ルンゲクッタ法 となる微分方程式の解を数値的に解く方法.

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1 ルンゲクッタ法 となる微分方程式の解を数値的に解く方法

2 x=x0におけるｙの値y0がわかっているときy(x0+h)のx0におけるテイラー展開は 次のようになる。
ルンゲクッタ法 x=x0におけるｙの値y0がわかっているときy(x0+h)のx0におけるテイラー展開は 次のようになる。

3 ルンゲクッタ法 hのn次の項まで打ち切ると、 x1=x0+hのときのy1を求めることができる。
このときの誤差は、O(hn+1)となり、hのn+1乗に比例した誤差となる。 hが小さいほど、誤差も小さくなる。

4 ルンゲクッタ法 n=1のとき、オイラー法になる。 hの値が大きいと誤差も大きくなる。 できるだけ小さいhを求めた方が 精度よく計算できる。
そのときには計算回数が大きくなる。

5 ルンゲクッタ法 大きいn次まで採用→誤差は小さくなる 一回の計算に必要な処理が大きくなってしまう。 n次の導関数の算出が出来ない場合もある。
　　　　　一回の計算に必要な処理が大きくなってしまう。 　　　　　n次の導関数の算出が出来ない場合もある。 ↓ 　　ｘ0とｘ1の中間のｘにおける値を計算し、 　　それらの重み付き平均を用いることで、 　　テイラー展開した場合とおなじ次数までをカバーする 　　　　　　　　　　　　→ルンゲクッタ法

6 ルンゲクッタ法 ルンゲクッタ法 2次の場合 が成り立つとする。 ここで、φはｘ0とｘ1の中間のｘにおけるf(x)の値k1とk2の重み付き平均
ルンゲクッタ法　2次の場合 式（1） が成り立つとする。 ここで、φはｘ0とｘ1の中間のｘにおけるf(x)の値k1とk2の重み付き平均

7 ルンゲクッタ法 ルンゲクッタ法　2次の場合 k2に2変数関数のテイラー展開をして2次以上を無視すると、 これを式（1）に代入すると 式（2）

8 ルンゲクッタ法 ルンゲクッタ法　2次の場合 2次までのテイラー展開の式 式（3）

9 ルンゲクッタ法 ルンゲクッタ法　2次の場合 式（2） 式（3） 式(2)と式（3）が等しく条件は、w1+w2=1, w2a=w2b=1/2

10 ルンゲクッタ法 ルンゲクッタ法 2次の場合 数値計算的なf(x,y)の2変数導関数fx(x,y)、fy(x,y)を直接算出する代わりに
ルンゲクッタ法　2次の場合 数値計算的なf(x,y)の2変数導関数fx(x,y)、fy(x,y)を直接算出する代わりに f(x,y)の重み付き平均で求めることができる。 w2=1の場合、 2次のルンゲクッタ公式（修正オイラー法）