Non-equilibrium thermodynamics near the horizon and holography The stretched horizon The membrane paradigm ・entropy, viscosity, etc. on the stretched horizon The boundary at the infinity Mitsutoshi Fujita Theoretical Particle Physics Group Department of Physics, Kyoto University [M. Fujita arXiv:0712.2289]

Non-equilibrium thermodynamics near the horizon and holography 　 runs the coordinates of the dual Yang-Mills theory. Non-equilibrium thermodynamics near the horizon and holography ・The determination of S, Q, L： they are determined by the Ward identity (the conservation law) and　by the decomposition of 　　　　 by the rotational symmetry.　These tensor is orthogonal to each other. 　　　　　　　　　　　　　　 ・Example ○The gauged SUGRA action (φis the dilaton）: Theoretical Particle Physics Group Department of Physics, Kyoto University Mitsutoshi Fujita The constitutive relation in the hydrodynamics ○The dissipative part of the stress tensor in the gauge theory side: ○We need to deform the on-shell action of the SUGRA smally to calculate the dissipative part of the energy momentum tensor　　　　. [M. Fujita,　arXiv:0712.2289 ] The transverse momentum Motivation ○We can analyze the QGP physics (the states of the high temperature and the high density in the dual Yang-Mills theory) using the strong-weak coupling duality (the AdS/CFT correspondence). ○In this presentation, we apply ‘’the membrane paradigm’’ to the AdS/CFT correspondence. We determine the viscosity coefficients of the Yang-Mills theory corresponding to the black p-brane geometry. ○The perturbation from the on-shell action 　⇔The small deviation from the thermal equilibrium: ○α and β run the spatial coordinate. The longitudinal momentum show the shear and the bulk viscosity 、　　is the sound velocity. ○　 is equal to the momentum density . ・The calculation by the method of the AdS/CFT correspondence: The determination of the viscosity coefficient Our paper ○The deformed stress tensor relates to the energy momentum tensor as follows: The stretched horizon Kovtun, Son, Starinets(2003) Our work Yang-Mills side: ｔhe behavior of the Green’s function of the Lorentz invariant theory in the hydrodynamic limit. Membrane paradigm approach ○The gauge fixing conditon ○ ｒ is the radial coordinate of the spacetime.　 ○Our solution satisfies the incoming wave boundary conditon at the horizon and the Dirichlet boundary condition at the infinity. ○The solution: ・So far, the review part of the usual AdS/CFT correspondence. These results are consistent with the quasi-normal mode analysis. ○The retarded Green’s function of the energy momentum tensor: ○The approach of the AdS/CFT correspondence ○The gauge theory side： ○The SUGRA side： the partition function of the SUGRA with the boundary value: Our work The boundary at the infinity Sound mode Problem: we can’t reproduce the perfect fluid part of the stress tensor. ○The thermal equilibrium breaks the Lorentz invariance into the rotation symmetry: Conclusion Gauge dependent terms Incoming wave solution ○We deformed Brown and York’s stress tensor so that it satisfies the conservation law of the flat space. ○We deduced the viscosity coefficient in the dual Yang-Mills theory corresponding to the black p-brane geometry using the membrane paradigm. ○the experimental result of the shear viscosity is slightly different from our result. ○Brown and York’s Quasi-local stress tensor on the stretched horizon: The transverse momentum The longitudinal momentum The transverse stress tensor ○We substitute above the solutions for this stress tensor. ○Moreover, we must deform to satisfy the conservation law in the flat space: : the extrinsic curvature ○We calculate the dissipative part of the energy momentum tensor:

今回の発表では修士論文の後半部分のMembrane paradigmを用いたグルーオン・プラズマの流体力学的な解析を [M. Fujita , `` Non-equilibrium thermodynamics near the horizon and holography, ’’　arXiv:0712.2289 ] の論文に基づき発表します。

動機 ・AdS/CFT対応（強弱結合の双対性）を用いると超重力の古典解 を用いて双対な超対称Yang-Mills 理論の高温高密度の状態、 　すなわちQGP(クォーク・グルーオン・プラズマ)を比較的容易に 　解析することができる。 ・AdS/CFT対応を用いていくつかのゲージ理論のQGPにおける 　粘性係数を計算したい。 ・ 今回用いるのはMembrane paradigmという考え方をAdS/CFT 　対応へ適用した手法である。ブラックpブレーンに対し、 　membrane paradigmを用いて双対なゲージ理論のQGPにお 　ける粘性係数を決定する。

The behavior of the Green’s function of the Lorentz invariant theory in the hydrodynamic limit. ・The retarded Green’s function of the energy momentum tensor. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ・The thermal equilibrium breaks the Lorentz invariance into the rotation symmetry. ・The determination of S, Q, L： they are determined by the Ward identity（保存則） and　　　　　　　　　　　　　　　　の回転対称性での分解等によって決まる。これらは直交する。 横運動量 横応力 縦運動量

・具体例 横運動量 縦運動量 ・AdS/CFT対応を用いた計算 →低エネルギーの極限で は流体力学の分散関係 ・具体例　　　　　　　　　　　　 　・AdS/CFT対応を用いた計算 　　→低エネルギーの極限で　　　　　　は流体力学の分散関係 　　式の極をもつ。　　　　[P. K. Kovtun, A. O. Starinets, 2005] 　　　 　 ・今回の取り組み：エネルギー運動量テンソルの真空期待値 も流体力学で支配されている。その散逸部分σの粘性係数 を決定したい。 横運動量 縦運動量

Membrane paradigm approach Horizon近傍 のP+1次元膜 ・ここまでは、通常のAdS/CFT対応のレビュー ・エネルギー運動量テンソルの散逸部分 をどうやって計算するか。 ・通常のAdS/CFT対応によるapproach ゲージ理論側： 場の期待値、相関関数 　超重力側　　 ： 超重力が住むAnti-de Sitter空間の無限遠の 　　　　　　　　　　　境界で超重力の古典解を評価する。 ・今回は少し違ってhorizonで超重力の古典解を評価する。 無限遠の境界

Membrane paradigm approach ・ 超重力の古典解を用いてhorizonで 　ゲージ理論の流体力学を記述する 　保存量の対応物をつくることができる。 ・エネルギー運動量テンソルの散逸部分を計算するには超重力解を 　ちょっとゆがめる必要がある。　 　→摂動を考える。　　　　双対のゲージ理論側、熱平衡からのずれ ・ 超重力の有効作用：φはディラトン、P(φ)はディラトンのポテンシャ 　ル Membrane paradigm approach 保存する応力テ ンソルが存在 無限遠の境界

Kovtun, Son, Starinets(2003) 重力の摂動の線型方程式の解 ・ゲージ自由度を落とす。 ｒはブラックホールの半径方向の座標　　　　　 ・古典解はhorizonでincoming　wave境界条件を満たす。 ・全ての摂動に無限遠で消えるディリクレ境界条件を課す。 ・我々の解は以前の論文で得られたquasi-normal modeの解 　とコンシステントであるはずであり、分散関係式を満たす。 我々の論文 Kovtun, Son, Starinets(2003) Shear mode Sound mode 10

Quasi-local stress tensor ・horizonで定義された保存する応力 　テンソルが存在 (BrownとYorkのQuasi-local stress tensor) ・さっきの重力解を代入 　→双対なゲージ理論の応力テンソル 　の散逸部分を再現する。 ・曲がった時空ではlocalにはエネルギーを定義できない。 　→時空の境界またはhorizonなら可能(quasi-local) ・我々のquasi-local stress tensorは平坦な保存則を満たす。 　 は双対なゲージ理論の時空を走る。 Quasi-local stress tensor 応力テンソル 無限遠の境界

流体力学の関係式 ・平坦なゲージ理論側の応力テンソルの散逸部分＋圧力の変分は次の形 ・i, j は時間を除いた空間の足を走る。 ・ はずり粘性率と体積粘性率、 は音速 ・ は運動量密度 に等しい。 ・我々が作ったQuasi-local stress tensorはこの形をしていると予 想し、 同じものだとみて粘性係数を比べた。

AdS/CFTを用いた他の論文での計算結果とコンシステント！ 流体力学定数の決定 ・ブラックpブレーンと双対な理論の粘性係数、音速は 　次のように求まった。 　問題点 ・但し、エネルギー運動量テンソルの期待値の主要項は再現できなかっ　　　 　た。 ・p=3のとき全ての摂動量が無限遠で収束するわけではない。 我々のwork AdS/CFTを用いた他の論文での計算結果とコンシステント！ 我々のwork 13

結論 今後の展望 ・我々はブラックpブレーンと双対なゲージ理論の粘性係数、 特に体積粘性係数をmembrane paradigmを用いて初め 　て導出した。　ずり粘性係数の実験結果はこの値から少し 　ずれることが知られている。 ・我々はBrownとYorkの応力テンソルを平坦な空間の保存 　則を満たすように変形して、ゲージ理論側の応力テンソル 　と比べることでブラックp-ブレーンと双対な理論のエネル 　ギー運動量テンソルの期待値の散逸部分をhorizonに見出 　した。 ・QGPにおける物理からAdS/CFT対応の検証や超対称粒 　子の証拠が得られるかもしれない。 今後の展望