ）で（１～１００）までの値で なんらかの数に収束することを発見。 収束値は１，５，１９，２３の４パターン。 例：ｎ＝８１ ８１→２４８→１２４→６２→９８→４８→１５ ２→７６→３８→１９→６２→９８→４８→１５ ２→７６→３８→１９ 規則性はｎが５の倍数のときは５に収束すること。 ５以外にも同様のことが言えるかどうかを確かめ る。
ｒを（４～１１）までの値で実験 （２，３，ｒ，ｎ） ｒが偶数の場合 ４，６，８，１０では 適当な値で発散するものもあった。 ｒが奇数の場合 ５，７，９，１１ ではすべて収束した。 ｒ＝７、ｎ＝「７の倍数」のとき、収束値は７。 ｒ＝９、ｎ＝「９の倍数」のとき、収束値は９。 ｒ＝１１、ｎ＝「１１の倍数」のとき、収束値は １１。
（２，３，ｒ，ｎ）に対し、 ｎとして１から１００までの数でｒの倍数でないものも試してみる。 （２，３，５，ｎ）と同様に ３，７，９，１１でもその倍数だけでなく、 １から１００までの値を入れて試してみる。 （２，３，３，ｎ） （２，３，７，ｎ） （２，３，９，ｎ） （２，３，１１，ｎ）
結果 全てのパターンで発散することなく収束した。 （２，３，３，ｎ）すべての値が３に収束。 このとき（２，５，５，ｎ）、（２，７，７， ｎ）も計算機実験を行ったが５，７では収束は見 られなかった。 （２，３，７，ｎ） ７の倍数はすべて７に 収束したが、それ以外の値では５に収束。 （２，３，９，ｎ） ９の倍数だけでなく、すべての値が９に収束する ことを発見。 （２，３，１１，ｎ） １，１１，１３と複数の収束値があった。
まとめ 今後の課題 （２，３，３，ｎ）、（２，３，９，ｎ）はいか なる自然数に対してもそれぞれ３，９に収束する ことがわかった。 今回の研究でコラッツ予想の解決の糸口とまで はいかないが、１でなく３，９に収束するコラッ ツ予想の変形を見つけることができたことは大き い。 今後の課題 プログラムを並列処理させて時間を短縮させる必 要がある。