物理学者でない人 のための統計力学 東京工業大学　渡辺澄夫 DEX-SMI 1/1/2019

１．物理学について DEX-SMI 1/1/2019

統計力学 無限次元の確率論 統計力学　＝　 確率微分方程式 作用素代数・非可換幾何 DEX-SMI 1/1/2019

統計力学の深化と展開 無限は 有限と違う　＝　 無限次元の確率論 DEX-SMI 1/1/2019

このチュートリアルでは・・・ このチュートリアルでは、 有限次元の平衡状態から無限次元へ移行する 問題について、物理学を習ったことが無い人に 本当に基本的かつ基礎的なことを解説します。 DEX-SMI 1/1/2019

２．平衡統計力学 DEX-SMI 1/1/2019

カノニカル分布 x ∈Rnとする。 ハミルトニアン H(x) によって記述される 逆温度 βの平衡状態とは 1 Z(β) p(x|β) = exp( -βH(ｘ) ) という確率分布のこと DEX-SMI 1/1/2019

例 n 個の互いに自由なバネ x=(p1,q1,p2,q2,…pn,qn) ∈ R2n n H(x)=(1/2) Σ (pi2+qi2) ⇒ 平衡状態 p(x|β)は正規分布 DEX-SMI 1/1/2019

例 相互作用 U を持つ多体系 x=(p1,q1,p2,q2,…pn,qn)∈R2n n i=1 H(x)=(1/2) Σ pi2 + U(q1,q2,…,qn) 研究課題：平衡状態をコンピュータで作るには DEX-SMI 1/1/2019

例 スピンシステム x=(ｓ1,s2,…,sn)∈2n H(x|w) = －Σ wij Si Sj (i,j) DEX-SMI 1/1/2019

例 確率モデル p(a|x) 事前確率 φ(x) x=(ｘ1,ｘ2,…xn)∈ Rn N i=1 H(x|a)= - Σ log p(ai|x) – log φ(x) 平衡状態＝事後分布 DEX-SMI 1/1/2019

休憩：量子統計力学 CCR: [pi,qj]= √ δij x=(p1,q1,p2,q2,…pn,qn) は非可換代数の生成元 n -1 x=(p1,q1,p2,q2,…pn,qn) は非可換代数の生成元 n i=1 H(x)=(1/2) Σ pi2 + U(q1,q2,…,qn) 平衡状態は、非可換代数から複素数への 線型写像(KMS状態という）になる DEX-SMI 1/1/2019

平均値 確率分布 p(x|β) により、任意の関数の平均が 定義される E[ f(x)|β] = ∫ f(x) p(x|β) dx DEX-SMI 1/1/2019

平均と確率分布 E[ |β] = ∫ p(x|β) dx は f(x)∈C[x1,..,xn]から複素数への線型写像 があれば、有限次元のヒルベルト空間とその上の 確率分布が（実質的に）ユニークに再構成される DEX-SMI 1/1/2019

休憩：量子統計力学 無限次元のヒルベルト空間上の作用素 Xi と(∂xi) を(p1,q1,p2,q2,…pn,qn,…) と考えるとある非可換 代数が生成される。　　逆に CCRを満たす無限個(p1,q1,p2,q2,…pn,qn,…) が 生成する非可換代数上にKMS状態があると、 ヒルベルト空間上の表現が作れる（GNS再構成）。 無限次元のとき表現のユニークネスはない。 DEX-SMI 1/1/2019

３．心の準備 DEX-SMI 1/1/2019

目標：無限次元 x を無限次元のベクトルとする。 ハミルトニアン H(x) が与えられたとき平衡状態 Exp(-βH(x))を定義して解析するための方法を 与えよ。 DEX-SMI 1/1/2019

心の準備（１） x = (x1,x2,…,xn,…) R∞ :＝ {x ; - ∞ < xi < ∞ } ヒルベルト空間 E= {x ∈ R∞; Σ xi2 < ∞} ∞ i=1 は R∞の中のほんの一部分である。 DEX-SMI 1/1/2019

心の準備（２） ヒルベルト空間 E= {x ∈ R∞; Σ xi2 < ∞} lim xi = 0 正規直交系 { ei } について lim (u,ei)=0 しばしば物理学にとって狭すぎる DEX-SMI 1/1/2019

心の準備（３） x=(ｘ1,ｘ2,…,ｘn,…)∈2∞ 無限個のスピン x, y ∈ 2∞ が弱同値であるとは i=1 Σ |(xi,yi) -1| < ∞ 集合2∞＝無限個の同値類の和集合 異なる同値類は、異なる物理状態に対応 DEX-SMI 1/1/2019

心の準備（4） 確率分布の収束 (x∈R) p(x|a) ∝ exp( - x2/a) +exp(-(x-1)2/a) 有限次元の場合でもいろいろな問題がある (x∈R) p(x|a) ∝ exp( - x2/a) +exp(-(x-1)2/a) →δ(x)+δ(x-1) →δ(x) →δ(x-1) 1 DEX-SMI 1/1/2019

心の準備（5） 平均の収束 (x∈R) p(x|a) = (1/(a+1))(aδ(x)+δ(x-a)) p(x|a)　→ p(x|∞)=δ(x) E[x|a] = a/(a+1)　→ 1　≠ E[x|∞] =0 平均値の極限　≠　極限による平均値 無限次元では 日常茶飯事 しかも 物理的現象と 直結している a DEX-SMI 1/1/2019

４．有限から無限へ DEX-SMI 1/1/2019

例による説明 x = (x1,x2,…,xn) pn(x) ∝ exp( - |x|2) x = (x1,x2,…,xn,…) p(x) ∝ pn(x1,x2,…,xn)φ(xn+1,…) p∞(x) ∝ exp( - |x|2) DEX-SMI 1/1/2019

P( =1 )=1 無限次元の正規分布 重複対数の法則 x = (x1,x2,…,xn,…) p∞(x) ∝ exp( - |x|2) に従う x について | Σ xi | (n log log n)½ n i=1 P( 　=1 )=1 limsup n→∞ DEX-SMI 1/1/2019

H(a)={x ; ≦1} 無限次元の正規分布 x = (x1,x2,…,xn,…) |Σ (xi –a)| (n log log n)½ limsup n→∞ p∞(x) ∝ exp( - |x|2) のサポートは、 　　　　　H(0)に含まれている。 DEX-SMI 1/1/2019

例による説明 x = (x1,x2,…,xn) 1 = (1,1,…,1) pn(x) ∝ exp( - |x|2) +exp(-|x-1|2) x = (x1,x2,…,xn,…) p(x) ∝ pn(x1,x2,…,xn)φ(xn+1,…) p∞(x) = ? DEX-SMI 1/1/2019

例による説明 pn(x) ∝ exp( - |x|2) +exp(-|x-1|2) exp( - |x|2) H(0)で極限を取ったとき a exp( - |x|2) + (1-a) exp(-|x-1|2) 　H(0)+H(1)で極限を取ったとき DEX-SMI 1/1/2019

例による説明 exp( - |x|2) H(0)で極限を取ったとき exp(-|x-1|2) H(1)で極限を取ったとき 1 1 無限に離れている DEX-SMI 1/1/2019

無限次元への移行 「有限次元→無限次元」の極限は、定義域に 依存して、同値でない平衡状態が複数存在しうる ◎極限の取り方が違うのだから、 　　数学的な矛盾ではない ◎物理学的に起こる現象を調べたいときは 　　どうするべきか・・・物理学のセンスが必要 ◎物理学で起こる現象と情報学で起こる現象は 　　同じセンスで捉えてもよいか・・・今のところまだわからない DEX-SMI 1/1/2019

休憩：スピンシステム x=(ｘ1,ｘ2,…,ｘn,…)∈2∞ 無限個のスピン x, y ∈ 2∞ が弱同値であるとは i=1 Σ |(xi,yi) -1| < ∞ X を含むヒルベルト空間を H(x) と書くと 弱同値でないとヒルベルト空間は異なり 物理学的に違う現象が起こりうる DEX-SMI 1/1/2019

５．自由エネルギー DEX-SMI 1/1/2019

例による説明 x = (x1,x2,…,xn) 1 pn(x) ＝ ｛ n exp( - |x|2) +exp(-|x-1|2/2)} Z 1 DEX-SMI 1/1/2019

例による説明 Z =∫｛ n exp( - |x|2) +exp(-|x-1|2/2)} dx ∝ n + 2n/2 分配関数は、平衡状態において割り振られる 確率に対応し、これが１になる状態が実現される pn(x) ∝｛ n exp( - |x|2) +exp(-|x-1|2/2)} →　exp(-|x-1|2/2) DEX-SMI 1/1/2019

例による説明 Z =∫｛ n exp( - |x|2) +exp(-|x-1|2/2)} dx ＝ Z1+Z2 F= -log Z = - log (exp(-F1)+exp(-F2)) F≒min(F1,F2) 自由エネルギー最小が実現される DEX-SMI 1/1/2019

例による説明 エネルギー最小 自由エネルギー最小 1 無限に離れている DEX-SMI 1/1/2019

∫ p(x’|y) dx’を最大にする x は全く違う 情報学への応用 y が与えられたときのxの分布 　　　　　　　p(x|y) p(x|y) を最大にする x と ∫ p(x’|y) dx’を最大にする x は全く違う |x-x’|<ε DEX-SMI 1/1/2019

自由エネルギー エネルギーと自由エネルギーの違い 物理学と情報学の認識が最も乖離している所 本当は深い関連がある 平衡状態の安定性は自由エネルギー によって調べられる DEX-SMI 1/1/2019

F = E - S 休憩：変分原理 F(p) = ∫H(x)p(x)dx + ∫p(x)logp(x)dx p(x) が温度1の平衡状態 を最小化 F　=　E　-　S DEX-SMI 1/1/2019

６．相転移 DEX-SMI 1/1/2019

例による説明 x = (x1,x2,…,xn) pn(x|α)∝｛ exp( - |x|2) +exp(-|x-1|2/α)} 　α＝１で入れ替わる 1 DEX-SMI 1/1/2019

例による説明 pn(x) ∝ exp( - |x|2) +exp(-|x-1|2/α) exp( - |x|2) (α<1) (α>1) a exp( - |x|2) + (1-a) exp(-|x-1|2) (α=1) DEX-SMI 1/1/2019

例による説明 p∞(x|α) 制御変数αが変化するとき 確率分布（サポートも）が急激に 変化することがある 温度、外場、・・・ DEX-SMI 1/1/2019

相転移 p∞(x|α) pｎ(x|α) α変化 α変化 p∞(x|α’) pｎ(x|α’) 有限次元で相転移がなくても 無限次元では相転移が起こる 実問題では無限次元だと考える方が 正確な場合がある DEX-SMI 1/1/2019

普遍性 無限次元空間上のKMS状態の集合は 数学的に普遍的な性質を持つ 無限次元空間では、個々の物質ではなく 数理によって現象が決まることがある （ユニバーサリティ） DEX-SMI 1/1/2019

７．まとめ DEX-SMI 1/1/2019

まとめ 無限次元空間上の確率分布の挙動を 考える問題では、統計力学が長年の 知恵と方法を持っている 情報学、統計学において 俯瞰的な視点と、強力な手段とを与える 可能性がある DEX-SMI 1/1/2019