天体物理学 Ｉ ： 授業の内容 天文学は天体からの光を研究する学問です。 そこでこの授業では、「光」をどう扱うかの基礎を学びます。

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1 天体物理学 Ｉ ： 授業の内容 天文学は天体からの光を研究する学問です。 そこでこの授業では、「光」をどう扱うかの基礎を学びます。
天体物理学 Ｉ　：　授業の内容 天文学は天体からの光を研究する学問です。 そこでこの授業では、「光」をどう扱うかの基礎を学びます。 授業計画は、 Ａ．水素原子　　Ｂ．エネルギー準位　　Ｃ．熱平衡　　Ｄ．線吸収　　Ｅ．連続吸収　　 Ｆ．光のインテンシティ　Ｇ．黒体輻射　Ｈ．等級　　Ｉ．色等級図　　 Ｊ．光の伝達式　Ｉ　　Ｋ．光の伝達式　ＩＩ　Ｌ．星のスペクトル という順で進めます。 最後まで行くと、星のスペクトルがどんな仕組みで決まっているかが判る、 というのが目標です。 ＡからＥまでは光の吸収に関係する物理の話です。Ｆでは光の強さをきちん と定義します。ＧからＩは光の強さを天文学でどう使うかを示します。ＪからＬは 光がガス中を伝わる様子を式に表わし、その式を解いて星のスペクトルを導き ます。それでは、始めましょう。 Ａ：　水素原子

2 Ｎ ダスト 今回の内容 （Ｎ．１） 小さな誘電体の球の吸収 微小誘電体粒子の光学的性質をまとめておきます。 （Ｎ．２） 星間減光
Ｎ　ダスト 今回の内容 （Ｎ．１）　小さな誘電体の球の吸収 　　微小誘電体粒子の光学的性質をまとめておきます。 （Ｎ．２）　星間減光 　　星間減光曲線と特徴とその微粒子の光学的性質との関係をしらべます。　　　 （Ｎ．３）　赤化 （Reddening） 　　波長により星間減光の強さが異なる現象を赤化と呼びます。その特徴を 調べます　　 Ａ：　水素原子

3 Ｎ．１．小さな誘電体の球の吸収 原子を電気双極子とみなした吸収（復習） ｚ 電磁波 E=Eo exp[ 2πi(νt – ikx)]
－ｑ ｚ ｑ 電磁波　E=Eo exp[ 2πi(νt – ikx)] 双極子モーメントp=－qz z” +γz’ +ωo 2z=－(qEo/m) exp( iωt) α=感受率 　（susceptibility） Ｊ：　星間減光

4 α=双極子原子の感受率 （susceptibility）
この原子の吸収断面積は、αを用いて下のように表される。 Ｊ：　星間減光

5 小さな誘電体の球の吸収 半径ａ、誘電率εの球を考え、外から一様な電場Ｅをかける。 球の表面に誘導される電荷は、双極子
球の表面に誘導される電荷は、双極子　 ｐ＝ａ３[(ε－１ )/(ε＋２）] Ｅ と同じ電場を作る。 したがってこの球のα＝ａ３[(ε－１ )/(ε＋２）] Ｅ ｒ＝半径 ε＝誘電率 Ｊ：　星間減光

6 誘電体球 （半径＝a）を波長λ(>>a)の電磁波中に置いた場合、 半径スケールでは、時間的に変動する一様電磁場とみなせる。
の双極子と見なせる。したがって、 「Ｃ：線吸収」でやった双極子の吸収断面積の式が適用できるので、 この式で興味深いのは、微小球では構成原子一個あたりの吸収断面積は 一定となることである。ｎ＝固体原子の数密度、N=球内の固体原子数として 原子１個当たりの吸収断面積＝ この値は原子が気体として単独に存在している時のσATOMとは異なることに注意。 Ｊ：　星間減光

7 小さな誘電体球の散乱 繰り返すが球の内部では、一様な の分極密度を発生させるから、球全体は体積をかけて の双極子と見なせる。
E=Eo・exp(iωｔ)の電磁波に対しては、 の振動双極子となるので、電磁波を発生する。これが微小な誘電体球からの散乱光である。 散乱光は次に述べるように偏光している。 入射光と散乱光の作る平面を散乱面、角度θを散乱角と言いう。 入射光 θ 散乱光 Ｊ：　星間減光

8 散乱光も同じく散乱面に垂直に１００％偏光する。 散乱光の強度は散乱角によらず一定である。
（１）　入射光が散乱面に垂直な１００％の偏光。 　　　　　　　　　散乱光も同じく散乱面に垂直に１００％偏光する。 　　　　　　　　　散乱光の強度は散乱角によらず一定である。 入射光 θ 散乱光 （２）　入射光が散乱面に平行な１００％の偏光。 　　　　　　　　　散乱光も散乱面に平行に１００％偏光する。　　　　　　　　　 　　　　　　　　　散乱光の強度は散乱角θに対しcos2θの依存性を示す。 入射光 ｒ 散乱光 Ｊ：　星間減光

9 前頁の２種の散乱強度を式で表すと、 入射光が無偏光の場合、 とおくと、 散乱光の総量は、 Ｊ：　星間減光

10 吸収効率 Q=σ/（πa2） ｘ＝２πa/λ＜＜１ すなわち、 a＜＜λでは とすると、
誘電率εが波長にあまり強く依存しない時、Qscaはｘ４＝（２πa/λ）４に比例する。このようにλ－４に比例する散乱はレーリー散乱(Reyleigh scattering)と呼ばれる。 一方、吸収の式を見ると、Qabsはｘ＝（２πa/λ）に比例する。 したがって、ｘが十分に小さいと吸収が散乱よりも効くようになる。 Ｊ：　星間減光

11 Ｘ０でＥｆｆｉｃｉｎｃｙ Ｆａｃｔｏｒ Ｑ０ は吸収の効率が落ちることを意味しない。
Ｘ０の時、Q（∝Ｘ）０となる。一見すると、粒子が小さくなると吸収の効率が悪くなるようである。しかしこれは誤り。 原子１個当たりの吸収効率を調べてみよう。 （１）　Ｘ＜＜１ 原子１個当たりの吸収断面積＝ Ｘ０でＥｆｆｉｃｉｎｃｙ　Ｆａｃｔｏｒ　Ｑ０　は吸収の効率が落ちることを意味しない。 （２）　Ｘ＞＞１ Ｑ＝１として、原子１個当たりの吸収断面積＝ 逆にＸ＞＞１でＱ＝２の領域が原子一個あたりの効率は悪くなることに注意。 ２ １ ０　　　　１　　　　　２　　　　　３ ０ Q σ/N ｘ Ｊ：　星間減光

12 微小ダストの共鳴吸収 を見ると、 ε＝－２付近でＱ＞＞１となることが分かる。そこで、
　ε＝ε１＋ｉε２　とおいてこの共鳴吸収の様子を調べてみる。 　ε＝ε１＋ｉε２　面上でＡ＝一定の線、つまり吸収強度一定の線を引くと 下の式のようになる。 　ε面上で、（ε１，ε２）＝（－２、０）は特異点で、（－２、 ε２＋０）でＡ∞　となる。 したがって、物質の複素誘電率が（－２、０）付近を通る時には共鳴吸収が起きて、ダストは非常に強い吸収を引き起こす。 Ｊ：　星間減光

13 共鳴吸収領域 弱い吸収領域 Ａ＝Im [(ε－１ )/(ε＋２）]＝一定の軌跡 ε2 ε1 6 A=1/2 4 3/4 2 3/2 3
4 6 ε2 A=1/2 3/4 3/2 弱い吸収領域 3 ε1 Ｊ：　星間減光

14 Ｎ．２． 星間減光 Ｄ Ｆ＝Ｌ / （４πＤ２） ｍ＝Ｍ＋５ｌｏｇ（Ｄ/１０ｐｃ） Ｄ Ｆ＝Ｌ ｅｘｐ（－τ）/ （４πＤ２）
Ｎ．２．　星間減光 Ｄ Ｆ＝Ｌ / （４πＤ２） ｍ＝Ｍ＋５ｌｏｇ（Ｄ/１０ｐｃ） Ｄ τ Ｆ＝Ｌ ｅｘｐ（－τ）/ （４πＤ２） ｍ＝Ｍ＋５ｌｏｇ（Ｄ/１０ｐｃ）＋Ａ Ａ＝２．５（ｌｏｇｅ）τ＝１.０８６τ Ａ＝星間減光（Ｉｎｔｅｒｓｔｅｌｌａｒ　Ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎ）と呼ばれ、星間空間中の微小な 　　　固体微粒子が原因と考えられている。 Ｊ：　星間減光

15 星間減光の波長による変化 λ Ａ(λ)/Ａ（Ｖ） 250 0.00042 0.0012 60 0.002 35 0.0037
　λ　　　Ａ(λ)/Ａ（Ｖ） 0.0012 　λ　　　Ａ(λ)/Ａ（Ｖ） 　λ　　　Ａ(λ)/Ａ（Ｖ） Ｊ：　星間減光

16 星間吸収曲線 log(λ) Log(Ａλ/Ａｖ) 星間減光曲線 -1 -2 -3 Ｊ：　星間減光

17 ωｐ ω 星間減光曲線の特徴（２） ε１ グラファイト（やメタル）では固体内自由電子によって、
1 -1 -2 -3 ωｐ 表面プラズモン ε１ ω グラファイト（やメタル）では固体内自由電子によって、 ε＝１－ (ωｐ/ω)2となり。 ε＝－２で吸収のピークが生まれる。 Ｊ：　星間減光

18 ３： Ｒ＝Ａｖ/（ＡＢ－Ａｖ） （the total to selective absorption ） Ｒ=３．１ 場所より ２．７～５
星間減光曲線の特徴（３） ３：　Ｒ＝Ａｖ/（ＡＢ－Ａｖ）　（the total to selective absorption ） Ｒ=３．１　場所より　２．７～５ ４：　可視域では　Ａｖ ～ １/λ ５：　９.７μ、１８μ吸収帯 　　　　　９．７μ：　Ｓｉ－Ｏ　のＳｔｒｅｔｃｈｉｎｇ　Ｍｏｄｅ 　　　　　１８μ　：　Ｓｉ－Ｏ－Ｓｉ　のＢｅｎｄｉｎｇ　Ｍｏｄｅ 　　　　　吸収帯には細かい構造が欠けている。 　　　　　鉱物種を特定できない。 ６：　星間ダスト成分 　　　　以上から炭素系とシリケイト系のダストが存在する　　　　ことが分かる。 Ｊ：　星間減光

19 とする。この式を波数ｋ＝１/λ＝２πｃ/ωで書き直し。
星間減光の簡単なモデル 前ページで述べたように、星間ダストはメタル系のダストと誘電体的なダストが混在しているらしい。そこで、メタル物質の誘電率をεＧ、誘電体物質の誘電率をεＳとし、 とする。この式を波数ｋ＝１/λ＝２πｃ/ωで書き直し。 モデルに以下の数値を入れて計算を進めた。 Ｊ：　星間減光

20 Ｊ：　星間減光

21 Ｊ：　星間減光

22 Ｎ．３． 赤化 （Reddening） 二色図 色等級図 カラーエクセス Ｅ（Ｂ－Ｖ）＝ＡＢ－Ａｖ＝０．３１Ａｖ
カラーエクセス　　　Ｅ（Ｂ－Ｖ）＝ＡＢ－Ａｖ＝０．３１Ａｖ 　　　　　　　　　　　　Ｅ（Ｕ－Ｂ）＝ＡＵ－ＡＢ＝０．２５Ａｖ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝０．８１Ｅ（Ｂ－Ｖ）　 Ｖ ０ １ ２ ０　　　　　　　　　　０．５　　　　　　　　　１　　　　　　　　　（Ｂ－Ｖ）　 Ａｖ＝０ ０.５ １.０ １.５ （Ｕ－Ｖ） ０　　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　（Ｂ－Ｖ）　 ４.０ ２.０ 二色図 色等級図 Ｊ：　星間減光

23 赤化 (reddening) ＝ E(X-Y) = AX－AY E(B-V)=AB － Av は最もよく使われる。
減光と赤化により、色等級図は平行移動を受ける。 (B-V,V)図での移動の方向は、AB/Av=1.31より、 Av/E(B-V) =1/0.31=3.2 で決まる。 V 5 10 Av=2　の減光を受けたＨＲ図の変化 15 B-V Ｊ：　星間減光

24 Ｌａｎｄｏｌｔ測光標準星表(1992)の星の二色図。 青線＝主系列星、紫線＝巨星
（Ａｖ＝１の赤化ベクトル） 二色図上の赤化の傾きは、 Ｅ（Ｕ－Ｂ）/Ｅ（Ｂ－Ｖ） ＝（１．５６－１．３１）/（１．３１－１） ＝０．２５/０．３１＝０．８１です Ｊ：　星間減光

25 例：銀河系中心方向の吸収Ｉ） 銀河中心(Sgr A*)の座標 銀経＝ｌ＝－０.０５4° 銀緯＝ｂ＝－０.０４６°
　　　　銀経＝ｌ＝－０.０５4°　　　　　　　　　 銀緯＝ｂ＝－０.０４６° (l,b)=(0,0) ：赤経＝α＝17時45分37.2秒　赤緯＝δ＝－28°56′10″.2 （分点２０００）は、銀河中心ではない。 ｌ＝９０° Sagittarius arm ｌ＝１８０° ｌ＝０° 太陽 銀河中心 星間雲 Ｊ：　星間減光

26 アンタレス ＧＣ方向 Ｊ：　星間減光

27 銀河系中心方向の吸収（ＩＩ） 銀河中心３°四方Ｂバンド 銀河中心３０′四方Ｂバンド 銀河中心３０′四方 Ｈバンド
銀河中心３０′四方　Ｈバンド 銀河中心３０′四方　Ｊバンド 銀河系中心方向の吸収（ＩＩ） Ｊ：　星間減光

28 銀河中心 Ｈ Ｊ：　星間減光

29 吸収の少ないバーデウィンドウで決めた赤色巨星枝
ＡＫ／（ＡＨ－ＡＫ）＝０．１０８／（０．１７６－０．１０８）＝１．６４ 　６ Ａｖ＝１４ 銀河中心方向領域１７の星間減光 Ｋ 　８ １０ １２ 吸収の少ないバーデウィンドウで決めた赤色巨星枝 Ｊ：　星間減光

30 Ｒｅｄｄｅｎｉｎｇ Ｆｒｅｅ Index 星間減光を受けると天体のカラーは赤化を受ける。二つのカラーの赤化量は共に減光の強度ｋに比例するので、二つのカラーに適当な重みを付けて差し引いたインデックスＱを作ると、赤化分が相殺されて減光の影響を受けない。 ここでは、以下のようにＱを定め、それが減光によらないことを示す。 Ｊ：　星間減光

31 Ｑ４－Ｑ５図が面白いのは、低温度側で主系列星と赤色巨星が分離していることである。ＡＧＢの先端でＱ値が大きく変動しているがこれは検討を要する。
前に使ったＬａｎｄｏｌｔの標準星表をもう一度使って、Ｑの性質を実際に調べてみよう。表にはＵ，Ｂ，Ｖ，Ｒｃ，Ｉｃの５バンドの等級が載っている。独立なＱの数は３であるが、表現の便宜上ここでは下の４つを定義した。 Ｑ４－Ｑ５図が面白いのは、低温度側で主系列星と赤色巨星が分離していることである。ＡＧＢの先端でＱ値が大きく変動しているがこれは検討を要する。 Ｑ１－Ｑ２図にはバルマージャンプの影響が強く出ている。モデル線から離れた点が系列をなしているが、採用したＩｃの有効波長が合っていなかったためかもしれない。 Ｊ：　星間減光

32 Ｊ：　星間減光

33 参考のために、モデル計算による等時線の色等級図を示す。
Ｊ：　星間減光

34 Ｊ：　星間減光

35 Ｊ：　星間減光

36 Ｒｅｄｄｅｎｉｎｇ Ｆｒｅｅ Ｉｎｄｅｘ （赤外） ＱＪＨＫ＝（Ｊ－Ｈ）/ ０．１０８ －（Ｈ－Ｋ）/０．０６８ＱＨＫＬ＝（Ｈ－Ｋ）/０．０６８－（Ｋ－Ｌ）/０．０５７
-1 1 3 4 ＱＪＨＫ ＱＨＫＬ 2 Ｇ０ Ｏ９ Ａ０ Ｋ０ Ｍ０ Ｍ６ Ｓｐ（Ｖ）　Ｊ－Ｈ　Ｈ－Ｋ　Ｋ－Ｌ　ＱＪＨＫ　ＱＨＫＬ O B A F G G K K M M M M Ｊ：　星間減光

37 Ｉ Ｉ-ｄＩ ｄＩ＝Ｉ・Ｎ・ｄｘ・σＡ ｄｘ Ｂ Ｂ-ｄＩ -ｄＩ＝-Ｂ・Ｎ・ｄｘ・σＡ +ｄＩ +ｄＩ＝ε・ｄｘ ｄｘ
吸収断面積σＡと放射断面積σＥ （Ａ）粒子からの放射を考えない時。 Ｉ Ｉ-ｄＩ ｄＩ＝Ｉ・Ｎ・ｄｘ・σＡ ｄｘ （Ｂ）粒子が温度Ｔの黒体輻射に浸されている時。 Ｂ Ｂ-ｄＩ -ｄＩ＝-Ｂ・Ｎ・ｄｘ・σＡ +ｄＩ +ｄＩ＝ε・ｄｘ ｄｘ （－ｄＩ）と（＋ｄＩ）は相殺されるはずである。よって、ε＝Ｂ・Ｎ・σＡ　　　　 Ｇ：　黒体輻射

38 粒子１個からのエネルギー発生率を考える第１ステップとして、 ａ＞＞λの黒体球（温度Ｔ）を考えよう。
球表面の単位面積からのフラックス＝Ｆ＝π・Ｂ（Ｔ） 球全体からは４πａ２・Ｆ＝４π２ａ２・Ｂ（Ｔ） が放射される。 したがって、 粒子密度＝Ｎの時、単位体積当たりエネルギー発生率 ＝４πε　＝ ４π２ａ２・Ｂ（Ｔ）・Ｎ　　（黒体でかつａ＞＞λの場合） 放射断面積σＥ　 ４πε　＝ ４πＮ・Ｂ・σＥ　　一般の場合の放射断面積σＥ　の定義 ａ＞＞λの黒体球（温度Ｔ）　の場合、 σＥ＝ πａ２　　である。 　前ページで導いた４πε＝４πＢ・Ｎ・σＡと比べると 　　　　　　　　　σＥ＝ σＡ　　　　　　　　が分かる 粒子一個当たりエネルギー放出率＝４π・Ｂ（Ｔ）・σＡ　 Ｇ：　黒体輻射

39 星間ダストの温度 星間空間には宇宙背景輻射、遠方銀河からの輻射、銀河系内の恒星からの輻射などが重なり合って、星間空間輻射場を構成している。この星間空間の輻射強度Ｉをある温度Ｔの黒体輻射が薄められたものとモデル化する。 星間ダストを、半径a, 温度＝ＴＤの黒体と考える。すると、ダスト表面の単位面積当たり放射フラックスは、 一方、ダスト表面の単位面積当たり吸収フラックスは、黒体を仮定しているから ダスト温度は総放射と総吸収が平衡する∫Ｆ（ν）ｄν＝ ∫Ａ（ν）ｄν から定まる。 Ｇ：　黒体輻射

40 前回のオルバースのパラドックスの議論に習い、厚み３ｐｃのシェル毎にωだけ被覆されるとし、銀河系の星の広がりとして、１ｋｐｃ程度をとる。
結局、 ＤとＴを推定してみよう。星間空間輻射に効くのは銀河系のＡ型星かＦ型星あたりであろう。最も近いＡ型星シリウスまでの距離は３ｐｃ、半径はＲ＝２Ｒ☉である。 １ｐｃ 地球 １″ 太陽 上の描像から、シリウスの角半径は、 Θ＝２×（１５×３×１０－４）× （５×１０－６/３）＝１．５×１０－８ 立体角はω＝πΘ２＝７×１０－１６程度である。 ３０′ 前回のオルバースのパラドックスの議論に習い、厚み３ｐｃのシェル毎にωだけ被覆されるとし、銀河系の星の広がりとして、１ｋｐｃ程度をとる。 すると、シェルは３００層になるから、Ａ型星の被覆度はＤ＝３００ω＝２×１０－１３ Ｔ＝１０４と合わせると、 Ｇ：　黒体輻射

41 注意しておくべきは、ダストの放射と吸収に関して次の仮定をしたことである。
少し低めだが、推定値としては悪くない。 注意しておくべきは、ダストの放射と吸収に関して次の仮定をしたことである。 （１）　ダストの吸収と放射が幾何学的な半径ａの球の表面で行われている。 　　　　つまり、前回の定義σ＝Ｑ・（πａ２）で言えば、Ｑ＝１ 　　　　これは、ａ＞＞λとみなしていることになり、星間ダストとしては不適切。 （２）　ダストを黒体としている。 　　　　こちらは、前回のＱの表式で考えると、 の を無視していることに相当する Ｇ：　黒体輻射