確率と統計 2007 平成 20 年 1 月 10 日 ( 木 ) 東京工科大学 亀田弘之

復習

はじめにデータありき １ ２ ５ ９ １ ７ ６ ８ １４ ２ 社会調査や実験の実施 により得られる

データを全体として眺めるとき，集団 として何らかの性質を持っている． ＝＞統計的性質 この性質（分布の様子）を例えば， ( 算 術 ) 平均・中央値・モードなどのいわゆ る代表値や，分散・標準偏差・範囲 (range) などで数値的に捕らえた． 定義や計算方法が重要． 統計ソフトの利用も考えよう．

統計ソフトウェア EXCEL ：お手軽？ R ：フリーソフトウェア（お勧め？） SPSS ：本格的なソフトウェア（有償） SAS ：本格的なソフトウェア（有償） GnunPlot ・ Maxima なども便利 （いろいろと学んでください．） 参考情報

基本的な統計量 平均 中央値 モード 最大値・最小値 範囲 分散 標準偏差 など

平均 定義 ： m =(x 1 + x 2 + ・・・ +X n )÷n 意味：データ群の中心 考え方：データ群の中心で，データ群 を代表させる．（代表値） 特徴：量 の最小値を与える点． （基準点としてふさわしい）

中央値 定義：データを大きさの順に並べたときに 中央にくるデータ値． 意味：順序的観点から真ん中辺り． 考え方：順序的観点から中庸を捉えている． 真ん中辺りを代表値とする． 特徴：飛び離れ値に影響されない． 量 の最小値を与える点．

モード 定義：度数（出現回数）がもっとも 多いデータ値． 意味：多数派がデータ群を代表する． 考え方：度数の多いもの程重要． 特徴：飛び離れ値に影響されない． 代表値として素直な定義．

データの散らばりも大切 分散 標準偏差 範囲

範囲（レンジ） 定義： R = 最大値 ー 最小値 考え方：データの存在範囲 （すべてのデータはこの 範囲内にある） 特徴：計算が簡単 （工場などで実用されている）

分散 定義： 考え方：「各データの平均 m からのずれ」に着 目して，その平方数の平均を求め，データ全体 の散らばりを捉える． 特徴：数学的に取り扱いやすい．

標準偏差 定義：分散の平方根（ √ 分散） 考え方：分散をもとに，データと同じ 次元の量にする． 特徴：データに対して，足したり 引いたりすることができる．

以上で，得られたデータ群の 特徴をとらえることができる ようになった．

さて， …

知りたい対象（母集団） １ ６ １ ４ ７ ３ ５ 母集団

１ ６ １ ４ ７ ３ ５ 標本 母集団 １ １ ５ ３ 無作為抽出

１ ６ １ ４ ７ ３ ５ 標本 母集団 １ １ ５ ３ 統計的分析

１ ６ １ ４ ７ ３ ５ 標本 母集団 １ １ ５ ３ 統計的推論

抽出法 無作為抽出法： どのデータも等確率で抽出されるようなサン プリング法．どの単純事象も等確率で取り出 される抽出法． Laplace の確率の定義参照． 高校で習った確率の定義で OK ． 詳しく知りたい人は，社会調査法などの勉強 をしてください．（データは適切に集めなけ れば，分析しても意味がない．サンプル数の 決め方なども重要です．）

分析法 統計的推定 統計的検定 この授業では「モデルに基づく分析」 を主に取り扱っているが，近年モデル に基づかない分析法も重要になってい る．（例：データマイニングの分野）

統計的推定 点推定 区間推定 信頼区間 信頼限界 興味のある人は，教科書 p.136 ～ p.142 を参照のこと．

統計的検定 この授業では，まず，これを学んで欲 しいと思っています． （理由：とにかく役に立つから． そして，なれないと結構 難しいから．）

仮説検定の考え方 前提： 調査や実験によりある事実 E が得られた． この事実からあることを主張したい． （これを仮説という．） 方法論： モデルを仮定する（仮説設定：帰無仮説 H 0 ） その仮説が正しいとして，事実 E の生起確率 p を計算 する． p の値が異常に小さければ，仮説 H 0 を棄却する． （誤謬法の考え方）

検定の考え方の例 実験：サイコロを 600 回振ったら，１の目が 180 回出た（事実 E ）． 主張したいこと：１の目が出やすい． 仮説の設定：どの目も等確率で出る． E の生起確率 p の計算： p ≒ 0 判断：出易い． 計算方法と判断の基準の理解が重要

例題（教科書 p.163 例１） ある市役所ではこれまで数年間銘柄 A の 電球を購入していたが，銘柄 B の電球の 方が価格が安いので B への切り替えを考 えている．銘柄 B のセールスマンは自社 の製品が品質において A の製品と同じで あると主張している．数年間の経験に よれば，製品 A の平均寿命は 1180 時間 で，標準偏差は 90 時間であった．

製品 B のセールスマンの主張をテストする ため，その銘柄の電球 100 個を正規販売 店から購入して試験をした．この結果， m=1140,s=80 が得られた．電球の品質 の尺度として平均寿命時間を考えると すれば，どう結論すべきか？

問題の整理 事実：製品 B の m=1140,s=80 製品 A の m=1180,s=90 知りたいこと： B の方が劣っている． 仮説： A と B は品質的に同等． 確率の計算： B のデータの生起確率 p を，平均 μ=1180, 分散 σ 2 =90 の母集団からの抽出として 計算する． 危険率（有意水準） α を設定する． Α ＝１０％とする．

確率の計算をしてみよう

理論的根拠（１） 標本平均の平均 m は母平均と等しい． 標本平均の分散 σ m 2 は母分散のｎ分の１ 倍． (n は標本の大きさ ) つまり， E(m) = μ E(σ m 2 )=σ 2 /n

理論的根拠（２） ｘが平均 μ ，分散 σ 2 の任意の分布に従う とき，大きさｎの無作為標本に基づく 標本平均 m は，ｎが限りなく大きくな るとき，平均 μ ，分散 σ 2 /n の正規分布 に近づく． 中心極限の定理 （統計学で１番重要な定理） 中心極限の定理 （統計学で１番重要な定理） 教科書 p.130 定理２

計算 標本平均の分散： 90/√100 = 9 標準化： Z = (1140 – 1180) / 9 = -40/9 = -4.4 標準正規分布表（教科書 p.295 表 IV ）： Z がー ∞ ～－ 4.4 の範囲の値をとる確率 は， p ≒ 0 ．

判断 確率 p ≒０ < 0.1 (10%) ． おきにくい事が起きたのではなく，仮 設が間違っていると考えて，仮設を捨 てる． 最終結論：有意水準 10 ％において， 銘柄 B は A よりも劣っている．

コメント 確率の計算方法を理解するためには， 数学の勉強が必要であるが，検定をす ることが目的の場合，基本的考え方と 手順をしっかりとマスターすればよい． 理論的なものは，必要に応じて，必要 になったものだけを一生かけて勉強し てください．

χ 2 検定 いろんな場面で使えて便利な検定法． （先ほどのサイコロの例を再び取り上 げてみる．）

１の目が 出る回数 他の目が 出る回数 実測値 A １８０４２０６００ 理論値 B １００５００６００ (A-B) 2 /B6464/5 合計 ７６．８ 自由度 φ= ２－１＝１

χ2 = 76.8 ＞ χ 0 2 = 6.6( 有意水準 1%) 結論：有意水準１％のもとで，１の目 は出やすい． 手法は異なっても結論は同じ

２つの平均の差の検定 先の電球 A ， B の品質の差の問題を再度 取り上げる．これは２つの平均同士に 差があるかどうかの検定と考えること もできる．これを「２つの平均の差の 検定問題」という． 教科書 p.172 ～ p.176

定理 x 1,x 2 がそれぞれ独立に平均 μ1,μ2 ，標準 偏差 σ 1,σ 2 の正規分布に従うとき，変数 x 1 -x 2 は 平均 μ 1 ー μ 2, 標準偏差 σ x1-x2 = √(σ x1 2 + σ x2 2 ) = √(σ 1 /n 1 + σ 2 /n 2 ) の正規分布に従う．

仮説： A の平均と B の平均とは等しい． 計算： 変数 x1-x2 は， 平均 = ０ 標準偏差 = √ （ 90*90/ *80/100 ） = 12 の正規分布に従う． Z ＝ ( )/12=-40/12=-10/3=-3.3 Z がー 3.3 以下か＋ 3.3 以上になる場合の正規分布曲線 の面積を求めると，表 VI より， p ≒ 0 結論： A と B の平均の差は同じではない．

コメント 「２つの平均の間に差があるのか？」 はしばしば問題となるので，この検定 方法は役に立つ． ただし今の場合，母分散 σ1,σ2 が既知で ある．これらが既知でない場合はもう 一工夫が必要となる．（ t 検定を導入す る必要がある．）