３次関数・４次関数の極値に 関する高専１年生の発見

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1 ３次関数・４次関数の極値に 関する高専１年生の発見
一関工業高等専門学校 　　　　梅 野 善 雄 ２００４年数学教育の会、夏の集会　Ｈ１６．９．５

2 関数の授業と数式処理電卓 平成１５年度の1年関数の授業で使用 夏季休業前に貸与 グラフ機能の利用法を説明 学生は、主に、グラフの確認に使用
試験時の使用は認めない

3 自由研究 幾つかの課題の中から一つを選択させ 数式処理電卓を利用して、 各自の考察結果をまとめさせた
定型的な問題解法とは異なり、　 どのような問題意識のもとに、 何を、どのように考えるかが重要となる

4 学生に課した自由研究の一例 次の関数のグラフは、　　　　　がどのようなときに、どのようなグラフになるかを調べよ。 考察期間は、１ヶ月を与えた。

5 まとめ方に関する注意 まとめ方は各自の自由でよい。 どのような操作をしたら、 どのような結果が表示されて、
　どのような操作をしたら、 　どのような結果が表示されて、 　そのことからどのようなことを思い、 　どのようなことを予想し、 　その予想をどのようにして確かめたか、 　あるいは確かめようとしたが、 　何が障害になって確かめられなかったか、 という各自の思考の経過をまとめればよい。

6 こちらの意図したこと こちらの意図は、以下のことにあった のとき等による、 グラフの基本パターンの場合分け （１）（３）は、 軸との共有点が
　こちらの意図は、以下のことにあった 　　　　 のとき等による、 グラフの基本パターンの場合分け （１）（３）は、　　軸との共有点が 　　　であることへの気づき （２）（４）は、グラフの形状変化と判別式の符号との関係への気づき 　を得させよう、ということ。

7 指摘されてきた事項（１） は、 軸との共有点である。 グラフの基本パターンの場合分け。
　　　　　 は、 軸との共有点である。 グラフの基本パターンの場合分け。 を同じ数だけ変えると、 　　グラフは横にずれる 　　山や谷の 座標は変わらない のどれか1つが0だと、原点を通る

8 指摘されてきた事項（２） の符号が逆だと原点に関して対称 で のとき、山や谷の 座標の絶対値は等しい で が複素数のとき、 が
　　　　　 の符号が逆だと原点に関して対称 　　　　　　　　 で のとき、山や谷の 座標の絶対値は等しい で が複素数のとき、　　　が 　　　　　　以外のときグラフは表示されない 　　　　　のどれか2つが等しいと、そこで　　軸と接する

9 熊谷一生君のレポート 　 軸との交点が　　　 なので、交点が２重、３重になっているため　　軸と交わる点が減っているのではないかと思った

10 ３次関数の平行移動 3次関数でも の平行移動で、グラフの求め方が簡単になるのではないか？
3次関数でも　　　　の平行移動で、グラフの求め方が簡単になるのではないか？ 2次関数の標準形を求めるようにすれば求まるのではないか。 そこで、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　から始めて同様の変形をしてみた。

11 変形結果（１）

12 変形結果（２）

13 個々のグラフを描いてみる

14 グラフから分かること の の部分に の1次式が 含まれているのでグラフが違う ③の波の打ち方には、1次式②が関係している
　　　　　　　　　　　　の　　の部分に　 の1次式が 含まれているのでグラフが違う ③の波の打ち方には、1次式②が関係している 1次式②の傾きが0のときは、③グラフは 　　　　　　 のグラフと同じ形になる ③のグラフの形は、1次式②の傾きが関係する 　　　　　　　　　　　　の　　の部分に　　が含まれてはいけないので、　　を含む項を　　　 に含めて 考えることにした

15 平行移動に関する結論 のグラフは を、 軸方向に 軸方向には だけ平行移動したものである。

16 のグラフ 波の打ち方は の が関係する の場合は、波は打たなかった も も増加関数だからと考えられる の場合は、波を打ち始めた
波の打ち方は　　　　　　　　　　 の　　が関係する 　　　　　の場合は、波は打たなかった も も増加関数だからと考えられる 　　　　　の場合は、波を打ち始めた は増加、 は減少だからと考えられる

17 ある不等式の発見 　　　　　　　　　　　　　　　　　　のグラフで波を打たないものはなかったので、 と予想したが、証明できなかった

18 極大値と極小値

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20 自由研究は、やっているうちにどんどんおもしろくなり、 めちゃくちゃ頑張りました。

21 自由研究の感想（１） 数学は奥が深いなあと思いました。 問題を解くのではなく、自分で発見するところが苦労でもあり楽しかった。
通常の課題の倍以上の時間がかかった。その分、自分で何かを発見できたりするとうれしかった 考えても疑問がまた出てきて、またそれについて考えるのが楽しかった。 数学とは、調べてみると沢山のことが発見できるんだと思いました。

22 自由研究の感想（２） 普段あまりしない「良く見て考える」といったことを する機会になったと思う。
ただの式だけだとやる気がしない課題でも、 数ナビのグラフ機能を使うと分かりやすいし、 楽しいのでやりがいがあった。 解説プリントでは、すごい発見をしている人が いることが分かって、自分ももう少し頑張れば 良かったと思った。 まったくできなかったので、とてもつらかった。

23 今後、検討されるべきこと 自由な発想を引き出す研究テーマの設定 提出されたレポートの評価方法 提出後の学生へのレスポンスの仕方
テクノロジー利用で、誤った理解を得る 場合がある 課題をこなしきれない学生への配慮 いずれも、今後の課題としたい

24 テクノロジー利用による誤理解