確率・統計学の基礎 データの特性を表すパラメータとは？ 2 つのデータの関係性を表す式の導出方法

データとは データとは，ある事項についてその値 を集めたものである． % 北海道 10.5 東京 9.6 青森 11.1 神奈川 8.0 岩手 12.7 新潟 13.7 宮城 10.6 富山 13.6 秋田 13.6 石川 12.7 都道府県別 65 歳以上の 人口の割合（総務庁 1988 ） 年度 成長率 (%) GNP の実質成長率 （経済企画庁 1988 ）

データの特性値 生のデータそのままでは数値の羅列で，データ の特徴が掴み難い データの特徴を表す値 代表値： 平均値 メディアン（中央値），モード（最頻 値） など 散布度： 範囲， 平均偏差， 分散， 標準偏差， 変動係数 など

データを評価するには？ 次のデータを比較してみよう．どのような点が異なるだろ うか？ 例） ある学校で， 2 つのクラス（一クラス 50 人）に 500 満点の試験を受けてもらった． 各クラスの点数に対する人数をグラフにした．その特徴を説明しなさい

平均値 代表値で最も使われる値． 変量の和を総度数 n で割った値 Excel では， =average( セル：セル ) で計算することができる． 「グラフ表示」のページのデータにおいて，各項目ごとに平 均値を求めよ． または =sum( セル：セル） / セル数でも可

平均偏差 偏差：観測値 と平均値 との差 平均偏差：偏差の絶対値を平均したも の 散らばりの程度を表す値．平均値から離れた値がたくさん あると， d の値は大きくなる． ただし絶対値の取り扱いが面倒である．

分散 偏差の絶対値の代わりに平方を平均したもの 平均値からどれくらい散らばっているかを評価するた めに使われる 表現の違い

標準偏差 分散値は偏差を 2 乗しているため，データの単 位が異なる． 分散値の正の平方根を取る 分散と標準偏差は，最も重要な散布度である

練習問題１ データ１データ１，データ２をダウンロードしなさい．データ２ Excel にデータを取り込みなさい． Frequency( セル：セル，セル：セル）を使用 して度数分布表を作成しなさい 散布図を作成しなさい． VARP( セル：セル ) を使って分散値を求めよ． STDEVP （セル：セル）を使って標準偏差を 求めよ

手順 1. 指定されたデータをダウンロードする．テキストファイル 中に数字のデータが入力されているのを確認する． 2. テキストデータを開いてすべての数字を選択．コピー＆貼 り付けでエクセルにデータを移す．または，エクセルより， 「データ → 外部データの取り込み → データの取り込み」の 手順でデータを取り込む 3. Frequency の使い方．まず度数分布を作成するにあたり，区 間配列を縦に記入する．０，１０，２０などと．そのすぐ 横のセルをすべて選択した後，「 =frequency( データがある 範囲, 区間配列がある範囲」と入力し，その後, [Shift+Ctrl+Enter] を押す．

手順２ 1. 区間と度数を選択後，「挿入 → グラフ → 散布図」を選択す る． VARP( データの範囲を指定 ) を使って分散値を求める． STDEVP （データの範囲を指定）を使って標準偏差を求め る

二つのデータの関係を調べ る 例） 身長と体重の関係 基本的に身長が高いほど体重が重い 例） 勉強時間と成績の関係 勉強時間が長いほど成績が高い 例） 販売価格と利益の関係 販売価格を安くすると利益が小さくなる 二つのデータには密接な関係があると予想される

相関と回帰直線 正の相関 負の相関 などのグラフ 正の相関負の相関

例えば，慎重が高い人ほど体重が重い といった傾向が読み取れる 例

回帰直線 二つのデータの関係を直線で表すことが出来ない か？ 相関図よりデータの各点が一つの直線の周りに集 まっている場合に，その直線を回帰直線という． とりあえず， y=ax+b とおこう．図より，各点と直線の距離 d が 最も小さくなるように a,b を決定する． 正と負があるので 2 乗和で評価する

回帰直線の続き その結果，上記の値が最も小さくなる条件は

回帰直線の続き２ 共分散

回帰直線の続き３ 第 2 項をシグマの中に入れると一行目の式と同じに なる

宿題 回帰直線の係数 a と b の導出を証明せよ より を導出すること （ちゃんと過程を書くこと）

練習問題２ データ３データ３をダウンロードしなさい 身長と体重の回帰直線を求めなさい （手順） ①平均を求める ②身長と平均の差，体重と平均の差を求める ③ ②の合計をデータ数で割る ④ ③より回帰直線の傾き， y 切片を求める ⑤ ④で求めた値を用いて，回帰直線の y の値を求める． 元のデータと回帰直線のグラフを作成してみましょう ⑥ エクセルにある関数 LINEST を用いて回帰直線の傾き， y 切片を求め る

相関について 2 種類の相関 収入と支出。これは互いに非常に影響を与えあう変 数である。収入が増えれば増えるほど支出額も増加す る。また、年齢と体力。これは逆に年齢が増えれば増 えるほど、体力は減るという関係にある。 このように、２変数の関係には次の２つの種類がある。 ①. 「 A が増えれば B も増え、 A が減ると B も減 る。」 ②. 「 A が増えると B は減り、 A が減ると B は増え る。」 今回の例なら、「収入と支出」は①の関係、「年齢と 体力」は②の関係になる

正の相関 負の相関 正の相関負の相関 ①の傾向 ②の傾向

相関係数 直線的な傾向を示す 2 変量のデータに対して， その直線的傾向の度合いの｢強さ」を数量的 に表現したい 先の計算で出てきた共分散を使えばよい 負正正正 負負正負 直線に近ければ 直線から離れると の値は単調に増加するか減少する の値は 0 に近づく

先ほどの s xy では，測定の単位に関係 するので，これをなくすため標準偏差 s x ， s y で割った値を用いる 相関係数 範囲は 1 に近くなるほど，右上がりの直線に － 1 に近くなるほど，右下がりの直線に 0 の場合無相関な分布となる

この 2 つの関係は相関係数の符号に依って表現される。相関係 数は -1 ・・ 0 ・・ +1 の間のいずれかになる。 + は①の関係、 - は ②の関係である。また、相関係数の数値はその傾向の度合いを 表している。絶対値が 1 に近づくほどはっきりした傾向である ことを示しているのである。 0 は関係が全くないことを表して いる。 今上げた二つの例、「収入と支出」、「年齢と体力」はかなり はっきりした関係があるだろうから、＋ 1 や－ 1 に近い値が出る だろう。 相関係数 =1 であるというのはどういうことを示しているか考察 せよ．