Supersymmetry non-renormalization theorem from a computer and the AdS/CFT correspondence 総研大D2　本多正純 Ref : arXiv:1011.3904 [hep-lat] 1106.xxxx [hep-th] 伊敷吾郎氏 ( CQUeST ) , Sang-Woo Kim氏 ( 大阪大 ) , 西村淳氏 ( KEK＆総研大 ) , 土屋麻人氏 ( 静岡大 ) との共同研究に基づく。 KEK String Advanced Lecture 2011.5.25

導入・動機 4d SYM のシミュレーション Motivation①: N=4 SYMの非摂動的な正則化 しかし 格子正則化 並進対称性 格子上でオリジナルのSUSYを全て保つのは不可能 しかし 連続極限でSUSYが回復する可能性がある SYMの場合、最低３コのパラメータのfine-tuningが必要 [Giedt ‘09, Catterall-Dzienkowski-Giedt-Joseph-Wells’11 ] ここでは、 格子正則化の代わりにLarge N reductionを用いる 2

格子正則化で（実用上）シミュレーション可能な場の理論 ※時空はflatかつEuclideanで、符号問題はないものとする Non-supersymmetric supersymmetric (finite N) (Large N) １次元 ○ ２次元 ３次元 ? ４次元 × (N=1 pure SYM 以外）

/ 導入・動機（続き） AdS5 CFT4 Chiral Primary Op.の相関関数を数値的に解析 Motivation②: AdS/CFT対応の検証 ― 応用面、超弦理論の非摂動的側面を探る上で重要 ここで考える対応はD3ブレーンの場合： [ J.Maldacena ’97] / AdS5 CFT4 dual Chiral Primary Op.の相関関数を数値的に解析

講演の流れ 導入・動機 Chiral Primary Op.の相関関数(4slides) まとめと展望

Chiral Primary Operator (CPO) 定義： (Half BPS) CPO : : 6 adj. scalars in SYM : symmetric traceless tensor Ex.) BPS 条件: Half BPS!

CPOと非くりこみ定理 or 共形対称性が相関関数の形を決定： ・2点 : ・3点 : ・4点 : 非くりこみ（定理？） [ Eden-Howe-Sokatchev-West ‘00 ] or ※ nonzeroの2点関数は常にextremal

AdS/CFT & CPO GKP-Witten関係式 Massスペクトルを比較 dual コンパクト化＆球面調和関数展開 dual [ Gubser-Klebanov-Polyakov’98, Witten’98 ] dual Massスペクトルを比較 [cf. Kim-Romans-Nieuwenhuizen ’85 ] dual

重力側の多点関数 2点関数で多点関数を規格化 ・3点 : ・4点 : Bulk場－boundary op.の相互作用の大きさが未知 [ Lee-Minwalla-Rangamani-Seiberg’98 ] Bulk場－boundary op.の相互作用の大きさが未知 ・・・相関関数の“絶対的”な値が未定 2点関数で多点関数を規格化 AdS/CFT対応の予言 ・3点 : (※extremal or next-to-extremalに関しては、 　　非くりこみ定理よりも弱い主張) ・4点 :

講演の流れ 導入・動機 Chiral Primary Op.の相関関数(4slides) まとめと展望

Large N reductionの一般的な概念 [ Eguchi-Kawai, Bhanot-Heller-Neuberger, Gonzalez-Arroyo-Okawa, Gross-Kitazawa ] “１点”につぶす (=Dimensional reduction) Reduced model オリジナルの理論 真空の周りの揺らぎが 安定なら、等価！ ある特定の真空の 周りで展開 & 行列サイズ →∞

Ex.) Large N reduction on R Original Model: Reduced Model: Propagator: Propagator: これらのモデルは以下の極限で互いに等価:

ゲージ理論のLarge N reduction [ Gross-Kitazawa’82, Bhanot-Heller-Neuberger ‘82] 処方箋をゲージ理論にそのまま適用すると、 しかし、この作用は の下で不変 flat directions バックグラウンドが不安定

共形変換 : R4 → R×S3 ここでは、 S3上のLarge N reductionを考える ※ equivalent S3～正曲率 → Reduced modelに質量項 No flat direction ここでは、 S3上のLarge N reductionを考える

どうやってＳＹＭを計算機に乗せるか？ t=[ 0,β ]として、 モンテカルロ・シミュレーション ① 共形変換 出発点： [ Cf. “finite N” version: Hanada-Matsuura-Sugino’10 ] ① 共形変換 出発点： (32 SUSY) (32 SUSY) ② Large N reduction on S3 （＝ S3 を単に“つぶす”） [ Ishii-Ishiki-Shimasaki-Tsuchiya ’08 ] t=[ 0,β ]として、 同等な1次元行列模型(PWMM,BMN) (16 SUSY) ③ フーリエモード正則化 [ Hanada-Nishimura-Takeuchi ’07 ] モンテカルロ・シミュレーション （Rational Hybrid Monte Carlo algorithm）

S3上のLarge N reduction PWMMの真空は何か? オリジナルの理論 1d reduced model ある特定の真空の [ Ishii-Ishiki-Shimasaki-Tsuchiya ’08 ] [ cf. 一般的な時空への拡張: Kawai-Shimasaki-Tsuchiya ] S3 を“１点”につぶす (S3 方向の微分を落とす) × × オリジナルの理論 1d reduced model ( = Plane Wave Matrix Model ) SU(2|4)⊃16 SUSY SU(2,2|4)⊃32 SUSY 真空の周りの揺らぎが 安定なら、等価！ (16/32 SUSYをあらわに保つ!) ある特定の真空の 周りで展開 & 行列サイズ →∞ PWMMの真空は何か?

SYM from PWMM（outline） [ cf.Kim-Klose-Plefka’03 ] Locally, 4 gauge fields × 2/μ S1をつぶす S1上のLarge N reduction 3 gauge fields 　　＋ 1 scalar × 2/μ S2 をつぶす Fuzzy sphereの可換極限 1 gauge field 　　＋ 3 scalars × PWMMの真空： （S3上のゲージ場だった ） ３つのスカラー場に対して、 (　　 ：SU(2) representation　) Fuzzy sphere ! 17

SYM from PWMM（処方箋） SYMはPWMMの以下の極限で再現される： 2/μ ３つのスカラー場を“ある”真空解の周りで展開： [ Ishii-Ishiki-Shimasaki-Tsuchiya ’08 ] SYMはPWMMの以下の極限で再現される： ３つのスカラー場を“ある”真空解の周りで展開： 2/μ

真空の安定性（時間に余裕があったら） 真空： 測定量： 19

異なる真空間の転移

現時点で（実用上）シミュレーション可能な場の理論 ※時空はflatかつEuclideanで、符号問題はないものとする Non-supersymmetric supersymmetric (finite N) (Large N) １次元 ○ (Lattice, or Fourier mode ） ２次元 (Lattice) ３次元 ? (Large N reduction) ４次元 ・N=1 pure SYM ：　　 　Latticeで○ ・N=4 SYM: Hanada-Matsuura- Sugino formulation (Large N reduction + Fourier mode) 格子正則化と相補的

講演の流れ 導入・動機 Chiral Primary Op.の相関関数(4slides) まとめと展望

計算する相関関数（２点・３点） ・2-pt. : ・3-pt. : 非くりこみ定理 AdS/CFT 対応 (extremal) (next-to-extremal) 非くりこみ定理 AdS/CFT 対応

相関関数に対応するPWMMの演算子 共形変換 × 2/μ Large N reduction

× シミュレーションのセットアップ ここでは、 In 2-point function, we took 5 parameters as finite. But we took Lambda as large as possible. Let’s go to our simulation result. ここでは、 25

2点関数のフーリエ変換 しかし、繰り込み補正は受けている →今の行列サイズでは非繰り込み定理を 検証するのに不十分？（今後の課題） 対応する正則化パラメータ におけるfree intermediate weak 　 しかし、繰り込み補正は受けている →今の行列サイズでは非繰り込み定理を 　 検証するのに不十分？（今後の課題） 　 片logプロットで関数形が同じ → 繰り込みはオーバーオールのみ 　　（∵BPS op.のmassは繰り込まれない） strong

2点関数の繰りこみ Extract c2 weak intermediate strong BPS stateのmassが繰り込まれないこととconsistent

2点関数のフーリエ変換 intermediate weak strong

3点関数のフーリエ変換 free strong weak intermediate 29

3点関数の繰りこみ weak intermediate (c2)3/2 strong (c2)3/2と比較 30

3点関数のフーリエ変換 strong weak 重力側の予言とconsistent intermediate 31

講演の流れ 導入・動機 Chiral Primary Op.の相関関数(4slides) まとめと展望

計算する相関関数（４点） (non-extremal) AdS/CFT 対応 GKP-Witten関係式から、 繰りこみ： を使って書くと、

Cf. 重力側の4点関数 [ Arutyunov-Frolov’00 ]

4点関数の繰り込みの運動量依存性 (c2)2 各運動量配位で定数からの有意な差は見られないが、 値が配位ごとに異なっている→運動量依存性？

ＧＫＰ-Witten関係式とconsistentな結果に近づく 重力側の予言との比較 (c2)2 重力側の値で割ったことによって、 ＧＫＰ-Witten関係式とconsistentな結果に近づく

講演の流れ 導入・動機 Chiral Primary Op.の相関関数(4slides) まとめと展望

まとめと展望 Chiral Primary Operatorの２・３・４点関数 & ・ SYMにおいて、 を１６ SUSYを尊重しつつモンテカルロシミュレーションで計算 ・AdS/CFT対応の予言： & とconsistentな結果 Work in progress ・Wilsonループ [ M.H.-Ishiki-Nishimura-Tsuchiya ] 円形－厳密な計算結果が存在 [Cf. Erickson-Semenoff-Zarembo, Drukker-Gross, Pestun ] 方法論のチェック 長方形－Non-BPS op.でもAdS/CFTは成り立つのか?? ・S3上のLarge N等価性の精密な検証 [ M.H.-Nishimura-Tsuchiya ] ・現象論的に興味あるモデルへの応用 [ SQCDへの応用: M.H.-Nishimura ] 38

ありがとうございました。

Gauge fields on S3～SU(2) mass term

R×S3 → R×S2 Dimensional reduction (dropping S^1 derivative) [ cf.Kim-Klose-Plefka ] Dimensional reduction (dropping S^1 derivative) 41 41

R×S2 → PWMM Dimensional reduction (dropping S^2 derivative) [ cf.Kim-Klose-Plefka ] Dimensional reduction (dropping S^2 derivative) 42

Ex.) Large N reduction on R Original Model: Reduced Model: Propagator: Propagator: These models are equivalent with each other in the limit:

Check of Equivalence (Planar) Original Model Reduced Model ※ trace→Integration：

Check of Equivalence (non-Planar) Original Model Reduced Model Suppressed by O(N-2) !! Original model = Reduced model in planar limit

Large N reduction on S1 Matrix QM on S1 Reduced Model : [ Kawai-Sato,Ishii-Ishiki-Shimasaki-Tsuchiya ] Matrix QM on S1 Reduced Model :

Check of equivalence Original Model Reduced Model Suppressed ! ・Planar ・Non-planar Suppressed !

SYM on R×S3 ← SYM on R×S2 Action(Gauge part) Vacua Appropreately choose monopole charge and their degeneracy

Fuzzy sphere harmonics Expand (2j+1)×(2j’+1) “rectangular” matrix： Fuzzy sphere harmonics：

Commutative limit of Fuzzy sphere ：monopole charge q のmonopole harmonics

SYM on R×S2 ← PWMM Commutative limit of fuzzy sphere → Theory on S2 Action(Gauge part) Vacua： Appropreately choose dim. of rep. and their degeneracy

Plane Wave (BMN) Matrix Model [ Berenstein-Maldacena-Nastase ’02 ] The action of PWMM: 1 dimension infinite degrees of freedom We need additional reguralization . 52

Fourier Mode reguralization [ Hanada-Nishimura-Takeuchi ’07 ] [ cf. Lattice : Catterall-Anders ’10 ] ① Impose IR cutoff by taking t=[ 0,β ] ： Fourier Mode cutoff ② Impose UV cutoff　by restricting the mode number.　 This reguralization break gauge symmetry in general dimension. BUT in 1 dimension, we can take static diagonal gauge : We can respect the gauge symmetry . We can simulate SYM now ! 53

Gauge fixing Static diagonal gauge Residual gauge symmetry We can take

三者若手夏の学校2009 55 55

List of fields [ D’Hoker-Freedman ]

Stability of background Measure 57

Stability of background (Cont’d)

Stability of background (Cont’d)

Transition

Violation of non-renormalization?