電気回路学Ⅱ コミュニケーションネットワークコース 5セメ 山田 博仁

RLC直列回路の過渡現象 C R E S i(t) t = 0 L RLC 直列回路で、時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。 t > 0 において回路を流れる電流 i(t)は、 で与えられる。 なお積分範囲は、–∞ から現在の時刻 t までである。 電荷 q(t) と電流 i(t) との関係 を用いて書き直し、 まず、E ≠ 0 のときの非同次方程式の特解 qs(t) は定常解であるから、 t → ∞ における回路の状態、或いは から、 となる。 次に、E = 0 とした時の同次方程式の一般解 qf(t) は、 を式(1)に代入して得られる 特性方程式 の根 s1 および s2、即ち から、

RLC直列回路の過渡現象 (a) の時には、 で重根となるから、 E = 0 とした式(1)の一般解は、任意の定数を A1, A2 として、 によって与えられる。 従って、前述の定常解 qs と重ねて、 が式(1)の解となる。 これから、電流 i(t) が、 と与えられる。 A1 および A2 は積分定数であり、初期条件によって定まる。 回路から、t = 0 の初期電流 i(0) は 0 であり、コンデンサの初期電荷を q(0) = q0 とすれば、q(t) および i(t) の t →0 の値から、 従って、 従って、

RLC直列回路の過渡現象 以上より、 と求まる。 初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の変化を左図に示す。i(t) は、t = 2L/R で最大値 im = 2E/Re をとる。 の場合は、臨界的(critical)あるいは臨界減衰(clitical-damping)と呼ばれる。

RLC直列回路の過渡現象 (b) の時には、特性方程式 の根は、2つの異なる 実根 s1, s2 となる。 と置く。 ただし、 E = 0 とした式(1)の一般解は、任意の定数を B1, B2 として、 によって与えられる。 従って、前述の定常解 qs と重ねて、 が式(1)の解となる。 電流 i(t) は、 と与えられる。 B1 および B2 は積分定数であり、初期条件によって定まる。

RLC直列回路の過渡現象 初期条件は同様に、i(0) = 0、q(0) = q0 とすれば、q(t) および i(t) の t →0 の値から、 従って、 従って、 より、 より、 ここで、 と置くと、

RLC直列回路の過渡現象 従って、 ここで、双曲線関数を用いると、 であるから、 であり、 従って、 さらに、s1, s2 < 0 であるから、 従って、 t > 0

RLC直列回路の過渡現象 電流 i(t) についても同様に、 ここでまず、{　　}内について考える。 より、

RLC直列回路の過渡現象 従って、{　　}内は、 従って電流 i(t) は、 t > 0

RLC直列回路の過渡現象 初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の変化を左図に示す。 の場合は、臨界的の場合よりも収束が遅いので、非振動的(aperiodic)あるいは過減衰(over-damping)と呼ばれる。

RLC直列回路の過渡現象 (c) の時には、特性方程式 の根は、2つの異なる 虚根 s1, s2 となる。 と置く。 ただし、 かつ ω0 は実数である。

RLC直列回路の過渡現象 t > 0 t > 0

RLC直列回路の過渡現象 初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の変化を左図に示す。 の場合は、振動的(oscillatory)あるいは振動減衰(under-damping)と呼ばれる。 インピーダンスの値が　　　　　　　　　　　　　 のRLC直列回路の共振角周波数 ωn は、 であった。これに対して、振動的な過渡解の i(t) は、 の角周波数で振動し、ωn とは多少異なる。 R → 0 の時、ω0 は ωn に近づき、正弦波振動が永久に持続する。

線形常微分方程式の標準的解法 線形集中定数回路の問題は、実定係数の線形微分方程式を解く問題に帰着する。 定係数の線形常微分方程式の一般形として、 を考える。ただし、 また、 は定数とする。 この方程式が t = t0 における初期条件、 y(t0), y’(t0), ‥‥, y(n-1)(t0) を定めれば、ただ一つの解を持つこと(解の存在定理)は、数学的に証明されている。 この方程式の解法は、まず右辺の f(t) を 0 と置いた同次(斉次)方程式の解を求める。 (a) 同次方程式の解 f(t) = 0 と置いた同次(斉次)方程式 の解は、指数関数以外にない。それを、y = est , (s は定数) としてとして代入すると、 特性方程式 を得る。 この特性方程式の n 個の根、s1, s2, ‥‥, sn の間に等根が無ければ、 が、互いに一次独立な n 個の特解である。

線形常微分方程式の標準的解法 従って一般解は、任意の定数 ki (i = 1, 2, ‥‥, n)による一次結合 によって与えられる。 ここで、任意定数 ki は初期条件によって定まる。またもし、特性方程式が重根を有し、s1 = s2 =‥‥= sm ならば、それらに対する m 個の特解を とすればよい。 (b) 非同次の場合 f(t) ≠ 0 の場合、上の微分方程式は非同次(非斉次)形という。この場合は、補関数 yc(t) (同次方程式の一般解に同じ)と、特解 yp(t) を求め、一般解 y(t) は、 によって与えられる。 多項式や指数関数、正弦関数などの簡単な関数形の f(t) に対しては、簡単に解が求まるが、それ以外のf(t) に対しては、簡単に解が求まるとは限らず、未定係数法、定数変化法、演算子法などを用いなければならない。 一般に、受動回路網についての補関数は、t → ∞ で 0 に収束する。十分に時間が経つと yc は小さくなり、yp のみが残る。このような状態が定常状態であり、 yc の値が無視できない場合を過渡状態である。また、yc は励振がなくても存在するので、自由振動項、 yp は励振に関わるので、強制振動項と呼ばれる。