第５章：　偏微分の応用（§3~§5） 極大・極小の判定 陰関数定理 （平面曲線） 条件付き極値、特にラグランジュの乗数法 （最大・最小）

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1 第５章：　偏微分の応用（§3~§5） 極大・極小の判定 陰関数定理 （平面曲線） 条件付き極値、特にラグランジュの乗数法 （最大・最小）

2 極大・極小 (§3 (p.183～)) 「局所的に（＝十分狭い範囲では）」最大・最小
以下 f (P) = f (x,y) は微分可能とする。 点 A(a,b) が広義極大（極小）点では： 　　　　　　　　　　　　　　　　 （極点＝極値をとる点である必要条件） A を「停留点（stationary point）」と言う。

3 停留点の判定（分類） (5.3.5) 停留点： この時テーラー展開は： ２次式 F=Ax2+2Bxy+Cy2 の符号が問題
停留点の判定（分類） (5.3.5) 停留点： この時テーラー展開は： ２次式 F=Ax2+2Bxy+Cy2 の符号が問題 ３次以上の項は、h, k が十分小さければ２次の項（さらには全体）の符号に影響しない。　

4 ２次曲面の分類 F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2 で表される曲面： Δ(x,y) = AC－B2 により分類。 変数変換により：
楕円型のとき「極点」（極大または極小） 双曲型のとき「鞍点（saddle point）」 放物型のときは、広義極点

5 ２次曲面の分類（２） 前ページの標準形は、２次形式： において、間の行列を対角化したことにあたる（対称行列なので、必ず対角化可能：線形代数の授業参照： P は適当な回転行列）

6 記号についての注意 高校以来、おなじみの判別式 D= B2－ACは教科書 (p.184, 5.3.4) にあるヘッセ行列式 ： とは正負が逆になっている。 どちらがわかりやすいかは問題だが、混乱を避けるため、できるだけ教科書の流儀に合わせていく。しかし個々の場合について意味を考えることが大事。

7 停留点の分類 (定理 5.3.5) Δ(a,b)>0 （楕円型） Δ(a,b)<0 （双曲型）
停留点の分類 (定理 5.3.5) 停留点：　fx(a, b)= fy(a, b)=0 Δ(a,b)>0　　　（楕円型） fxx(a, b), fyy(a, b) は同符号 fxx(a, b)>0: 極小点、fxx(a, b)<0: 極大点 任意の断面について極大／極小 Δ(a,b)<0　　　（双曲型） (a, b) を「鞍点 (saddle point)」と言う。 必ず等高線（２本）が交差し、等高線を境にして、 f (x, y) の正負が入れ替わる。 ある断面については極大、別の断面については極小、等高線沿いには定数関数（変化なし）。

8 停留点の分類（続き） Δ(a,b)=0 いろいろな場合がある 放物型： 広義の極大／極小点 その他
放物型：　広義の極大／極小点 その他 f (x,y)=x4+y4　（高次の極大・極小） 等高線が３本以上 f (x,y)=xy(x2-y2) 等高線が１本： f (x,y)=y3 等高線が０本（２次元領域で定数） 等々 テイラー展開の３次以上を見る必要がある。

9 極大・極小の判定手順（１） 微分可能でない場合：
個別に調べる。 上は円錐面で、原点で極小（最小）だが、原点では微分不能。 微分でわかる以外の性質（対称性、周期性等）について事前によく考察しておく。 （それにより後の計算も楽になる。）

10 極大・極小の判定手順（２） fx, fy を計算して停留点 fx(a, b)= fy(a, b)=0 を求める。
実際にはこの計算がかなり大変。 Δ(a,b)= fxx(a, b) fyy(a, b) ー{fxy(a, b)}2 を求める。 Δ(a,b)>0 なら極大・極小点、 Δ(a,b)<0 なら鞍点。 Δ(a,b)=0 の場合は、テイラー展開の３次以上を求める、個別に考察する等。

11 陰関数定理　（5.4.2） 陰関数 f (x, y) = 0 ⇒ f (x, y(x)) = 0 が 陽形式 y=φ(x) と表せるための条件。 (a, b) の近傍で fx , fy が連続、 f (a, b)=0, fy(a, b)≠0 このとき (a, b) で接線を持つ y=φ (x) が存在。 また 要するに、等高線が引けるための条件。

12 陰関数の微分 実際にはすでに高校でもやっている。 全微分の観点からは： 陰関数定理（２変数版）はy’ の存在保証。
例：円の方程式　x2+y2=r2 両辺を x で微分して整理 全微分の観点からは： 接線方向には全微分は 0： 陰関数定理（２変数版）はy’ の存在保証。 y’ しか与えないので、y を得るには積分が必要

13 陰関数定理：　特異点 陰関数定理： Fx(a,b)=Fy(a,b)=0 のとき：　特異点 （singular point）：　後述の停留点でもある。 正則点（特異点以外の点）では F(x,y) は１つの方向にだけ水平；　それが y’ の方向。 特異点では複数の方向に水平である可能性がある。

14 参考： 陰関数定理（３変数） 定理 (5.4.3) の n=2 の場合。
F(x,y,z) = 0 を満たす x, y, z に対し、 　　z = f(x,y) となる f(x,y) が存在するための条件。 このとき： さらに多変数→多変数（写像）への一般化、 条件が多い場合等 (5.4.4) 写像の「線形性」が前面にでてくる。

15 平面曲線 f (x,y)=0 を満たす(x,y) 全体の集合 参考：別の定式化：パラメタ形式
例：　リサージュ曲線 一般に　f (x,y)=0 で与えられた曲線は、 y=g(x) やパラメタ形式で簡単に表せない。 ⇒　どうやって形状を調べるか？

16 平面曲線（２） 通常点（正則点）の場合 特異点（停留点）の場合 (5.5.1) 停留点の分類に呼応して：
近傍では等高線がただ１本ある（陰関数定理） 特異点（停留点）の場合　(5.5.1) 停留点の分類に呼応して： Δ(a,b)>0：　孤立点 Δ(a,b)<0：　結節点（等高線が２本交わる） Δ(a,b)=0：　別途調べないとわからない。

17 ラグランジュの乗数法 （5.6.2, 5.6.4） 条件付きの極大・極小問題
ラグランジュの乗数法　（5.6.2, 5.6.4） 条件付きの極大・極小問題 原理：　２曲面 C(x,y,z)=0 と F(x,y,z)=k とは、 k の値を変えていくと： 共通点を持たない 接する 交わる といった状態を移り変わるだろう。 b, c のとき、C=0 という条件を満たす点が F 上にある。 b のとき、F は C=0 という条件下での極値（極大／極小）をとりうる。（いつでもそうとは限らないが。）

18 ラグランジュの乗数法（２） （２変数版の場合： (5.6.2)）
g(x,y)=0, f (x,y)=k が (a,b) で接するなら、その点での法線ベクトルが一致する： これを満たすλ, a, b を求めればよい。 λ がいわゆる「未定係数」である。

19 ラグランジュの乗数法（３） （３変数版の場合）
g(x,y,z)=0, f (x,y,z)=k が (a,b,c) で接するなら、その点での法線ベクトルが一致する： これを満たすλ, a, b, c を求めればよい。

20 最大・最小問題 ポイント： 有界閉領域で連続な関数には最大値・最小値が存在する。 (5.7.9) したがって、連続関数の場合：
ポイント：　有界閉領域で連続な関数には最大値・最小値が存在する。 (5.7.9) したがって、連続関数の場合： 有界閉領域での最大値は、極大点か境界上の最大点。最小値についても同様。(5.7.13)　　　　 開領域（境界を含まない領域）では、最大（小）値が存在するなら極大（小）点で最大（小）。 (5.7.10)

21 補足：Jacobi 行列、行列式（Jacobian）
x = x(u,v), y = y(u,v) のとき： u = u(x,y), v = v(x,y) のとき： 上の２つの行列は互いの逆行列である （２つ目の行列の）行列式を と書き、「関数行列式」、「Jacobi 行列式」 （Jacobian）などと言う。 （重積分の変数変換で使う。）

22 教科書訂正 p.208 (5.7.14): p.187 問題1 1) と同じ