行列 一次変換，とくに直交変換.

Presentation on theme: "行列 一次変換，とくに直交変換."— Presentation transcript:

1 行列 一次変換，とくに直交変換

2 行列 行列を　ベクトル　の集合として見る 第1列 第2列 第j列 第n列 第1行 第2行 第i行 行ベクトル 第m行 列ベクトル

3 行列とベクトルの積 の意味は mxn行列 A と n次元ベクトル の積 行列内の行ベクトル(a, b)とベクトル(x, y)の内積 第j列
第i行 第m行 行ベクトル 列ベクトル は内積

4 2次正方行列どうしの積 を とみなすと，AxBは4組の　内積　を成分とする行列 すなわち

5 行列と行列の積の一般形 行ベクトル 列ベクトル (m, λ)行列A と (λ, n)行列B との積 A x B = C Cは　(m, n)　行列で， Cの成分 cik は つまり，Cの成分 cik は Aの第i行ベクトルとBの第k列ベクトルとの内積

6 線形変換(linear transformation) 一次変換（幾何学的意味　http://ron4310.blog.fc2.com/?tag=%E8%A1%8C%E5%88%97 ）
線形結合：　 　の x 倍と　の y 倍の和が ベクトルとスカラーを入れ替え　　　　　　　とし， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と置くと 　つまり，x’ y’はx yの 定数倍の和 で表現できる この変換を線形変換（一次変換）という 京都の碁盤の目のようにできた街　⇒　直交する単位ベクトル　⇒　基幹ベクトル 斜交する通り　⇒　斜交ベクトル　　　　　直交するベクトルを回転と伸縮してできる 　　線形変換：　回転と伸縮 　　回転と伸縮を，行列とベクトルの掛け算でできる． 猫の図 　　横だけの拡大，縦だけの拡大，両方の拡大 　　猫の回転 　　猫の線対称移動（実はこれも行列とベクトルの掛け算で簡単に計算できる） 　　行列とベクトルの掛け算は，掛け算と足し算だけで計算できる．これはコンピュータの得意技 　　だから，コンピュータグラフィックスが発展

7 点の原点の周りの回転は線形変換 θ をθ回転させると 任意のベクトル　　　　　　 を　　　　　　　　　として表現． 　　　をθ回転させたものが　　　　 ．　を回転後の　　は

8 いろいろな行列 零行列(zero matrix) 正方行列(square matrix) 行列式(determinant)
　要素がすべて0の行列 正方行列(square matrix) 　 (m x n)行列において m=n,　すなわち， 　行の数と列の数が等しい行列 　n次の正方行列と呼ばれる． 行列式(determinant) 　正則行列　にて定義される． 　 行列式が0でないとき，逆行列が定義可能 　行列式が定義可能な正方行列を正則行列(regular matrix)と呼ぶ．

9 いろいろな正方行列 対角行列(diagonal matrix) 単位行列 (unit matrix) E
主対角成分以外はすべて0 単位行列 (unit matrix) E 主対角成分がすべて１の対角行列 線形変換ではそれ自身への変換 正方行列Aのすべての対角成分を加えたものを その行列のトレース(trace)という．記号tr(A)で表現 　　　　　　　　　　　　　に対して

10 いろいろな正方行列（２） 転置行列(transposed matrix) At 対称行列(symmetric matrix) At = A
行と列を置換した正方行列　 　　　　　　　　　とした正方行列 対称行列(symmetric matrix) 転置行列とそれ自身が等しい行列 At = A のとき において　b=c

11 転置行列の性質　(AB)T=BTAT 積が可能なのはAがm行λ列，Bがλ行n列の場合 (AB)Tの(i,j)成分は定義よりABの(j,i)成分と一致するので (AB)Tの(i,j)成分＝ 一般に，ABの(i,j)成分は，Aの第i行と，Bの第ｊ列の積で，pを動かしながら和をとるΣaip×bpjである． つまり，aip×bpjの外側にあるaのi, bのｊを固定して，内側にあるaのp, bのpを動かすことになる． スライドの下にある等式の第2辺は，ABの(j,i)成分だである． 第2辺は，上の法則を使うと，その形になっていることがわかる．

12 BT と AT について要素を列記すると となるから BTATの(i,j)成分＝ よって (AB)T=BTAT

13 逆行列(inverse matrix) A-1
行列Aに対し AA-1=A-1A=E を満たす行列 A-1 逆行列は行列式　　　　　　　のとき存在 2次正方行列　　　　　　に対し 分母は行列式 分子　　　　　　　は余因子行列(adjoint matrix) 主体各成分は交換 副対角成分は符号反転

14 逆行列の性質 定義　AA-1=A-1A=E (A-1)-1=A X = (A-1)-1とおき両辺の右からA-1をかけると X A-1 = (A-1)-1 A-1で，右辺はEだから X A-1 =E 右からAをかけると　X =A (AB)-1=B-1A-1 (B-1A-1)(AB)= B-1 ( A-1A )B= B-1EB = B-1 (EB) = B-1 B=E よって B-1A-1 は ABの逆行列 AX=B なら X=A-1B XA=B なら X=BA-1 連立方程式の解に相当

15 逆行列の線形変換での意味 変換 により を に変換 両辺の左からA-1をかけると右辺は 左辺は だから つまり，A-1により から元の へ戻すことができる． A-1は逆変換 [例] Aがθの回転ならA-1は-θの回転

16 直交行列(orthogonal matrix)
A At = E となる行列 このとき， A At = At A At = A-1 (A At = E より A-1AAt = A-1 E となり，At = A-1) 2次行列 では A At = E より なので， 2つの行ベクトル はともに大きさ１で直行 At A= E より なので， 2つの列ベクトル はともに大きさ１で直行 ※直交行列では，縦も横も，直行する単位ベクトル

17 直交変換(orthogonal transformation)
　　　　　　　が直交行列のとき 　 を直交変換という 距離を変えない線形変換とは？ A により2点P(x1,y1),Q(x2, y2)が2点P’(x’1, y’1),Q’(x’2, y’2)に移動 　　　　　|P’Q’|2 　　　　　　|PQ| 2

18 |P’Q’|と|PQ|が等しい条件を探る ー 直交変換との関係 ー
|P’Q’|2 上式が任意の x1, y1, x2, y2 につき と等しいから 2つのベクトル を考えると，これらは ともに大きさが１ 互いに直交 これらを行ベクトルとする行列は，直交行列 A

19 が成立 よって　　　　　　　　　　は直交行列で，　　　　　　　　　　　　　　　　　は直交 これらベクトルの大きさはともに1 このような条件を満たす　　　　は2組 θ

20 距離不変の線形変換は回転 一方， となる 線形変換は直交変換 [証明] 仮定から ．任意のx1,y1,x2, y2で成立するには これは回転
α θ 一方， となる 線形変換は直交変換 [証明] 仮定から　　　　　　　　　　　．任意のx1,y1,x2, y2で成立するには

21 直交変換の意味 右辺の分解の中から意味のあるものを選ぶことが可能 座標は，見やすいように回転させてから見ても， 情報は損失されない
一般に　　　　　　　　　　を　　　　　　　　　　　　に 直交変換（回転）すると 左辺は右辺の任意の成分に分解可能であることを意味する 右辺の分解の中から意味のあるものを選ぶことが可能 座標は，見やすいように回転させてから見ても， 情報は損失されない