第４日目第１時限の学習目標 ３つ以上の平均値の差の検定（分散分析）の概要を知る。 （１）分散分析の例を知る。

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1 第４日目第１時限の学習目標 ３つ以上の平均値の差の検定（分散分析）の概要を知る。 （１）分散分析の例を知る。
　（１）分散分析の例を知る。 　（２）分散分析の広がりと基本的デザインについ 　　　 て学ぶ。 　（３）要因の効果の検定方法を学ぶ。 　（４）分散分析の基本用語を学ぶ。

2 ３つ以上の平均値の差の検定（１） 分散分析例（１）
３つ以上の平均値の差の検定（１） 　　　　　　　分散分析例（１） 12h 24h 36h 48h 1 3 4 7 2 6 5 8 ３ ４ 9 10 11 睡眠遮断実験データ 　　 （Kirk, 1985) 要因ー睡眠遮断 要因数ー１ 要因の水準ー４ 　 12h, 24h, 36h, 48h の睡眠遮断条件 サンプル数ー各水準に８名づつ無作為割付 従属変数ー手先の鈍感さ 完全無作為化 ANOVA 　　（完全無作為化法）

3 ３つ以上の平均値の差の検定（２-１） 分散分析例（２-１）
３つ以上の平均値の差の検定（２-１） 　　　　　　　分散分析例（２-１） ミュラー・リヤー錯視実験データ 　　　第２日目第４時限で学習した、ミュラーリヤー錯視 　　図形を用いた実験で、錯視量に影響を及ぼす要因 　　の１つである斜線分の角度と、実験参加者側の要因 　　の１つと考えられる参加者の態度要因（全体視か主 　　線分注視か）の効果の有無を検討するための実験 要因ー角度要因と態度要因 要因数ー２ 要因の水準ー角度要因３、態度要因２ サンプル数ー３６名 従属変数ー錯視量 完全無作為化２要因 ANOVA

4 ３つ以上の平均値の差の検定（２-２） 分散分析例（２-２）
３つ以上の平均値の差の検定（２-２） 　　　　　　　分散分析例（２-２） 　　A/B 　B１　３０度 　B２　４５度 　B３　６０度 　A１　全体 　　　視 　 ２４、１４、２６ ２６、２３、３２ ２３、２４、２３ １９、２６、２４ ２６、２７、１８ ２０、２３、１３ A２　主線 　　分注視 　 ２３、１８、１７ 　２８、１６、２１ 　２５、１６、２０ １８、２６、１８ ２４、１３、１７ １７、１９、１７

5 ３つ以上の平均値の差の検定（３） 分散分析例（３）
３つ以上の平均値の差の検定（３） 　　　　　　　分散分析例（３） ミラーリエル錯視実験 (１８年度計量心理学演習　　受講者データ） 要因ー斜線分の長さ 要因数ー１ 要因の水準ー３ サンプル数ー１２名 従属変数ー錯視量 （単位mm) １要因反復測定 (デザイン) ANOVA 15mm 　条件 30mm 45mm　 　　１ 17.8 18.5 19.5 　　２ 25.8 30.5 28.8 　　. . 　１２ 21.0 29.0 31.5

6 ３つ以上の平均値の差の検定（４） 分散分析例（４）
３つ以上の平均値の差の検定（４） 　　　　　　　分散分析例（４） 反応時間実験データ 　　 （１８年度修士２年 　　　　　　金田君データ） 要因ー反応形態と刺激の中立性 要因数ー２ 要因の水準ー反応形態３、刺激の中立性２ サンプル数ー２５名 従属変数ー反応時間 ２要因反復測定 (デザイン) ANOVA A1 B1 B2 A2 A3 1 240 218 437 439 485 567 2 197 195 267 382 366 363 … 25 256 301 411 416 407 480

7 ３つ以上の平均値の差の検定（５） 分散分析の広がり（１）
３つ以上の平均値の差の検定（５） 　　　分散分析の広がり（１） ３つ以上の平均値の差の検定の方法である分散分析には、いろいろなものが知られている。 一般には、この種の方法は、研究者が関心を持つ従属変数に対して影響を持つと考えられる多くの独立変数、すなわち要因のうち、少数の要因に絞り他はできる限り統制し、少数要因の効果の有無を統計的に検討する方法の全体を実験計画法 (design of ex- periment 又は experimental design) と呼ぶが、狭義にはそれによる分析手続きを分散分析 (analysis of variance, 略して ANOVA) と呼ぶ。

8 ３つ以上の平均値の差の検定（６） 分散分析の広がり（２）
３つ以上の平均値の差の検定（６） 　　　分散分析の広がり（２） 分散分析は、狭義には１変量分散分析を指すが、広義にはそれのみでなく、共分散分析 (analysis of co- variance, 略して ANCOVA)、多変量分散分析 (multivariate analysis of variance, 略して MANOVA)、及び一般多変量分散分析 (general multivariate analysis of variance, 略して GMANOVA) が含まれる。 また、複数の条件（分散分析では、これを処理とか水準とかいうことがある）に対して、同一被験者が反応させられるデザインとして、反復測定（測度）分散分析(repeated measures ANOVA) がある。

9 ３つ以上の平均値の差の検定（６） 分散分析の広がり（３）
３つ以上の平均値の差の検定（６） 　　　分散分析の広がり（３） この授業では、それらのうち、要因数が２つまでの基本的な４つの方法について、まず簡単に紹介する。 それらは、完全無作為化デザイン (completely ran-domized design)、完全無作為化要因デザイン (completely randomized factorial design)、乱塊法 (randomized block design)、分割区画デザイン (split-plot design) である。 分散分析では、つぎに示すように、データを収集する前に、研究目的に照らして、適切な要因及び被験者を計画的に集める必要がある。

10 ３つ以上の平均値の差の検定（７） 完全無作為化デザイン（CR-p）
当該実験での主要な１つの因子の各水準に対して、各被験者を無作為に割り付ける方法。 CR-p デザインでは、Fisher の実験計画法の３原則のうちどれとどれを使うか？ 水準 観測値 均質な被験者集団 Ａ１ ・・・ Ａｐ

11 ３つ以上の平均値の差の検定（8） 完全無作為化２要因デザイン（CRF-pq）
当該実験での主要な2つの因子の各水準に対して、各被験者を無作為に割り付ける方法。 CR-p デザインとどこが異なる？ B1 … Bq A1 ׃ 均質な被験者集団 Ap

12 ３つ以上の平均値の差の検定（9） 乱塊法デザイン（RB-p）
当該実験での主要な１つの因子の各水準に対して、均質でない被験者を１つの局外因子によりブロック化し、ブロックごと無作為に割り付ける方法。 RB-p デザインでは、Fisher の実験計画法の３原則のうちどれとどれを使うか？ 均質でない被験者を １つの局外因子で分ける ＢＬ１ ＢＬｋ ・・・ Ａ１ ・・・ ・・・ Ａｐ ＢＬＫ ＢＬ１ ＢＬ２ ・・・

13 ３つ以上の平均値の差の検定（10） 分割区画デザイン（SPF-p.q）
当該実験で重要度の異なる2つの因子の水準に対して、各被験者を２つの局外因子によりブロック化し２段階の無作為割り付けにより被験者を割り付ける方法。 RB-p デザインとどこが異なる？ 均質でない被験者を２つの 局外因子によりブロック化 B1 … Bq A1 ＢＬ（１）１ … BL(1)2 ׃ ׃ ׃ ׃ Ap … BL(1)p BL(2)1 BL(2)r BL(2)2 …

14 ３つ以上の平均値の差の検定（11） 条件間での平均値の差の持つ意味
３つ以上の平均値の差の検定（11） 　　条件間での平均値の差の持つ意味 睡眠遮断データでは、１２時間、２４時間、３６時間、４８時間の睡眠遮断を課す４グループ各８名の手先の敏捷性（鈍感度）のデータの平均値は、睡眠遮断時間が増すにつれて、増大している。 水準間での平均値の違いは、手先の敏捷性に対する睡眠遮断という要因の効果の有無を表している、と考えられる。 まず、睡眠遮断要因の効果の検定結果が分散分析ではどのように示されるのかを、統計ソフト SAS を用いてみてみよう。

15 ３つ以上の平均値の差の検定（12） SAS による分散分析の出力例
変動因 自由度 平方和 平均平方 　F 値 Pr>F Model 3 194.5 63.83 44.28 .0001 Error 28 41.0 1.46 Corrected total 31 235.5 Anova 平均 平方 level

16 ３つ以上の平均値の差の検定（13） SAS による分散分析の出力例
変動因 平方和 自由度 平均平方 　F値 ｐ値 要因名 SS_A I-1 / (I-1) U_A / U_E p 　誤差 SS_E N-I /(N-I) 　　計 SS_T N-1

17 ３つ以上の平均値の差の検定（14） SAS による分散分析の出力例
構造模型ー分散分析では、どのデザインでも、それにより得られるデータ y を実現値とする確率変数 Y に対するモデル（構造模型）を仮定する。例えば、CR-p デザインでは、 ここで、μは一般平均、αi は因子 A の第 i 水準の 主効果、Eik は誤差項である。

18 ３つ以上の平均値の差の検定（15） 分散分析での３つの仮定
３つ以上の平均値の差の検定（15） 　　 分散分析での３つの仮定 （１）正規性 　　　　(構造模型の）誤差項は正規分布に従う （２）等分散性 　　　　各セルの（母集団での）分散はすべて 　　　　等しい （３）独立性 　　　　従属変数の値は互いに独立である

19 ３つ以上の平均値の差の検定（16） 基本用語１－平方和（１）
３つ以上の平均値の差の検定（16） 基本用語１－平方和（１） 例えば、分散分析表の中の平方和の１つである SSAは、第 i 水準の Ni 人のサンプルの従属変数の値の平均を実現値とする確率変数から全サンプルの平均を引いたものの二乗和（平方和）である： は、第 i 水準の主効果 αi と、誤差に関わる項であ ることが、うえの構造模型を用いると証明できる。

20 ３つ以上の平均値の差の検定（1７） 基本用語１－平方和（２）
３つ以上の平均値の差の検定（1７） 基本用語１－平方和（２） 同じく分散分析表の中の平方和の１つである SS Ｅ は、第 i 水準の k 番目のサンプルの値 yik を実現値とする確率変数 Yik から第 i 水準の Ni 人のサンプルの平均を引いたものの二乗和（平方和）である： は、誤差に関わる項のみから成ることが、先ほどと同 様、構造模型から証明できる。

21 ３つ以上の平均値の差の検定（１８） 　　　　　　　　平均平方 つぎに、分散分析表の中の平均平方の１つである UＥは、誤差平方和 SSE を N – I で割ったものである： 同様に、UA は、要因平方和を I -1 で割ったもので、

22 ３つ以上の平均値の差の検定（１9） CR-p デザインにおける F 値の意味（１）
として定義されることがわかる。

23 ３つ以上の平均値の差の検定（２０） CR-p デザインにおける F 値の意味（２）
結局、CR-p デザインに限らず、一般に分散分析では、テキスト p.8 上方の枠内にまとめたように、 　　分散分析ではデータの全変動を、組み込 んだ因子の変動と誤差変動に分解し、誤差 変動に比べて当該因子の変動がどれ程大 きいのかを検討する。