数理統計学(第四回） 分散の性質と重要な法則

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1 数理統計学(第四回） 分散の性質と重要な法則
浜田知久馬 数理統計学第４回

2 分散についての性質 V[X+Y]＝E[(X+Y－μx－μY)2] ＝E[(X－μx)2+(Y－μx)2 +2 (X－μY) (Y－μY) ]
＝ E[(X－μx)2]+ E[(Y－μY)2] 　　+2E[(X－μx) (Y－μY)] ＝V[X]+V[Y]+2・Cov[X,Y］ 独立のときは, V[X+Y]＝V[X]+V[Y] 数理統計学第４回

3 分散についての性質 ａは定数 V[a+X] ＝ E[(a+X－a－μx)2] ＝V[X] V[aX]＝E[(aX－aμx)2]
　　　　＝E[a(X－μx)2] 　　　　＝a2E[(X－μx)2] 　　　　　　 ＝a2 V[X] E[a+X]＝a+E[X],　 E[aX]＝a・E[X], 数理統計学第４回

4 分散についての性質 Ｚ＝a1X1+ a2X2+・・・+ apXp V[Ｚ]＝ΣΣaiajCov［Xi,Xｊ]
＝Σai2 V[Xi]+ΣΣ2aiajCov[Xi, Xｊ] 　　　　　　　　　　　　　　　ｉ < ｊ X1, X2, ・・・ ,Xpが互いに独立の場合 V[Ｚ] ＝Σai2 V[Xi] ＝a12V[X1]+a22V[X2]+・・・+ aｐ2V[Xｐ] （分散の加法性） 数理統計学第４回

5 分散についての性質 Ｚ＝a1X1+ a2X2 V[Ｚ]＝ V[a1X1+ a2X2]
＝ E[(a1X1+ a2X2 － a1μ1－ a2μ2)2] ＝ E[(a1X1－ a1μ1 + a2X2 － a1μ2)2] ＝ E[(a1X1－ a1μ1)2 ] + E[(a2X2－ a2μ2)2 ] +2E[(a1X1－ a1μ1)(a2X2－ a2μ2) ] ＝ a12V[X1]+a22V[X2] +2a1a2Cov[X1, X2] 数理統計学第４回

6 分散・共分散行列 3変数の場合 V[X1] Cov[X1, X2] Cov[X1, X3]
V= Cov[X2, X1] 　 V[X2] 　　　　Cov[X2, X3] Cov[X3, X1] Cov[X3, X2] 　 V[X3] 一般にｐ変数ある場合， 分散・共分散行列はｐ×ｐの対称行列になる. 数理統計学第４回

7 行列表現 ａT=[a1，a2，・・・， ap] ａ：ｐ行のベクトル ｘT=[X1，X2，・・・，Xp] ｘ：ｐ行のベクトル
V：分散・共分散行列(ｐ×ｐ)　 Z＝ａTｘ V[Ｚ]＝ａT Vａ Ｚ＝a1X1+ a2X2+ a3X3 の場合について V[Ｚ]を書き下せ． 数理統計学第４回

8 Ｚ＝a1X1+ a2X2+ a3X3の分散 Ｚ＝a1X1+ a2X2+ a3X3 V[Ｚ]＝ａT Vａ
＝a12V[X1]+ a1a2Cov[X1,X2]+ a1a3Cov[X1,X3] +a2a1Cov[X2,X１]+ a22V[X2]+a2a3Cov[X2,X3] +a3a1Cov[X3,X1]+ a3a2Cov[X3,X2]+ a32V[X3] 数理統計学第４回

9 共分散の計算 Ｚ1＝a1X1+ a2X2+ ・・・+a3X3＝ａTｘ Ｚ2＝ｂ1X1+ｂ2X2+ ・・・+ｂ3X3＝ｂTｘ のとき
Cov[Ｚ1,Ｚ2]＝ Cov[ａTｘ,ｂTｘ] ＝ΣaibjCov［Xi,Xｊ] ＝ａT Vｂ V[Ｚ1]＝Cov[ａTｘ,ａTｘ] ＝ａT Vａ 数理統計学第４回

10 共分散の計算 Ｚ1＝a1X1+ a2X2+ a3X3 Ｚ1＝b1X1+ b2X2+ b3X3 Cov[Ｚ1,Ｚ2]＝ａT Vｂ
＝a1b1V[X1]+ a1b2Cov[X1,X2]+ a1b3Cov[X1,X3] +a2b1Cov[X2,X１]+ a2b2V[X2]+a2b3Cov[X2,X3] +a3b1Cov[X3,X1]+ a3b2Cov[X3,X2]+ a3b3V[X3] 数理統計学第４回

11 分散の加法性の応用 平均値の分散は？ X1, X2, ・・・ ,Xnが互いに独立に分散σ2の 分布にしたがうとき 数理統計学第４回

12 分散の加法性の応用 E[X]＝0,V[X]=32=9 E[Y]＝0,V[Y]=42=16 でかつXとYが独立のとき X+Yの期待値と分散は？
数理統計学第４回

13 乱数による確認実験 data data; do i=1 to 1000; x=3*rannor(5963);
y=4*rannor(5963); z1=x+y;z2=x-y;output; end; proc means mean var std maxdec=2;run; 数理統計学第４回

14 要約統計量 変数 平均値 分散 標準偏差 ---------------------------------
変数 平均値 分散 標準偏差 x y z z 数理統計学第４回

15 演習問題 Ｘ1，Ｘ2，・・・，Ｘ6が確率変数でそれぞれ 独立に正規分布Ｎ(μ，σ2)に従っているとき，１）～７）の期待値と分散を示せ．
０） Ｘi: 解答例　期待値μ，分散σ2 数理統計学第４回

16 演習問題 数理統計学第４回

17 中心極限定理 Central Limit Theorem
多くの分布が一山分布になるのはなぜだろうか？ 例）センター入試，身長，血圧 中心:分布の中心,平均値は 極限：ｎを大きくすると 正規分布にしたがう. ｢和や平均値の分布は山型の分布にしたがう」 数理統計学第４回

18 平均値の２つの性質とSE １）平均値の分散(バラツキ)は生データの１／Ｎ，標準偏差に直せば１／√Ｎになる．
２）Ｎがある程度大きくなれば，平均値の分布は正規分布になる． 数理統計学第４回

19 乱数実験 Ａ）０，１の一様分布(0～1の間を等しい確率でとる)にしたがう乱数を１万個発生さる．
Ｂ）一様分布にしたがう乱数を４万個発生させ，４個づつ組にして平均値を計１万個計算する. Ｃ）一様分布にしたがう乱数を９万個発生させ，９個づつ組にして１万個の平均値を計算する. 数理統計学第４回

20 生データのヒストグラム　A 0.00 0.30 0.60 0.90 Y1 200 400 度 数 数理統計学第４回

21 4個の平均のヒストグラム　B 0.00 0.30 0.60 0.90 Y4 500 1000 度 数 数理統計学第４回

22 9個の平均のヒストグラム C 0.00 0.30 0.60 0.90 Y9 500 1000 1500 度 数 数理統計学第４回

23 実験結果のまとめ 平均値 標準偏差 分散 Ａ）生データ 0.499 0.289 0.0838
　　　　　　　 平均値 標準偏差 分散 Ａ）生データ 　0.0838 Ｂ）４個の平均 　 Ｃ）９個の平均 数理統計学第４回

24 大数の法則(law of large numbers)
平均値はｎを大きくすると，真の値に収束する. 平均値→E(X)＝μ　（ｎ→∞） limP（|平均値－μ|≧ε）＝0 ｎ→∞ マルコフの不等式(Markov’s　inequality) チェビシェフの不等式(Chebyshev’s inequality) 数理統計学第４回

25 マルコフの不等式 X≧0：非負の確率変数 ｃ＞0：正の定数 P（X ≧ｃ）≦E（X）／ｃ 例）交通事故による死亡が10を越える確率は？
Y＝0　if　X＜ｃ 　　　c　if　X ≧ ｃ 常にY≦Xなので→ E（Y）≦E（X） E（Y）＝0×P(Y=0)+ｃ×P(Y=c)＝ｃ×P(X ≧ ｃ) E（Y）＝ｃ×P(X ≧ ｃ) ≦E（X） 数理統計学第４回

26 マルコフの不等式 Y=X Y ｃ ｃ X 数理統計学第４回

27 マルコフの不等式の応用 宝くじで１等２億円が当たる確率は？ X：宝くじの賞金金額 P（X ≧ ２億円） E（X）＝150円,ｃ＝ ２億円
＝ 150円／ ２億円＝1/133万 正確な確率は1/500万 数理統計学第４回

28 チェビシェフの不等式 E（X）＝μ,V（X）＝σ2 P（|X－μ| ≧ｃ）≦σ2／ｃ2 Y＝（ X－μ）2とおいてマルコフの不等式を適用
P（Y ≧ｃ2 ）≦E（Y）／ｃ2 ＝ σ2 ／ｃ2 Y ≧ｃ2 ⇔ |X－μ| ≧ｃ　なので P（Y ≧ｃ2 ） ＝P（|X－μ| ≧ｃ） 数理統計学第４回

29 チェビシェフの不等式の意味 σ2=１のとき ｃ チェビシェフの上限 正規分布 1 1 0.32 2 0.25(1/22) 0.05
ｃ　　チェビシェフの上限　　正規分布 1　　　　　1　　　　　　　　　　　0.32　 2　　　　　0.25(1/22)　　　　　　0.05 3　　　　　0.11(1/32)　　　　　　0.003 4　　　　　0.06(1/42)　　　　　　＜0.0001 数理統計学第４回

30 日本人身長の例(浜田世代） 男性 平均：170.1 SD：5.6 単位(cm) 平均±SD ：164.5～175.7
数理統計学第４回

31 日本人身長の例(浜田世代） 女性 平均：157.3 SD：5.0 単位(cm) 平均±SD ：152.3～162.3
数理統計学第４回

32 大数の法則 　　にチェビシェフの不等式を適用すると ｎ→∞のとき右辺は0に収束するから 数理統計学第４回