統計学の基礎 －何を学ぶか。 何ができるようになるか－

データとは何か 母集団と標本（サンプル）、データの関係 統計的方法を用いることにより、統計量から母数について どれほどのことが言えるか、知ることができる。 2

＃ 1 データの特徴をとらえるには さまざまなグラフを描く 棒グラフ（大小関係）、折れ線グラフ（時間的推 移） ヒストグラム（１つの変数の分布） 散布図（２つの変数の対応関係） 代表値を計算する 中心はどこかを示す：（算術）平均、中央値、最頻 値 ばらつきの大きさを示す：分散、標準偏差 ２つの変数の直線的傾向の度合いを示す：相関係数

グラフや数値でデータの特徴を捉える ①分布 （全体の姿をとらえる） ②中心はどこにあるか ③散らばりの大きさはどうか

①ヒストグラム データの分布状況を示すグラフ ヒストグラムは何を表すグラフか （横軸、縦軸は何か。全体として何を表すか） ヒストグラムの描き方 （教科書の説明は経済データならではの部分あり） ヒストグラムの見方 一般形かどうか。 ← 統計分析は、データが一般形である（正規分 布している）ことを想定しているから。 一般形でない場合は、何らかの対処が必要。

②中心の概念 算術平均 mean 中央値 medhian 最頻値 mode それぞれの意味（定義） これらの関係 ( 参考）経済データでよく用いられるその他の中心概念 加重平均 ウェイトを付けて平均を求める 幾何平均 変化率（上昇率、成長率）の平均 移動平均 時系列データの不規則変動を除去

算術平均： 51.5% 卒業生数をウェイトに用いた加重平均： 54.0%

算術平均だと、それぞれ、 8.74 、 7.84 、 9.74%

③ ばらつきの概念 （ 1 ） 最大値、最小値 範囲（レンジ） 四分位範囲 箱ひげ図 偏差 x i － Xbar

③ ばらつきの概念 （ 2 ） 分散 p.46 ～ 65 偏差の 2 乗和を n で割るか、 n-1 で割るか ( 不偏分散 ) p.183 ～ 187 標準偏差 p.66 ～ 69 変動係数

＃ 2 統計学とは 情報を活用するための学問 数値に表される情報が主。 ただし 意志決定の材料であり、将来の経済活 動の予測情報を与える。 この際、不確 実性の取り扱いが重要となる。 ← 確率 の考え方

「データ」とは何か なぜ、「データ」について調べる のか 「母集団」：私たちの興味の対象である（経済） 現象 そのもの。直接観測すること ができないので その実態（具体的な 内容）はわからない。 「標本」：母集団から、ランダムにサンプリング された もの。実際に観測された結果を 「データ」と呼ぶ。 値や具体的な内容がわ かっている。 私たちは、データについて調べ、その結果から 母集団の性質を統計的に推測することで、現象の 内容を把握したり、予測したりすることができる。

なぜ、データ分析には 確率の考え方が必要か？ データは確率変数だから。 いろいろな値をとるので、データは「変数」 常にある固定した値になるのではなく、その時々の 偶然性に左右され値が決まるので、データは「確率 変数」 確率変数の性質は、その確率変数の 分布はどのような形か 平均の値はいくらか 分散 / 標準偏差の値はいくらか が分かれば、見えてくる。

なぜデータの特徴をとらえる必要があるのか 統計的推測とは？ データは、それ自身が重要なのではなく、その 背景（母集団）の特徴をとらえるための道具。 推定：データについてわかったこと（統計量） をもとに統計的な考え方により、母集団の特徴 （母数）はこうでないかと推測すること。 検定：データについてわかったこと（統計量） をもとに統計的な考え方により、母集団の特徴 （母数）をこうでないかと考えることが妥当か どうか判断すること。 このような統計的推測を行うには確率の考え方が 必要。

統計学の内容

正規分布 〜もっとも代表的な確率分布 （ 1 ） ランダムサンプリングを行った、それなりの大き さの標本は、多くの場合、正規分布に従う。 くせのある分布の場合、データの変数変換を行ったり、 層別（グループ分け）したり、外れ値に対応したりし てから、 正規分布の想定を行う。 ある確率変数 X の分布が正規分布、平均 μ 、分散 σ 2 である時、「 X は平均 μ 、分散 σ 2 の正規分布に 従う」と表現し、 X 〜 N （ μ 、 σ 2 ）と表記する。 左右対称の一山型の分布をしている。

正規分布 〜もっとも代表的な確率分布 （ 2 ） ある確率変数 X の分布が正規分布、平均 μ 、分散 σ 2 である時、「 X は平均 μ 、分散 σ 2 の正規分布に 従う」と表現し、 X 〜 N （ μ 、 σ 2 ）と表記する。 左右対称の一山型の分布をしている。 標準正規分布：平均 0 、分散 1 （標準偏差も 1 ）の 正規分布、ある値より大きな値が全体の何％を占 めるかを表す表が準備されている。 基準化：すべての正規分布に従う変数は、標準正 規分布に従うように変換することができる。

正規分布 〜もっとも代表的な確率分布 （ 3 ） 平均 μ 、分散 σ 2 の正規分布に従う確率変数 X が あるとする。 X 〜 N （ μ 、 σ 2 ） この時、 Z= （ X− μ ） / σ は、必ず、標準正規分 布 N （ 0,1 ）に従う。 もし、あるできごと（から得られたデータ）が 正規分布していること・その平均の値・その分 散の値がわかっているなら、さまざまな状態が 起こる確率（パーセンテージ）を知ることがで きる。

練習１ 正規分布表を読み取ろう Z 〜 N （ 0,1 ）のとき、次の値を求めよ １） P （ Z ≧１．５７） ２） P （ Z ＜１． 34 ） ３） P （ー０．３７＜ Z ≦１．６）

練習２ 基準化後、正規分布表を読み取ろ う X 〜 N （２, ９）のとき、次の値を求めよ １） P （ X ≧５．６） ２） P （ X ＜１０） ３） P （ー１．３＜ X ≦１．１９）

これから学ぶこと 母数に関する推定・検定の考え方・しかた いろいろな母数について推定・検定を行うことができ るが、 「標本平均から母平均」を統計的推測する場 面を考える。 そのために必要な準備は？ データは確率変数。確率変数は分布する。 4/28 代表的な確率分布：正規分布 5/12 よって、データから計算される標本平均も確率変数。 その性質は？（分布の形は、平均は、分散は） 5/19 推定の考え方 点推定：母数について、ある値で推測 区間推定：母数のありそうな範囲について推測 5/19 、 6/2 検定の考え方 6/9, 6/16

母平均について推定する さまざまな、標本（データ）に基づく情報を活用する 方法が 考えられるが、もっとも自然な方法は 「標 本平均を利用して母平均を統計的に推測する」方法。 推定の考え方 点推定：母数について、ある値で推測 区間推定：母数のありそうな範囲について推測 ところで、データは確率変数。よって、データから計 算される標本平均も確率変数。まず、その性質を知っ ておこう。

標本平均の性質 （その 1 ） 以下、各データは、平均が μ 、分散が σ 2 の母集 団からの、ランダムサンプリングの結果とする。 ※この条件が崩れると、以下の説明は成立しなくな るので、注意。 計算すると （つまり、その他の条件を必要とすることなく） 標本平均の平均は、母平均 μ 標本平均の分散は、母分散 σ 2 ／サンプル数 n 標本平均の分布は．．．．．

標本平均の性質 （その 2 ） 標本平均の分布は 母集団が正規分布するなら、正規分布する。 母集団の分布がわからなくても、サンプル数 が大きいなら、近似的に、正規分布する。 ［中心極限定理］ 注意：母集団の分布が不明でサンプル数が小さい時 に「標本平均が正規分布する」と想定した分析は危 険（誤る可能性が大きい）。また、サンプル数はそ こそこ必要（できれば 100 程度以上）

母平均の点推定 「標本平均の平均は、母平均 μ 」である。 つまり、どのような標本が選ばれるかにより、標本平均 の値はばらつくが、もっとも可能性が高い値は、母平 均の値である。（標本平均には不偏性がある。） よって、 母平均の点推定値 として、 標本平均 がよく 利用される。

母平均の区間推定 標本平均の分布が正規分布のケースでは 標本平均 Xbar ～ N （ μ ， σ 2 /n ） となる。 もし σ 2 の値がわかっている（既知）なら μ について、さまざまな信頼率の信頼区 間を求めることができる。 では、 σ 2 の値がわからない（未知）の ケースはどうしたらいいだろうか？

母分散 σ 2 の値がわからない（未知）場 合の、母平均に関する推定 母平均に関する点推定 標本平均の値を利用する。 （母分散に関する知識は必要ないので） 母平均に関する区間推定 母分散 σ 2 の値が分からないので、代わり に 標本分散 s 2 の値を利用する。 ただし、この時、分布の形が変わるので注 意。

S 2 を利用すると・・・ 標本平均 Xbar は平均 μ ，分散 σ 2 /n の正規分布に 従う。標準化すると、 Z= Xbar−μ は標準正規 分布 root （ σ 2 /n ） N （ 0,1 ）に従う。 → 正規分布表を利用して、さまざ まな確率計算ができる。 σ 2 が未知で s 2 に置き換えたとき、 t ＝ Xbar−μ は root （ s 2 /n ） 情報が不確かな分、 Z よりばらつきが大きくな る。このため、標準正規分布と平均は同じ （ 0 ）でよりばらつきの大きいｔ分布という分 布に従う。 教科書 p.66

ｔ分布の特徴 左右対称の一山型。平均は 0 。ばらつきは標準正 規分布 N （ 0,1 ）より大きい。 データ数が増え、情報が確かになるほど、 N （ 0,1 ）に形が近づいていく。そのｔ分布がどれだ けの情報量に対応しているかを示す数字を「自 由度」と言う。 t 分布の場合、自由度は「データ数 −1 」となる。 ｔ分布表の見方 信頼率 95 ％の区間推定をしたい場合、両側に 2.5 ％の 領域をとればよい。表の 1 列目で問題に即した自由度の 行をみつけ、表の 1 行目で という列を見つけ数字を 読み取る。 （たとえば、自由度 20 の場合、 。よって、 t の値の 95 ％は、 以上 以下にあることがわかる。）