原子核物理学 第４講　原子核の液滴模型

液滴模型 電子散乱などから得られた原子核の電荷密度は次の特徴をもつ 原子核の液滴模型 表面が明瞭である（原子核表面で密度が急速に減少） 内部の密度は原子核に依らずに一定（密度の飽和性） Fermi の分布関数でよく記述できる 原子核の液滴模型 原子核の最初の模型 原子核を非圧縮性流体（密度の飽和性から）と考える 原子核全体の性質を記述する模型 量子流体であるので，通常の流体の液滴とは異なる ⇒　核子は Fermi 粒子であり，Pauli 原理がはたらく 　 原子核内では，核子間距離が大きく核子の衝突は稀である 通常の流体では，粒子間の距離が近く粒子の衝突が頻繁

核子間距離 原子核の結合エネルギーは核子数（質量数 A）にほぼ比例する ⇒　核子は限られた個数の核子とだけ相互作用する（核力の飽和性） 全ての核子と相互作用するのであれば，結合エネルギーは A2 に比例する 原子核の半径は 原子核を球として，１個の核子が占める体積は 　　１個の核子が占める体積を球と仮定すると，その半径は　 　　核子間距離は球の半径の２倍程度

核子間距離と原子核の結合エネルギー 原子核は自己束縛（量子）多体系 原子核は のバランスによって結合している 大きな正の運動エネルギー 大きな負のポテンシャルエネルギー 　　のバランスによって結合している 粒子を狭い空間に閉じ込めると運動エネルギーは増大する 核力の到達距離は 1.5 fm 程度であるので，核子間距離が広がるとポテンシャルエネルギーは急速に減少する

原子核の結合エネルギー

結合エネルギーの特徴 結合エネルギー B(A,Z) は質量数 A に比例する。 核子あたりの結合エネルギーは，ほぼ一定。 核子あたりの結合エネルギーは A = 60 付近で最大になる。 　　A = 60 以降は単調に減少する。 質量数 A を固定して，陽子数 Z 依存性をみると，Z の２次曲線で近似できる。 ３．をさらに詳しく見ると，質量数 A が奇数のときは１つの２次曲線で表されるの対して，偶数のときは２つの２次曲線で表される。 陽子数が偶数の原子核は奇数の原子核に比べて結合エネルギーがやや大きい。 質量数が小さい領域では，陽子数と中性子数が同数ずつ（Z = N）もつ傾向がある。質量数が大きい領域でも同様な傾向があるようである。

半経験的質量公式 Weizsaecker の質量公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　β安定線へ

１．体積エネルギー項 流体の凝集エネルギーは流体の量に比例する 原子核のエネルギーの場合には，最も粗い近似で，核子の数，すなわち，質量数に比例する 　 結合エネルギーの飽和性 核子のあいだにはたらく核力は平均して引力である そのため，エネルギー E1 には負号をつけてある 結合エネルギーには正で寄与する　⇒　結合を強める 他の項（対エネルギー項を除いて）は全て逆符号で結合エネルギーに寄与する　⇒　結合を弱める 体積エネルギー項によって，原子核は束縛系として存在できる

２．表面エネルギー項 液滴の表面には表面張力がはたらく 単位面積あたりの表面張力を　　　とすると， 半径が R の球状液滴の表面エネルギーは，表面張力と球の表面積の積で与えられる： 液滴の体積が質量数に比例すると考えると 表面エネルギーは原子核のエネルギーを増加させるので，結合エネルギーを減少させる 核子は，そのまわりの核子から引力を受けている しかし，表面にある核子は，内部にある核子からだけ引力を受ける 表面効果として，エネルギーを増加させる表面エネルギー項が現れる

３．Coulomb エネルギー項 半径 R の球に電荷 Ze が一様に分布していると考える Z ( Z – 1 ) を Z2 で近似 Coulomb エネルギーは原子核のエネルギーを増加させる ⇒　原子核の結合エネルギーを減少させる

４．対称エネルギー項 陽子数が 1 から 20 までの安定な原子核

Coulomb 相互作用を除くと，原子核は同数の陽子と中性子をもとうとする傾向がある 　　⇒　 中性子数と陽子数の比 N / Z が同じでも， 核子数が２倍になれば対称エネルギーも２倍になるはず 　 この式は，Z = N のまわりに N – Z について展開して，最低次の２次の項だけをとったもの 原子核の質量の実験データは，N – Z に比例する項はないことを示す

５．対エネルギー項 原子核は同種の核子を偶数個もとうとする性質がある A = 奇数 の原子核の質量は１つの２次曲線で近似される 従って，次の３つの場合に応じて Z = 偶数， N = 偶数 Z + N = 奇数 Z = 奇数， N = 奇数

対エネルギー項の質量数依存性 原子核の質量の実験値から， 対エネルギーが求められる ⇒　右図 実験値を次の関数で近似的に表す（右図の曲線） これとは異なる関数型を用いることもある

β安定線 質量数が等しい原子核の中で，結合エネルギーが最大の原子核 ⇒　下図の曲線（黒い四角は安定同位体）

結合エネルギーの内訳 質量数の増加とともに，表面の効果は減少 質量数（陽子数）の増加とともに，Coulomb エネルギー項は増大 対称エネルギー項は小さく見えるが，この項は本来「非対称エネルギー」

原子核の結合エネルギー 安定な原子核　　　　　　　　　　　　　　　　全ての原子核

殻効果 半経験的質量公式は， 全体として実験値をよく再現する しかし，詳細に比較すると，特徴的な違いが見られる 質量数が小さい領域 質量数が 　A = 90, 140, 210 の領域 実験値 － 質量公式 の値を， 横軸に「陽子数」，「中性子数」をとって表すと（右図），違いが顕著に見える ⇒　魔法数

核物質 対称核物質 　　核子あたりの結合エネルギー（ Coulomb エネルギーを無視する） 中性子物質（中性子星） 　　核子あたりの結合エネルギー