線 形 代 数 (linear algebra) linear ・・・ line(直線)の形容詞形 直線的な、線形の、一次の

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1 線 形 代 数 (linear algebra) linear ・・・ line(直線)の形容詞形 直線的な、線形の、一次の
　　　　線　形　代　数 　　　(linear algebra) linear ・・・　line(直線)の形容詞形 　　　　　直線的な、線形の、一次の algebra・・・代数 　　　　　数の代わりに記号を用い　　　　　　　　　　　　　　 　　て演算を行うこと 　　　ａ＋２ｂ＝ｃ　，　　ｙ＝ａｘ＋ｂ

2 数学 －－－＞ 抽象化、一般化 より複雑な関係ー＞解析学 一次関数 ｙ＝ａｘ＋ｂ より多くの要素ー＞線形代数 ｘ ｙ ｆ（ｘ） ｙ1 ｘ1
数学　－－－＞　抽象化、一般化 より複雑な関係ー＞解析学 一次関数 ｙ＝ａｘ＋ｂ より多くの要素ー＞線形代数 要素　　　　　　　関係　　　　　　　要素 ｘ ｙ ｆ（ｘ） ｙ1 ｘ1 ｙ2 ｘ2 線形 ・ ・ ・ ・ ｙm ｘn

3 線形代数の重要性 理系、文系を問わず、幅広い分野の基礎 自然科学、工学、経済学、等 計算機の出現ー＞情報化 大量のデータの高速な計算
　　　自然科学、工学、経済学、等 計算機の出現ー＞情報化 　　　大量のデータの高速な計算 実社会での幅広い応用 　　　情報技術の基礎

4 行 列 複数の要素を、縦と横に表の形に 並べたもの。 行列の例： 買い物 値段 購入数 25 70 100 １ ２ ３ ０ ３０ ８０
行　列 　　複数の要素を、縦と横に表の形に 並べたもの。　　　　　 行列の例：　　　買い物 値段 購入数 果物屋 スーパー みかん ３０ 25 りんご ８０ 70 バナナ 120 100 みかん りんご バナナ 佐藤 　１ 　２ 　３ 田中 鈴木 　０

5 行列の例： 物を作る 工場での生産 原料の使用量 製品の生産量 製品A 製品B 原料ｐ 2 2.5 原料ｑ 1.5 1 原料ｒ 3 4 今週
行列の例：　　物を作る 工場での生産 原料の使用量 製品の生産量 製品A 製品B 原料ｐ 　2 2.5 原料ｑ 1.5 1 原料ｒ 3 4 今週 来週 製品A 　10 12 製品B 16 20

6 行 列 ａ11 ａ12 ・・・・・ ａ1n ｍ行ｎ列の行列 ａ21 ａ22 ・・・・・ ａ2n Ａ＝ ｍ×ｎ型の行列
　行　列　　　 ａ11 　ａ12　・・・・・　ａ1n　 ｍ行ｎ列の行列 ａ21　 ａ22　・・・・・ ａ2n Ａ＝ ｍ×ｎ型の行列 ・・・・・・・・・・・・ ａm1 ａm2　・・・・・ ａmn ｍ×ｎ行列 ａij：行列Ａの (i , j) 成分 ａ1j ａ2j　 [ ａi1 　ａi2　・・・・・　ａin　] Ａの列 ・ ・ Ａの行 ａmj

7 Ａ＝[ ａij ]， Ａ＝[ ａij ]ｍ×ｎ， Ａ＝[ ａij ]
零行列：全ての成分が0であるような行列 O＝ 正方行列：行と列の数が等しい行列 ｎ次正方行列：ｎ×ｎ行列

8 対角成分：正方行列の成分のうち、対角線上 に並ぶ成分
ａ11 ａ12　・・・　ａ1n　 a21 ａ22　・・・ ａ2n 対角行列 Ａ＝ ・ ・ ・ ａii ・ ・ ・ an1 ａn2　・・・ ａnn 対角行列：正方行列のうち、対角成分以外の 成分は全て０である行列

9 スカラー行列：対角成分が全て等しい対角行列
単位行列：対角成分が全て１で、それ以外の 成分は全て０である行列 E＝ E3＝ スカラー行列：対角成分が全て等しい対角行列

10 転置行列：行と列を入れ替えた行列 tＡ：行列Ａの転置行列 ａ11 ａ12 ・・・・・ ａ1n ａ11 ａ21 ・・・・・ ａm1
Ａ＝ tＡ＝ ・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・ ａm1 ａm2　・・・・・ ａmn ａ1n ａ2n　・・・・・ ａmn 1 4 Ａ＝ tＡ＝ 3 5 -2 2

11 ｎ次の行ベクトル：１×ｎ行列 m次の列ベクトル：m×1行列 [ 0 2 0 1 ] 4次の行ベクトル 3次の列ベクトル
[ ] 5 3 4次の行ベクトル 3次の列ベクトル クロネッカーのデルタ：δij δij ＝｛ 1 ( i=j ) En＝[δij ] 0 ( i≠j ) n×n

12 行列の演算 行列の和と差 行列の型が等しいときに限って定義される 行列のスカラー倍 a 1 -2 8 -2 5 1 -1 3 9 ＋ ＝
　行列の演算　　　 行列の和と差 行列の型が等しいときに限って定義される ＋ ＝ 行列のスカラー倍 2 1 2a a a 3 ＝ ＝ 4 3 4a 3a

13 　行　列　の　積 買い物の例：　　　 値段 購入数 果物屋 スーパー みかん ３０ 25 りんご ８０ 70 バナナ 120 100 みかん りんご バナナ 佐藤 　１ 　２ 　３ 田中 鈴木 　０ 果物屋 スーパー 佐藤 550 465 田中 540 460 鈴木 210 175 佐藤，果物屋 30×１＋８０×２＋１２０×３＝550 田中，スーパー 25×2＋7０×3＋１0０×2＝460

14 行 列 の 積 生産の例： 原料の使用量 製品の生産量 製品A 製品B 原料ｐ 2 2.5 原料ｑ 1.5 1 原料ｒ 3 4 今週 来週
　行　列　の　積 生産の例：　　　 原料の使用量 製品の生産量 製品A 製品B 原料ｐ 　2 2.5 原料ｑ 1.5 1 原料ｒ 3 4 今週 来週 製品A 　10 12 製品B 16 20 今週 　来週 原料ｐ 　60 74 原料ｑ 31 38 原料ｒ 94 116 原料ｐの今週の使用量 2×10＋2.5×16 ＝60 原料ｒの来週の使用量 3×12＋4×20 ＝116

15 Aの列の個数とBの行の個数が等しいとき に限って定義される
行列の積 行列Aと行列Bの積は Aの列の個数とBの行の個数が等しいとき　　に限って定義される B：ｎ×ｒ行列 A：ｍ×ｎ行列 Ａ＝[ ａij ]， Ｂ＝[ bj k] AB＝ [ ａij ] [ bj k] ＝ [ ci k] ｍ×ｎ ｎ×ｒ ｍ×ｒ ｃik ＝　ａi1　ｂ1k　＋　ａi2　ｂ2k　＋・・・・・＋　ａin　ｂnk　 (1≦i ≦m, 1 ≦ k ≦ r)

16 行列の積 k列 k列 ｉ行 ｉ行 = ｍ行ｒ列 ｍ行ｎ列 ｎ行ｒ列
　　　　　　行列の積 k列 k列 ａ11　ａ12 ・・・・・・・・ ａ1n 　　　　　・・・・・・・・・・・・・ ａi1　 ａi2 ・・・・・・・・ ａin ａm1　ａm2 ・・・・・・・ ａmn ｂ11・・ｂ1k ・・ ｂ1r ｂ21・・ｂ2k ・・ b2r 　　・・・・・・・・・・・・・ 　・・・・・・・・・ ｂn1・・ｂnk ・・・ ｂnr ｃ11 ・・ ｃ12 ・ ｃ1r 　　　　　・・・・・・・・・・・・・ ｃi1 ・・ ｃiｊ ・ ｃir ｃm1 ・・ｃm2 ・ ｃmr ｉ行 ｉ行 = ｍ行ｒ列 ｍ行ｎ列 ｎ行ｒ列 n ｃik＝　ａi1　ｂ1k　＋　ａi2　ｂ2k　＋・・・・・＋　ａin　ｂnk　＝　∑　ａij ｂjk j=1

17 ＝ 1 [ ] ＝ -1 2 1 ＝ 2 [ ] -1 2

18 （Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ） （和の結合律） ［ａｉｊ＋ｂｉｊ］ ＋［ｃｉｊ］ ＝［ａｉｊ＋ｂｉｊ＋ｃｉｊ］
　　行列の演算に関する性質 正方行列　Ａ，Ｂ ＡＢ＝ＢＡ　－＞　行列ＡとＢは可換である ＜和の性質＞ Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ　　　　　　　　　　　 Ａ＋Ｏ　＝Ａ ［ａｉｊ＋ｂｉｊ］＝［ｂｉｊ＋ａｉｊ］ ［ａｉｊ＋０］＝［ａｉｊ］ （Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）　　（和の結合律） ［ａｉｊ＋ｂｉｊ］ ＋［ｃｉｊ］ ＝［ａｉｊ＋ｂｉｊ＋ｃｉｊ］ ［ａｉｊ］＋［ｂｉｊ＋ｃｉｊ］＝［ａｉｊ＋ｂｉｊ＋ｃｉｊ］

19 (ab)Ａ＝a(bＡ)， (aＡ)Ｂ＝a(ＡＢ)
＜積の性質＞ ＡＥ＝ＥＡ＝Ａ Ａ０＝０，　０Ａ＝０ （ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）　　（積の結合律） ＜スカラー倍＞ 0Ａ＝０，　１Ａ＝Ａ (ab)Ａ＝a(bＡ)，　(aＡ)Ｂ＝a(ＡＢ)

20 ａ（Ａ＋Ｂ）＝ａＡ＋ａＢ， （ａ＋ｂ）Ａ＝ａＡ＋ｂＡ
＜分配律＞ ａ（Ａ＋Ｂ）＝ａＡ＋ａＢ，　　（ａ＋ｂ）Ａ＝ａＡ＋ｂＡ A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC Ａ1＋Ａ2＋・・・＋Ａn　 すべてのＡｉの型が等しければ定義され、和をとる順によらず決まる Ａ1Ａ2・・・Ａn　 隣り合う行列の積が定義されるならば定義され、積をとる順によらず決まる

21 Ａのべき乗Ａn＝ＡＡ・・・Ａ　 n個 行列の和、積と転置 t(Ａ＋Ｂ)＝ tＡ＋ tＢ　　　　　　　　　　　 t(ＡＢ)＝ tＢ tＡ　　　　　　　　　　　 べき零行列 Ａm＝o　

22 行列の分割 A11 A12 ・・・・・ A1t A21 A22 ・・・・・ A2t Ａ＝ As1 As2 ・・・・・ Ast ＝ ＝ A11
　行列の分割　　　 A11 　A12　・・・・・　A1t　 A21　 A22　・・・・・ A2t Ａ＝ ・・・・・・・・・・・・・・・ As1 As2　・・・・・ Ast 2 3 ＝ ＝ A11 A12 A11 A12 ＝ 1 -2 A21 A22 A21 ＝ [ 5 3 ] A22 ＝ [ -9 ]

23 n1 n2 nt A11 A12 ・・・・・ A1t n1 B11 B12 ・・・・・ B1u A21 A22 ・・・・・ A2t n2
Ａ＝ B＝ ・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・ As1 As2　・・・・・ Ast nt Bt1 Bt2　・・・・・ Btu C11 　C12　・・・・・　C1u　 C21　 C22　・・・・・ C2u ＡB＝ ・・・・・・・・・・・・・・・ Cs1 Cs2　・・・・・ Csu Cij ＝　Ai1　B1j　＋　Ai2　B2j　＋・・・・・＋　Ait　Btj　 (1≦i ≦s, 1 ≦ j≦ u)

24 数ベクトル a,b,・・・,u,v,x,y アルファベットの小文字の太字 列ベクトルへの分割 Ａ＝ ＝[ a1 a2 a3 a4 ]
１ Ａ＝ ＝[ a1 a2 a3 a4 ] ２ １ １ a1 ＝ , a2 ＝ , a3 ＝ , a4 ＝ ２ １

25 行列の積の数ベクトルを用いた表現 a1 a2 ・am B＝[ b1 b2 ・・・ br ] Ａ＝ a1 b1 ・・・・・ a1 br
a1 B a2B ・ am B a2 b1 ・・・・・ a2 br ＡB＝ ＝[Ａb1 ・・・Ａbr ] ＝ ・・・・・・・・・・・・・・・ am b1 ・・・・ am br

26 Ａｘ＝ｂ 行列と連立１次方程式 ａ11ｘ1＋ａ12ｘ2＋・・・・・＋ａ1nｘn＝ｂ１ ａ21ｘ1＋ａ22ｘ2＋・・・・・＋ａ2nｘn＝ｂ2
　　行列と連立１次方程式 ａ11ｘ1＋ａ12ｘ2＋・・・・・＋ａ1nｘn＝ｂ１ ａ21ｘ1＋ａ22ｘ2＋・・・・・＋ａ2nｘn＝ｂ2 ・・・・・・・・・・・・ ａm1ｘ1＋ａm2ｘ2＋・・・・・＋ａmnｘn＝ｂm 　Ａｘ＝ｂ 係数行列 ａ11 　ａ12　・・・・・　ａ1n　　　　　　　　ｘ1　　　　　ｂ１ ａ21　 ａ22　・・・・・ ａ2n　　 　　 ｘ2　 ｂ2 Ａ＝ ｘ＝ ｂ＝ ・・・・・・・・・・・・ ・・ ・・ ａm1 ａm2　・・・・・ ａmn 　　 ｘn ｂm

27 拡大係数行列 ａ11 ａ12 ・・・・・ ａ1n ｂ１ ａ21 ａ22 ・・・・・ ａ2n ｂ2 Ａ ｂ ＝
Ａ　ｂ　＝ ・・・・・・・・・・・・ ａm1 ａm2　・・・・・ ａmn ｂm 数ベクトルの１次結合 ｃ1ａ1＋ｃ2ａ2＋・・・＋ｃmａm 2 1 ＝ ＋ 3 3 1

28 Ａｘ＝ｂ ｘ1 Ax＝［ａ1 ａ2・・・ａn］ ＝ｘ1ａ1＋ｘ2ａ2＋・・・＋ｘｎａｎ ｘn ｘ1ａ1＋ｘ2ａ2＋・・・＋ｘｎａｎ ＝ｂ
　Ａｘ＝ｂ ｘ1 Ax＝［ａ1 ａ2・・・ａn］　　　＝ｘ1ａ1＋ｘ2ａ2＋・・・＋ｘｎａｎ ・・ ｘn ｘ1ａ1＋ｘ2ａ2＋・・・＋ｘｎａｎ ＝ｂ