電気回路学Ⅱ 通信工学コース 5セメ 山田 博仁

何故ラプラス変換を勉強するのか? 線形電気回路における過渡現象を扱うには、線形常微分方程式を解かなければならない。 RLC直列回路 → 複雑な回路の過渡現象を扱うためには、複雑な線形微分方程式を解くための高度な数学的知識が要求される。 ラプラス変換を用いると、線形微分方程式が代数演算を用いてシステマティックに解ける。(高度な数学的知識は不要) ラプラス変換は、電気回路のみならず、物理学および工学分野の様々な問題に応用することが可能。

ラプラス変換による微分方程式の解法 時間 t に関する関数の微分方程式 ラプラス変換 代数演算 ラプラス逆変換 により、i(t) が求まる。 複雑な関数のラプラス変換やラプラス逆変換には、ラプラス変換表(教科書 表5.2)を用いればよい。

電気回路で用いるラプラス変換 時間 t に関する関数を f(t) とし、s = σ + jω (σ, ω は正の実数 )となる複素数 s を用いて、 を求めることをラプラス変換(Laplace transform)と言い、 　　　　　　　　　　　　　　とも書く。 Lの筆記体、ポンド(￡)ではない また逆に F(s) から、 を求めることをラプラス逆変換と言い、 とも書く。 ラプラス変換および逆変換を、　　　　　　　　　　　　　と表すこともある。 f(t)　　　　　　　F(s) さらに、f(t) を t 関数または表関数、 F(s) を s 関数または裏関数と呼ぶこともある。 また、s を複素周波数(complex frequency)という。

単位ステップ関数と単位インパルス関数 1. 単位ステップ関数 ( u-1(t) あるいは u(t) ) t 1 u-1(t) 1 u-1(t) u-1(t) = 0　　 – ∞ < t < 0 1　　 0 < t < + ∞ 2. 単位インパルス関数 ( u0(t) あるいは δ(t) ) t ∞ u0(t) u0(t) = 0　　　t < 0, t > δ u0(t) = 0　　　 t ≠ 0 + ∞　　t = 0 t u0(t) δ あるいは、 単位ステップ関数と単位インパルス関数との間には、　　　　　　　　　　　の関係がある。

各種関数のラプラス変換 1. 単位ステップ関数のラプラス変換 0 – ∞ < t < 0 u-1(t) = であるから、 2. 単位インパルス関数のラプラス変換 u0(t) = 0　　　t < 0, t > δ であるから、 ロピタルの定理 例 5.1.4 (ⅰ) 定数のラプラス変換 E を定数とすれば、 (ⅱ) te-αt のラプラス変換 となる α に対して、

各種関数のラプラス変換 例 5.1.4 (ⅲ) として、 指数関数と三角関数との関係式 を使用

各種関数のラプラス変換 例 5.1.4 (ⅳ) ならば、 指数関数と双曲線関数との関係式 を使用

ラプラス変換の基本公式 1. 相似定理 とすれば、 が成り立つ。 何故なら、 であるから。 2. 変移定理 (ⅰ) とすれば、　f(t – a),　a > 0 が、　t < a で 0 なるとき、 である。 何故なら、　τ = t – a として、 である。 しかるに、 f(τ) は τ < 0 で 0 であるから、上式の右辺の積分の下限は 0 としてよい。 一般にどんな t 関数 f(t) に関しても、t = 0 で始まる関数を t = a で始まる関数に変移させると、そのラプラス変換は、変移させる前の関数のラプラス変換を e−as 倍したものになる。逆にあるラプラス変換を e−as 倍すれば、それに対する t 関数は、もとのラプラス変換に対する t 関数を、時間 a だけ変移したものになる。そのため電気回路論では、遅延演算子と言う。

ラプラス変換の基本公式 2. 変移定理 (ⅱ) 任意の複素数 a に対し、 である。 何故なら、 であるから。 例 5.2.1　t = a で突然 0 から 1 に変化する関数 u-1(t – a) を考える。 t 1 u-1(t – a) a 0　　t > a u-1(t – a) = 1　　t < a であり、この関数のラプラス変換は、 となるが、上式の右辺第1項は 0 となるから、第2項のみを計算すれば、 となる。

ラプラス変換の基本公式 例 5.2.2 (ⅰ) であるから、 (ⅱ) を用いて、 (ⅲ) を用いて、 3. 微係数のラプラス変換 例 5.2.2　(ⅰ) 　　　　　　であるから、 (ⅱ) を用いて、 (ⅲ) を用いて、 3. 微係数のラプラス変換 ただし f(0) は、t の正の側より t = 0 に近づいた極限を表すもので、初期値である。 同様にして、微分を n 回繰り返すと、 ラプラス変換により、微分演算が代数演算になる ! ただし、 である。

ラプラス変換の基本公式 例 5.2.3 (ⅰ) を求める。 であるから、 を用いると、 従って、 より、 (ⅱ) を求める。 として、 例 5.2.3　(ⅰ) 　　　を求める。 であるから、 を用いると、 より、 従って、 (ⅱ) 　　　　　　を求める。 として、 (n 回微分のラプラス変換で、n = 2 の場合) より、 従って、 従って、 よって、

ラプラス変換の基本公式 4. 初期値および終期値定理 (1) 初期値定理 f(t) の1階微分のラプラス変換の式において、s → ∞ を考える。 左辺の s → ∞ と積分の順序を入れ替えると、 となるから、 従って、 (初期値定理)が得られる。 (2) 終期値定理 f(t) の1階微分のラプラス変換の式において、s → 0 を考える。 左辺の s → 0 と積分の順序を入れ替えると、 ここで、 よって、 (終期値定理)が得られる。 t → 0 あるいは t → ∞ の極限における f(t) の値、即ち初期値あるいは終値が、sF(s) の 無限遠点あるいは原点の値によって示される。

ラプラス変換の基本公式 5. 積分のラプラス変換 部分積分 右辺第1項は、f(t) がラプラス変換可能という条件から、 は有限である。 従って、t → ∞ および t → 0 に対して となる。 結局右辺は第2項のみが残り、 同じことを n 回繰り返すと、 も得られる。 上式で のとき、不定積分 を G(τ) で表わせば、 となる。ただし、 で、これは定数。

ラプラス変換の基本公式 5. 積分のラプラス変換の続き 従って、 となる。 あるいは、 である。 6. t の乗除 証明は教科書参照 7. 相乗積分(ボレルの定理) 証明は教科書参照