竹内 幹 一橋大学大学院経済学研究科 第 3 回 2009 年 4 月 21 日

value 仕入れ値 買い手 1 ： 1 ００売り手 1 ： ３０ 買い手２： 1 ００売り手２： ３０ 買い手３： ４０売り手３： ８０ 買い手４： ４０売り手４： ８０  取引の利益（買い手の余剰＋売り手のもうけ）を 最大化するには、  買い手１・２ と 売り手１・２ だけが取引す べき。  買い手３・４ ← 売り手１・２ と 買い手１・２ ← 売り手３・４ の取引も成立 しうる。

value 仕入れ値 買い手 1 ： 1 ００売り手 1 ： ３０ 買い手２： 1 ００売り手２： ３０ 買い手３： ４０売り手３： ８０ 買い手４： ４０売り手４： ８０  買い手１・２ ← 売り手１・２ ＝ 4 人で合計１４０ の余剰  買い手３・４ ← 売り手１・２ と 買い手１・２ ← 売り手３・４ なら、 8 人で合 計６０。  少なくとも、買い手・売り手の３・４はゼロでは ない。  8 人全員が取引に参加できるほうが “ 良い ” はず？

value 製造コスト 買い手 1 ： 1 ００売り手 1 ： ３０ 買い手２： 1 ００売り手２： ３０ 買い手３： ４０売り手３： ８０ 買い手４： ４０売り手４： ８０  「仕入れ値」ではなく、「製造コスト」と読み替え てみよう。  買い手１・２に財を供給するためのコストは、 30×2 。  買い手３・４にも財を供給するためには、さらに 80×2 のコストがかかる。  ３０の満足度しか得られない買い手３・４のために 、 非効率的な生産をしなければならない。

value 仕入れ値 買い手 1 ： 1 ００売り手 1 ： ３０ 買い手２： 1 ００売り手２： ３０ 買い手３： ４０売り手３： ８０ 買い手４： ４０売り手４： ８０  買い手３・４ ← 売り手１・２ で 余剰を ５ ずつ分配。  買い手１・２ ← 売り手３・４ で 余剰を１０ ずつ分配。  買い手１・２ ← 売り手１・２ で 余剰を３５ ずつ分配。  買い手３・４に余剰５を、売り手３・４に余剰１０ を再分配  利益をあげられるところで最大限の利益をあげて、  それを再分配するのが最適 ・最高。

 利益をあげられるところで最大限の利益をあげて、 それを再分配するのが最適 ・最高。  資源配分（だれが何を生産するか）と 利益分配（だれがハッピーになるか）とは 分けて考えられる。（それが現実的かどうかは別と して）  資源配分を効率的にして（パレート効率性）、 利益分配で公平性を確保すればいいのでは？  資源配分のところで公平性を確保しようとすると、 必ず無駄なことがおきる。  上の例では、３０の満足度しか得られない買い手３ ・４のために、８０のコストを使って製造すること 。

 ある人が市場実験の結果をみて、  「これは均衡価格にちかづいたんじゃなくて、単に value と 仕入れ値の平均値にちかくなっているだけ だよ。需要・供給曲線の交点の近くで取引がされて いるようにみえるのは、たまたまだ。」  といったとしましょう。  これに対し、実験をすることで反論を試みたい。  つぎのような実験（２つの市場環境）をデザインし よう。  Value と 仕入れ値の平均は同じなのだけど、均衡 価格はちがう２つの市場環境（需要・供給曲線を２ 組）つくってみよう。

 消費者の需要曲線は どのようにして導出されるの か？  なぜ右下がりになるのか？

 このゲームに参加できれば、ゲームの結果に 応じて、うまい棒を何本かもらうことができ ます。うまい棒が何本もらえるかどうかは、 次のようにして決まります。  ゲームでは、コイン投げをします。表がでれ ば、コイン投げを続けることができます。裏 がでた時点でゲームは終わりです。  裏がでてゲームが終了するまでに、何回（連 続して）表が出てかを数えます。表の回数が 多ければ多いほど、たくさんのうまい棒をも らえます。

 １回目のコイン投げで、いきなり裏が出て しまった場合は、「表が０回」と数えます 。この場合でも、うまい棒は１本だけもら えます。  １回だけ表が出て、次に裏が出た場合は、 「表が１回」と数え、うまい棒は２本もら えます。「表が２回」のときは、４本です 。  おわかりでしょうか。表が連続して出ると うまい棒の本数が２倍に増えていくのです 。表が連続して出た回数ともらえるうまい 棒の関係は次のようになります。

 おわかりでしょうか。表が連続して出るとうまい 棒の本数が２倍に増えていくのです。表が連続し て出た回数ともらえるうまい棒の関係は以下のよ うになります。 表が０回 → うまい棒 １本 表が１回 → うまい棒 ２本 表が２回 → うまい棒 ４本 表が３回 → うまい棒 ８本 ･･･ 表が 10 回 → うまい棒 1024 本 ･･･

 さて、みなさんはこのくじをいくらで買いますか 。  いくらで買うか、実験の記録用紙に希望金額を記 入してください。参考までに、うまい棒１本の値 段は１０円（税込）です。

 さて、みなさんはこのくじをいくらで買いますか 。  いくらで買うか、実験の記録用紙に希望金額を記 入してください。参考までに、うまい棒１本の値 段は１０円（税込）です。

 平均５４円

 １８世紀の数学者ニコラス・ベルヌーイの考案したゲ ーム  ゲーム（あるいは「くじ」）に参加するかどうか＝ そのゲームから、どれだけの賞金（賞品）をもらえる か。  最低限もらえる賞金（賞品）は？ → うまい棒１本  平均してもらえる賞金（賞品）は？ → 期待値（コイン投げをする前の段階で 予想される獲得賞金額）を計算しよう。

一般的に、ゲーム（くじ）がＮ通りの結果をもつとき 、 期待値 ＝ 結果１ × 結果１が発生する確率 ＋ 結果２ × 結果２が発生する確率 ＋ ・・・ ＋ 結果Ｎ × 結果Ｎが 発生する確率  たとえば、サイコロの出目の期待値は？  出目確率 結果１ １ 16.6% １ × 16.6% ＝ 結果２ ２ 16.6% ２ × 16.6% ＝ ・・・ 結果６ ６ 16.6% ６ × 16.6% ＝ 合計 ＝ 3.500

 平均してもらえる賞金（賞品）は？ → 期待値（コイン投げをする前の段階で 予想される獲得うまい棒本数）を計算しよ う。 ◦ 表が０回 → うまい棒 １本 50 ％ = 0.5 本 ◦ 表が１回 → うまい棒 ２本 25 ％ = 0.5 本 ◦ 表が２回 → うまい棒 ４本 12.5 ％ = 0.5 本 ◦ 表が３回 → うまい棒 ８本 6.25 ％ = 0.5 本 ◦ 表が４回 → うまい棒 １６本 ％ = 0.5 本 ◦ 表が５回 → うまい棒 ３２本 1.563%= 0.5 本 ◦ ･･･ ･･･ ◦ 表が 10 回 → うまい棒 1024 本 0.049%= 0.5 本 ◦ 表が 11 回 → うまい棒 2048 本 0.025%= 0.5 本 ◦ ･･･

 平均してもらえる賞金（賞品）は？ → 期待値（コイン投げをする前の段階で 予想される獲得うまい棒本数）を計算しよ う。  期待値は無限大 !?  では、このゲームに参加するために、大金を 支払ってもいいのか？ → どうもそういう気が しない  理論値（計算）と実際のずれ（パラドクス）  出題者ニコラス・ベルヌーイに対する 甥ダニエル・ベルヌーイ（同じく数学者）の解答  「限界効用逓減の法則」

 平均してもらえる賞金（賞品）ではなく 平均してえらえる “ 効用 ” を求めよ！ ◦ うまい棒 １本 u(1) 50 ％ = 0.5 u(1) ◦ うまい棒 ２本 u(2)25 ％ = 0.25 u(2) ◦ うまい棒 ４本 u(4)12.5 ％ = 0.125u(4) ◦ ･･･  u(x) = log(x) を提唱  u(1) = 0  u(2) =  u(4) =  u(8) = 2.079

 平均してもらえる賞金（賞品）は？ → 期待値（コイン投げをする前の段階で 予想される獲得うまい棒本数）を計算しよ う。 ◦ うまい棒 １本 u(1)× 50 ％ = 0 ×0.5 ◦ うまい棒 ２本 u(2)× 25 ％ = ×0.25 ◦ うまい棒 ４本 u(4)× 12.5 ％ = ×0.125 ◦ うまい棒 8 本 u(8)× ％ = 2.079× ◦ ･･･ ･･･ ◦ うまい棒 1024 本 u(1024) × 0.049% = 6.93× ◦ ・・・ ◦ 合計 「期待効用」は無限大にならない！

 ヴェーバー ‐ フェヒナーの法則 (Weber 年, Fechner 年 )  感覚の強さ（体感度）は、その刺激の物理的強度 の絶対量ではなく、その対数に比例する。 …?  たとえば、音の高さの場合；  基準音「ラ」の音は 440 ヘルツ。 （時報ピピピ ピーン）  １オクターブ上の「ラ」は 880 ヘルツ。 （時報ピピ ピピーン）  さらに１オクターブ上の「ラ」は 1760 ヘルツ。  物理的な測定量（ヘルツ）は倍になっていって も、 オクターブという区切り（体感）は同じように聞 こえる。  体感で同じ増加・減少幅なら、物理量は比率で変 化。

 u(x) = log(x)  u(1) = 0  u(2) =  u(4) =  u(8) =  うまい棒の数が 2 倍になっても、効用の増加幅は一 定。  ヴェーバー ‐ フェヒナーの法則に適っている。

 ひとりの消費者（需要者）が複数個の財を需要す る。  限界的に（追加的に）その財を買うことで得られ る 効用を「限界効用」とよぶ。  u(x) =log(x) の場合は、 限界効用は u’(x)= 1/x となる。  これが需要曲線。

 自分にとってのうまい棒の限界効用を考えてみよ う。  1 本目を 10 円分として、 2 本目は何円分？ 3 本目は？ 4 本目は ? 5 本目 ？  u(1) = 1 本目の 10 円 ＝ 10 円。  u(2) = u(1) + 2 本目の限界効用 =  u(3) = u(2) + 3 本目の限界効用 =  u(4) = u(3) + 4 本目の限界効用 =  u(5) = u(4) + 5 本目の限界効用 =  期待効用を求めてみよう。  0.5×u(1) ×u(2) ×u(4) ×u(8) ×u(16) =