2019年4月8日星期一 I. EPL 84, 40001 (2008) 2019年4月8日星期一
1. Dilute Hard Sphere Bose Gas 2019年4月8日星期一 1. Dilute Hard Sphere Bose Gas 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Bogoliubov 1947 J. Phys. JSSR II, 23 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一
* I am indebted to L. D. Landau for this important remark. 2019年4月8日星期一 * I am indebted to L. D. Landau for this important remark. 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Bogoliubov expanded in powers of the potential V(r), which lead to divergence for hard sphere potentials. Landau told him to use the scattering length a. 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Lee, Huang, Yang 1957 Phys. Rev. 106, 1135 2019年4月8日星期一
2. Pseudopotential Method 2019年4月8日星期一 2. Pseudopotential Method 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Key idea: To replace the boundary condition (thatφ= 0 when two particles touch) with a “pseudopotential”, and then do usual perturbation. 2019年4月8日星期一
One particle scattering from one fixed hard sphere. 2019年4月8日星期一 One particle scattering from one fixed hard sphere. 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一
Thus we have as potential to replace the boundary condition. 2019年4月8日星期一 Thus we have as potential to replace the boundary condition. 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 This potential gives the correct wave function for r > a, and satisfies the correct boundary condition. 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Notice that this potential gives the divergent term inside r < a for the wave function. 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Two particles: 2019年4月8日星期一
Many particles: Huang & Yang, PR 105, 767 (1957); 2019年4月8日星期一 Many particles: Huang & Yang, PR 105, 767 (1957); Huang, Yang & Luttinger, PR 105, 776 (1957). 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 For particle j = 1, it sees the other N−1 spheres. Each contributes potential 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 The wave length for particle 1 is very long, hence the total V for particle 1 is 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 3. Field Theory 2019年4月8日星期一
Momentum representation of particles: 2019年4月8日星期一 Momentum representation of particles: = occupation # of particles with 2019年4月8日星期一
Diagonal elements of V' is 2019年4月8日星期一 Diagonal elements of V' is 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Off diagonal elements from : Only those where 2 of the four α,β,μ,ν are zero are important. 2019年4月8日星期一
Perturbation theory leads to: 2019年4月8日星期一 Perturbation theory leads to: Justification of “Bogoliubov Transformation” Wave Function of Ground State Correction term = constant Excitation Spectrum 2019年4月8日星期一
• (k, −k) pairs of correlated 2019年4月8日星期一 Wave Function for Ground State • (k, −k) pairs of correlated particles floating in a sea of particles with k = 0. • average # of pairs = • Correlation length 2019年4月8日星期一
Second order perturbation energy = ∞ 2019年4月8日星期一 Second order perturbation energy = ∞ 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一
Divergence is due to the fact that the summand at large k becomes 2019年4月8日星期一 Divergence is due to the fact that the summand at large k becomes 2019年4月8日星期一
which is of course equal to (constant) in coordinate space. 2019年4月8日星期一 which is of course equal to (constant) in coordinate space. 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 This is precisely the term in the 1st order perturbation wave function. 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 To suppress this term, we use pseudopotential Fermi (1936), Breit (1947) 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 • If operate on , gives zero 2019年4月8日星期一
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2019年4月8日星期一 Excitation Spectrum 2019年4月8日星期一
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Pair Distribution Function D(r12) 2019年4月8日星期一 Pair Distribution Function D(r12) 2019年4月8日星期一
Generalization to other dimensions 2019年4月8日星期一 Generalization to other dimensions 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Dimension 1 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Shrink each link: • N sticks with a=0 in box L − Na • Fermion ground state 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Girardeau, J. Math. Phys. 1, 516 (1960). Lieb and Liniger, PR 130, 1605 (1963). Yang and Yang, J. Math. Phys. 10, 1115 (1969). van Amerongen et al. PRL 100 090402 (2008) 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Dimension 4: 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 (PP4) 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Depletion of k = 0 state (14) 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Dimension 5: (16) 2019年4月8日星期一
Linear divergence at large k. 2019年4月8日星期一 Linear divergence at large k. 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Dimension 2: Many papers reviewed in A. Posazhennikova, RMP. 78, 1111 (2006). M. Schick, PR A3, 1067 (1971). 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Dim 3 Dim 2 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Table 1: Comparison of BEC in dilute interacting Boson gases for different dimensions (BG = basic group [9]). 2019年4月8日星期一
Pair Distribution Function for Fermion & Boson 1 D Gas 2019年4月8日星期一 II. B.B. Wei and C.N. Yang Pair Distribution Function for Fermion & Boson 1 D Gas 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Dimension 1 r3 r4 r5 r2 r1 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 given a particle A at one point, the probability of finding another particle B at distance in (counterclockwise) is B r A 2019年4月8日星期一
L=5a functions at r=r2-r1=a, 2a, 3a, 4a r2 r1 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 1. Fermion 2019年4月8日星期一
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2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一
i particles between r1 & r2 i = 0,1,…, N-2 2019年4月8日星期一 r2 i particles between r1 & r2 i = 0,1,…, N-2 r1 2019年4月8日星期一
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2019年4月8日星期一 Fermion gap variables 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 r4 g3 g4 r3 g2 r5 r2 g5 g1 r1 2019年4月8日星期一
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2019年4月8日星期一 In the interval (0,L), D(r) is analytic everywhere except at (N-1) open circles at r=a, 2a, …, (N-1)a, and at (N-1) full circles at r=L-a, L-2a, …, L-(N-1)a. At these singular points D(r) is continuous and has a continuous first derivative. 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 Bosons 2019年4月8日星期一
2019年4月8日星期一 2019年4月8日星期一