動力学(Dynamics) 運動方程式のまとめ ２００８．６．１７

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1 動力学(Dynamics) 運動方程式のまとめ ２００８．６．１７
知能システム論１（９） 動力学(Dynamics) 運動方程式のまとめ ２００８．６．１７

2 講義内容 １．はじめに ２．ベクトルの基礎 ３．運動学(Kinematics) ４．動力学（Dynamics)まとめ ５．行列の演算と応用(Matrix) ６．軌道計算(Trajectory) ７．ロボットの制御(Control) ８．応用(Application)

3 力のモーメント（回転力） 大きさ： 方向： 向き： ｎ（ｒ と F を含む面に垂直） 右ねじ ｎ r |r|sinθ θ F

4 先端部における力と力のモーメントの効果 第 i 関節にかかる力のモーメント: 第 i 関節の回転力 Ti ： F M P P-Pi Zi
Yi=pi Z0 X０ P1 Y0

5 ヤコビアン（係数行列）Jacobian J:ヤコビアン 上式を１つにまとめると次のようになる マニピュレータ先端の並進速度
マニピュレータ先端リンクの回転速度 上式を１つにまとめると次のようになる 自由度変数の 変化速度 先端の速度 J:ヤコビアン 例題のヤコビアン

6 Ｔ3，⊿θ3 P Fx, Fx, Fx ⊿x, ⊿y, ⊿z Ｔ2，⊿θ2 Ｔ１，⊿θ1 Z0 X０ P1 Y0

7 動力学(Dynamics) 逆動力学： リンクの位置、速度、加速度から関節トルクを求める。
逆動力学：　リンクの位置、速度、加速度から関節トルクを求める。 順動力学：　関節トルクからリンクの加速度を求める。 ・逆動力学はロボットの制御に用い、順動力学はロボットの 　シミュレーションに用いる。 ・ここでは、主として逆動力学について述べる。順動力学は 　逆動力学に基づき展開することができる。 はじめに例題の３関節(自由度）ロボットを取り上げ、 各リンクの質量が重心に集中している場合を扱い、 一般への展開はその後考える。

8 運動方程式(Equation of Motion)
力とモーメント ベクトル リンク重心位置

9 各リンク重心の速度と加速度 回転速度ベクトル 回転加速度ベクトル

10 各リンクの力とモーメントの釣合い リンク３ 関節３での力モーメントの釣合い リンク２ リンク1 関節トルク：

11 各リンクの運動方程式の一般形 ：慣性テンソル 慣性主軸 Ｘ軸周りの慣性モーメント となる軸 リンク

12 オイラー(Euler)方程式 慣性主軸座標系でのオイラー方程式 慣性主軸 基準座標系でのオイラー方程式

13 オイラー(Euler)方程式

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15 オイラー(Euler)方程式（ベクトル表現）
角運動量の時間微分が力のモーメント 重心周りの角運動量

16 とすると。

17 重心周りの角運動量 慣性乗積がゼロのＸ，Ｙ，Ｚ軸を選ぶと、

18 慣性モーメントの計算 Ｚ Ｙ Ｘ

19 慣性モーメントの計算 Ｒ Ｘ Ｚ Ｙ

20 逆動力学の計算手順 １) 各リンクの姿勢と重心位置(θ:given） ２） 各リンク重心の速度・回転速度（ :given）
４）　各リンクの運動方程式 ５）　各関節に加わる力・モーメントベクトル(Fi,Mi） ６）　各関節のトルク（Ti） １）～３）はベースから手先へ、 ４）～６）は手先からベースの向きに漸化式を立てる

21 演習問題 右の２リンクからなる 水平多関節ロボット について問い に答えよ。 各リンクの質量 ｍ１、ｍ２は 重心に集中して いるものとする。
レポート提出期限 ７月１日（火） １．ロボットの位置姿勢xi,yi,zi,Piを求めよ。 ただし、　　　　　　　　　　　のときxi,yi,ziは 　基準座標系x0,y0.z0と一致するものとする。 ２．各リンクの回転速度ベクトルと関節位置 　　速度を求めよ。 ３．各リンクの重心の加速度ベクトルを求めよ。 ４．各リンクの運動方程式を求めよ。 ５．各関節トルクを求めよ。

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23 順動力学(Forward Dynamics)
順動力学：　関節トルクから自由度の加速度を求める。 　　　　　　　　ロボットのシミュレーションなどに用いる。 慣性行列 として逆動力学で求める 問題はＡの定式化！

24 の時の逆動力学 順運動学：慣性行列の求め方

25 上の式展開での 記号の順序入換 のとき スカラー三重積の性質を用いた式変形 A B C C A B

26 慣性行列