豊中高校土曜講座「数学セミナー２００３」 プラトン多面体の数学 なぜ正多面体は５種類しかないのか 大阪府立豊中高等学校 深川　久.

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1 豊中高校土曜講座「数学セミナー２００３」 プラトン多面体の数学 なぜ正多面体は５種類しかないのか 大阪府立豊中高等学校 深川　久

2 正多面体の定義 有限個の面からなる凸多面体 各面は合同な正多角形 各頂点のまわりに集まる面の数は同じ 言葉で正確に言い表してみよう。
定義をもとに，正多面体の種類を決定したい。

3 正多面体の種類 正四面体 （面の形は正三角形） 正六面体 （面の形は正方形） 正八面体 （面の形は正三角形）
正多面体の名前と，面の形をあげてみよう。 正四面体 （面の形は正三角形） 正六面体 （面の形は正方形） 正八面体 （面の形は正三角形） 正十二面体 （面の形は正五角形） 正二十面体 （面の形は正三角形） 「他にない」ことはどうやって証明できるだろうか？

4 正多面体の種類（図） これらの存在は認めよう。他にないことを証明したい。

5 二通りの証明の方針 角度を用いる方法 一つの頂点に集まる面の内角の和を 考える。（硬い方法） 頂点・辺・面の数の関係を使う方法
硬い方法とやわらかい方法がある。 角度を用いる方法 一つの頂点に集まる面の内角の和を 考える。（硬い方法） 頂点・辺・面の数の関係を使う方法 オイラーの多面体公式を利用する。　　　　 （やわらかい方法） これから両方の証明を見ていこう。

6 角度を用いる方法 頂点のまわりに最低何枚の面が集まる？ 頂点に集まる正多角形の内角の和の値のとりうる範囲は？ 正ｎ角形の一つの内角は何度？
面は正ｎ角形，１頂点に集まる面はｒ枚としよう。 頂点のまわりに最低何枚の面が集まる？ 頂点に集まる正多角形の内角の和の値のとりうる範囲は？ 正ｎ角形の一つの内角は何度？ これらから自然数の組（ｎ，ｒ）を決定する。

7 角度を用いる方法（２） ｎ≧３，ｒ≧３である。 一つの頂点に集まる面の内角の和は，　　３６０°よりも小さい。

8 角度を用いる方法（３） 正ｎ角形の一つの内角は･･･ これをｒ枚あつめて３６０°未満だから･･･
この不等式を満たす（ｎ，ｒ）をすべて見つけよう。

9 角度を用いる方法（４） 前ページの不等式を変形する。 ｎ≧３，ｒ≧３である自然数でこの不等式を満たすのは，
（ｎ，ｒ）＝（３，３），（４，３），（３，４），（５，３），（３，５） これらが正４，６，８，１２，２０面体に対応し， これですべてである。　　　　　　　　　　　　　　（証明終）

10 Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２ オイラーの多面体公式 多面体の頂点の数をＶ，辺の数をＥ，面の数をＦとおけば，次の関係が成り立つ。
この公式を証明し，それを用いて正多面体が５種類しかないことを示そう。

11 正多面体の頂点・辺・面の数 頂点 辺 面 Ｖ－Ｅ＋Ｆ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
既知の正多面体に対して確かめよう。 頂点 辺 面 　Ｖ－Ｅ＋Ｆ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体

12 正二十面体と正十二面体の双対性 頂点の数は双対多面体の面の数。

13 正多面体の頂点・辺・面の数 頂点 辺 面 Ｖ－Ｅ＋Ｆ 正四面体 ４ ６ ２ 正六面体 ８ １２ 正八面体 正十二面体 ２０ ３０ 正二十面体
結果は以下のとおり。 頂点 辺 面 　Ｖ－Ｅ＋Ｆ 正四面体 ４ ６ ２ 正六面体 ８ １２ 正八面体 正十二面体 ２０ ３０ 正二十面体

14 オイラーの公式の証明（１） 多面体の面を１つ取り除き平面上に広げる。（Ｆ’＝Ｆ－１とおく）
右端のような図形に対してＶ－Ｅ＋Ｆ’＝１を示せばよい。（注：外部は面ではない）

15 オイラーの公式の証明（２） 多角形の面を三角形に分割しても， Ｖ－Ｅ＋Ｆ’の値は変わらない。
辺を２本追加して三角形に 分割すると，面も２つ増える。 頂点は不変。 平面上の，三角形分割された穴のない領域に対してＶ－Ｅ＋Ｆ’＝１を証明すれば十分である。

16 オイラーの公式の証明（３） 一つの三角形に対しては成り立っている。 三角形を追加すると・・・ こうして，オイラーの多面体公式が証明された。
Ｖ＝３，Ｅ＝３，Ｆ＝１より， Ｖ－Ｅ＋Ｆ’＝１ 三角形を追加すると・・・ Ｖ－Ｅ＋Ｆ’は不変 こうして，オイラーの多面体公式が証明された。

17 オイラーの公式を用いる方法 ｒ，Ｖ，Ｅの関係式 ： ｒＶ＝２Ｅ ｎ，Ｆ，Ｅの関係式 ： ｎＦ＝２Ｅ １頂点に集まる面の数をｒとする。
ｒ，Ｖ，Ｅの関係式　：　ｒＶ＝２Ｅ １頂点にｒ本の辺が集まる。　この ｒ と頂点数Ｖの積は， 各辺を両端の頂点から２度数えた値２Ｅに一致。 ｎ，Ｆ，Ｅの関係式　：　ｎＦ＝２Ｅ １面にｎ本の辺がある。この ｎ と面数Ｆの積は，各辺を その両側の面から２度数えた値２Ｅに一致。 これらとオイラーの公式から（ｎ，ｒ）を絞りこむ

18 オイラーの公式を用いる方法（２） ｒ，ｎ，Ｖ，Ｆ，Ｅの関係 前項から， オイラーの公式 代入する 変形整理

19 オイラーの公式を用いる方法（３） ｎ，ｒ を絞り込む 前頁の結果 ｎ≧３，ｒ≧３である自然数でこの不等式を満たすのは，
　 ｎ≧３，ｒ≧３である自然数でこの不等式を満たすのは， 　 （ｎ，ｒ）＝（３，３），（４，３），（３，４），（５，３），（３，５） これらが正４，６，８，１２，２０面体に対応し， これですべてである。　　　　　　　　　　　　　　（証明終）

20 二つの方法の関連を探ろう 正六面体の場合 1つの頂点に集まる面の内角和は？ それは３６０°に対してどれだけ足りない？
（この「足りない角」を不足角と呼ぼう） 不足角を，すべての頂点に対して足してみよう。 （この和を「不足角の総和」と呼ぼう） 不足角の総和は，３６０°の何倍か？ 他の正多面体についても，同じ計算をしてみよう。

21 不足角とは（図） １頂点の周りで展開すると・・・
平面上に展開すると，欠けた部分ができる。この部分の角を，３６０°に足りない，という意味で不足角と呼ぶ。 正六面体の場合，１頂点に正方形が３枚集まっている。正方形のひとつの内角は９０°だから，不足角は　　　　　　 ３６０°－　９０°×３　＝　９０°　　　　　　　　　　

22 不足角の総和を調べてみよう １頂点不足角 不足角の総和 ３６０°の何倍 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体

23 不足角の総和を調べてみよう（結果） １８０° ７２０° ２倍 ９０° １２０° ３６° ６０°
１頂点不足角 不足角の総和 ３６０°の何倍 正四面体 １８０° ７２０° ２倍 正六面体 ９０° 正八面体 １２０° 正十二面体 ３６° 正二十面体 ６０° 不足角の総和は正多面体によらず，３６０°の２倍。

24 不足角の２はオイラーの２ 表の右端に２が並ぶ・・・似ている！ 例を増やしてみよう。
Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２ の ２ は，不足角の総和の２なのではないか？ 予想：「不足角の総和＝オイラー数×３６０°」 例を増やしてみよう。 正多面体以外の多面体で，オイラー数Ｖ－Ｅ＋Ｆと不足角の総和を計算して，比べてみよう。

25 例を増やす：トーラスでは トーラス・・・浮き袋の表面 隠れた面を想像しながら，オイラー数と，不足角の総和を計算してみよう。
「不足角の総和＝オイラー数×３６０°」はここでも成立

26 さらに例を増やす：ｎ人乗り浮き輪 ２人乗り浮き袋 この例でも，予想は成り立つだろうか。

27 まとめ 正多面体は５種類：２通りの証明 頂点に集まる面の内角和の制約による方法 不足角の総和とオイラー数の関連
オイラーの公式を用いる方法 不足角の総和とオイラー数の関連 「不足角の総和＝オイラー数×３６０°」 さらに，ｎ人乗り浮き輪の穴の数とオイラー数の関係へと考察をすすめることもできる。 ---正多面体の分類から有向閉曲面の分類へ---