パーシャルアニーリングの レプリカ解析 － 2体ソーラス符号の場合 － 三好 誠司　 上江洌 達也　 岡田 真人 神戸高専 奈良女子大 東大，理研

背　景 多数の「スピン」とそれらの「相互作用」という二種類の変数を有する系の解析においては，相互作用の方は固定されておりスピンだけが 変化するモデルを考える場合が多い．　　　（例：連想記憶モデル） 「スピン」よりもゆっくりと「相互作用」も変化するモデル（パーシャルアニーリング）の性質は興味深い．

先行研究 Penny, Coolen and Sherrington, J. Phys. A (1993), Coupled dynamics of fast spins and slow interactions in neural networks and spin systems Coolen, Penny and Sherrington, Phys. Rev. B (1993), Coupled dynamics of fast spins and slow interactions: An alternative perspective on replicas Penny and Sherrington, J. Phys. A (1994), Slow interaction dynamics in spin-glass models Dotsenko, Franz and Mezard, J. Phys. A (1994), Partial annealing and overfrustration in disordered systems Uezu and Coolen, J.Phys.A (2002), Hierarchical self-programming in recurrent neural networks

目 的 パーシャルアニーリング（ＰＡ）の情報工学分野における可能性を探る 目　的 パーシャルアニーリング（ＰＡ）の情報工学分野における可能性を探る 誤り訂正符号の復号を行う相互作用系にパーシャルアニーリングを適用した場合の特性についてレプリカ法を用いて解析

ソーラス符号 （N=4, K=2の例） N.Sourlas, Spin-glass models as error-correcting codes, Nature, 339, 693-695, (1989). 送りたいメッセージビットξの 代わりにパリティ（積）を送る ξ1ξ3 J24 J12 J14 J23 J34 J13 ξ1 ξ3 σ2 σ1 σ4 σ3 ξ2ξ4 ξ1ξ2 ξ1ξ4 ξ2ξ3 ξ3ξ4 通信路 ξ2 ξ4 西森温度で有限温度復号（MPM復号）を行えばビット誤り率が最小 N→∞，K→∞でシャノン限界達成

通信路のモデル AWGN（加法的白色ガウス雑音）通信路 信号の強さ（２体のソーラス符号） 受信信号 雑音の分散

復号の方法 (1/2) 逆温度βで有限温度復号 スピンσの変化は相互作用Jの変化よりも十分に速い

復号の方法 (2/2) スピンσの変化はβで特徴づけられている 相互作用Jの変化は で特徴づけられている 相互作用Jのダイナミクス ヘブ則の強さ 受信信号 ランジュバンノイズ スピンσの変化はβで特徴づけられている 相互作用Jの変化は　　で特徴づけられている

理　論　(1/3) 実効ハミルトニアン 相互作用Jのダイナミクス 系全体の分配関数 　　　　　　　ひとつめのレプリカ数（正の有限値）

理 論 (2/3) 自由エネルギー n2 ふたつめのレプリカ数（→０） オーダーパラメータ レプリカ対称性の仮定 理　論　(2/3) 自由エネルギー （受信信号Bに乗っている雑音＝クエンチされたランダムネスに関する平均） n2 　ふたつめのレプリカ数（→０） オーダーパラメータ レプリカ対称性の仮定

理　論　(3/3) 鞍点方程式 送信情報と復号結果の重なり

計算機実験の方法 (1/2) Jのダイナミクス σ1 σ3 σ2 σ4 これをまずR3=500回実行 時刻 t で スピンをまずR1=1000回更新 続くR2=1000回の更新で＜σiσj＞を測定 Jij を差分で更新（Δt =0.02τ） σ2 σ4 これをまずR3=500回実行 続くR4=500回でq1,q2,mを測定 スピン更新のトータル回数＝N (R1+R2) (R3+R4)

計算機実験の方法 (2/2) q1,q2の測定方法 q1 Jをコピー （時間経過） q2

結 果 (1/4) PAを用いない場合（J2=1） PA（J2=0, =1, ε=0） 西森温度（β=2）で最大値0.944 等価 結　果　(1/4) 西森温度（β=2）で最大値0.944 PAを用いない場合（J2=1） PA（J2=0, =1, ε=0） 等価 ヘブ則無し

結　果　(2/4) ヘブ則を入れるとm,q1,q2,Mが増大 PA（J2=0, =1, ε=0） PA（J2=0, =1, ε=1）

結　果　(3/4) PA（J2=1, =1, ε=0） PA（J2=1, =1, ε=1）

結　果　(4/4) PA（J2=1, =1） PA（J2=1, =10）

ま と め 2体ソーラス符号の復号にパーシャルアニーリングを適用した場合のRS解を求めた ヘブ則εを強くするとMが増大するとともに，βの広い範囲でMがフラットになる． 　 とεを大きくした場合は計算機実験と合わない． RS解の安定性解析やK体ソーラス符号への拡張は今後の課題