Alfvén波の共鳴吸収・ 位相混合とコロナ加熱 国立天文台　桜井 隆

位相速度と群速度 wave packet 平面波：波数空間で幅ゼロ（δ関数） 実空間では無限に広がる

フーリエ振幅　　　が　　　　の周辺に局在しているとき

phase velocity envelope: group velocity

MHD波動 Alfvén wave 非圧縮 dispersion relation : Alfvén velocity group velocity: 磁場の方向にのみエネルギーを伝える

MHD波動 fast/slow MHD waves 圧縮性 dispersion relation: 　　　　　　　　　　　　　　　　：音速

slow/fast mode：特別な場合 磁場に平行な伝搬 磁場にほぼ直角な伝搬 fast mode slow mode

MHD波動の位相速度面 fast mode Alfvén mode slow mode

MHD波動の群速度面 fast mode Alfvén mode Alfvén mode slow mode

位相速度面、群速度面 位相速度面の波面の包絡面が群速度面 群速度面の接線が波面

群速度面を使って衝撃波面の形を幾何学的に求める

共鳴と位相混合：両者の関係 共鳴吸収：強制振動 位相混合：自由振動 系の固有振動数に近い振動数で揺すると外部から効率よくエネルギーが入る（これは一様な系でも起こる） Alfvén速度が非一様な系の場合、固有振動数が磁力線ごとに異なるので、駆動振動数に近い固有振動数を持つ磁力線が大きな振幅を持つ 位相混合：自由振動 固有振動数の異なる磁力線が振動すると、隣り合う磁力線の振動の位相がどんどんずれて行き、磁力線を横切る向きに大きな速度勾配ができる。 自由振動の励起には共鳴が関係する

なぜAlfvén波は位相混合するのか 音波のようにどの方向にも伝われる波は、閉じた系での固有振動数は離散的。 （音色というくらいだから,,,） Alfvén波は磁力線を横切っては伝われないので、系全体が単一の振動数で揺れる（グローバル）モードは一般には実現しない Alfvén速度に急な勾配があると、隣り合う磁力線が相互作用して離散的固有振動を作ろうとする（surface wave）。しかし勾配が有限である限り厳密な意味での離散固有値はできない

Alfvén波の固有値は連続スペクトル、固有関数は特異点を持つ 固有関数の特異点を消すために、振動数の違う波を混ぜないといけない 同じような状況は、磁場にほぼ直角方向に伝わるslow modeにおいても起こる(cusp resonance)。 群速度面のcuspの部分では波が磁力線を横切ってエネルギーを伝えられないからである。（しかし非常に特殊な感じがする,,,ちょっと振動数を変えると逃げられるのでは？）

共鳴吸収・位相混合の簡単なモデル

平衡状態 low-β、一様磁場 　 　　　　　　　　　Lはループの長さ 密度ρが不均一のため　　　　　が不均一　 磁力線の固有振動数 共鳴条件 例えば

解の形 z方向には粘性力しか働かないので ループ頂上での振幅 境界(z=0,L)での駆動速度場

基礎方程式 空間スケールが くらいになると散逸が効く ë:resistivity ó:viscosity

共鳴点　　　　　　　即ち　　　　　　　で　　　　 散逸がなければ V は発散する 実際は散逸項で決まる振幅に落ち着くはず →共鳴吸収 しかしこのように共鳴点で大きな振幅となるためには、駆動運動が単一の振動数 ! （δ関数的パワースペクトル）を持たなければならない（実験室ではあり得る） コロナループの場合、駆動源はランダムな運動なので、パワースペクトルに幅があり、特定の場所のみ共鳴して振幅が大きくなることはない。

散逸が効き始めるまでの解の振る舞いは、散逸を無視した固有関数　 （特異点がある）を重ね合わせて発散を消すことにより得られる 解の漸近的振る舞い （複素平面でpoleを回ったりRiemann面を上下したり難しい作業をする）

surface waveの振動数 　　　　　　　　　　　　　x<0, x>0の固有振動数の中間

surface waveは、　　　　が階段関数の時には系の固有振動で、減衰しない ［　　　　が階段関数の時は、　　　　となるところがない（特異点がない）］ 　　　　が非一様であるため、完全に非圧縮の運動ができず、隣り合う磁力線が相互作用し系全体を一つの振動数で揺らそうとする（のだろう）。 しかし　　　　　が階段関数でなく滑らかなときには、surface waveは減衰率 で減衰する（散逸はないのに） 波のエネルギーがsurface waveからbody waveに移る

body waveのx方向実効波数 時間と共に大きくなる（小さいスケールを作る） →phase mixing スケールが まで小さくなると散逸が効き波は熱化する それまでにかかる時間(phase mixing time) 　　　　　　　　　　　→

加熱率の見積もり 静止していた磁力線を共鳴振動数でú1の間駆動する その後駆動がなければ、t<úmixまでその振幅を保つ このような駆動速度場が平均ú2時間ごとにランダムに加わる

加熱率（ëやóを含まない） RTV scaling law 予想される温度 1 MK程度にはできる

しかし 時間がかかりすぎる 振幅が大きすぎる=>turbulentになる？ closed field (loop)でもopen field (solar wind)でもはたらく（はず） どうやって検証するか

有名な位相混合現象：Landau damping 冷たいプラズマ（流体として扱える）の固有振動：プラズマ振動数 分布関数に幅があるとき、無衝突系でもプラズマ振動は減衰する 波より速い粒子は波にエネルギーを与える 波より遅い粒子は波からエネルギーをもらう 熱的分布では遅い粒子の方が多いので、波のエネルギーが粒子のエネルギーに移る 分布関数の摂動　　はなくならない（無衝突系、散逸しない） 電荷密度の摂動、波（静電ポテンシャル）は減衰する：いろいろな位相を持った　　を速度空間で積分するから