Qualitative Response Model

被説明変数がダミー変数の回帰 例） MROZ.RAW 女性労働 –inlf 女性が外で働いていれば 1 ，そうでなけれ ば 0 –inlf=f( 家計所得，教育年数，年齢，子育て費 用） 推定方法 – 線型確率モデル (linear probability model) – プロビットモデル probit model – ロジットモデル logit model

線型確率モデル 被説明変数 y は 1 または 0 の値をとるダミー変数 線型モデルをそのまま当てはめる y 1 0 x 当てはめられた直線 y の予測値（当てはめ られた直線）は，説 明変数が特定の値を とるときに， y が 1 と なる確率を表すと解 釈することができる 係数 b は x の増加が y が 1 となる確率をどのく らい増加させるかを 表す

線型確率モデルの問題点 y の予測値が 0 と 1 の間に収まらない – Pr(y=1|x) のもっと良い定式化は ? – Pr(y=1|x)=F(b’x) – F( ) に確率分布関数を当てはめるとこの問題 は回避できる 分散不均一性の問題

分布関数の当てはめ

probit model, logit model 次のようなモデルを想定 F( ) は確率分布関 数 Probit model  標準正規分布 Logit model  logisitic 分布 ただし， y*=  ’x+u

係数の意味 probit model, logit model f( ) は確率密度関数, y*=  ’x+u probit model や logit model での係数の解釈 y の期待値に与える影響を正確に求めるためには， f(y*) の計算が必要  x 1,x 2,..,x k の水準に依存 （他の説明変数がとる値によっても異なる）

Probit model, logit model の考え方 ここで y は観察される変数であるが， y* は観察不可能な変数であるとする。 また，誤差項はある確率分布にしたがう。 例） 女性の労働参加を決定するある観察不可能な変数がある（ y* ）。 観察不可能な変数 y* は，説明変数 x の線型関数 + 誤差項で決定される。 y* がある閾値 (critical value) を超えると女性は労働に参加する (y=1) 。 しかし， y* が閾値を越えなければ女性は労働に参加しない (y=0)

Probit model, logit model の考え方 ( 続き） 最後の等式は，確率密度関数が x=0 に関して対称的な場合に成 立 標準正規分布, ロジスティック分布では成立

線形確率モデル

probit, logit モデルの推定 menu から Quick  Estimate equation を選択して，次の画面 の Estimation settings で method に BINARY を選択する。 specification に Binary estimation method とい う option が表れるので， Probit または Logit を 選択する

Probit model

係数の比較 olsprobitlogit coefs.e.coefs.e.coefs.e. C NWIFEINC EDUC EXPER AGE KIDSLT KIDSGE

Probit, Logit model の推定方法 最尤法による推定 尤度関数 likelihood function probit model, logit model ： F( ) を特定化し，最尤法でパラメータを決 める

係数の意味 : marginal effect probit model, logit model f( ) は確率密度関数, y*=  ’x+u logit model の場合 probit model の場合 f(y*)=  (y*) 標準正規分布の密 度関数

係数の意味： marginal effect (2) probit model, logit model の係数の比は， marginal effect の相対 的な比率を表す

vector prob_b scalar yhat = prob_b(1)* 1 + prob_b(2) prob_b(5) + prob_b(6) + prob_b(7) scalar dnorm_y vector (7) dydx dydx(2) = dnorm_y * prob_b(2) dydx(3) = dnorm_y * prob_b(3) dydx(4) = dnorm_y * prob_b(4) dydx(5) = dnorm_y * prob_b(5) dydx(6) = dnorm_y * prob_b(6) dydx(7) = dnorm_y * prob_b(7) marginal effect の求め方 説明 を prob_b というベクトルに代入 説明変数が平均値をとる場合の y* を計算し， yhat というスカラー変 数に代入 yhat の値での標準正規分布の密度 関数の値を計算し，それを dnorm_y というスカラー変数に代 入 Marginal effects の結果を代入す るベクトルを dydx とする（要素 数は 7 個） 各要素に，それぞれの説明変数 の限界効果を代入 Eviews のコマンドウィンドウで次のようにタイプ probit 分析の結果を開いたまま， View/ Representation とたどり， そこの結果を張り付けて編集すると楽

説明変数の平均 値をここにコ ピーする（定数 項は 1 とする） 係数の値 この列は B 列 と C 列の掛け 算 上のセルの合計 関数を使って y* における密度関 数の値を得る norm.s.dist(, ) marginal effects marginal effect の求め方 Excel を用いた方法

問題 (1) MROZ.RAW のデータを用い，女性の労働 参加を，線型確率モデルと logit model, probit model で推計し，係数を解釈せよ。 – 被説明変数： inlf 労働力であれば 1 – 説明変数： nwifeinc( non wife income), educ( 教育年数）， exper( 実際に働いた年 数），, age （年齢）， kidslt6 （ 6 歳未満の子 供の数）, kidsge6 （ 6-18 歳の子供の数） logit model の場合の f(y*) は ?

問題 (2)

vector prob_b scalar yhat = prob_b(1)* 1 + prob_b(2) prob_b(5) * ) )^2 + prob_b(6) + prob_b(7) + prob_b(8) scalar dnorm_y vector (8) dydx dydx(2) = dnorm_y * prob_b(2) dydx(3) = dnorm_y * prob_b(3) dydx(4) = dnorm_y * ( prob_b(4) + 2 * prob_b(5) ) dydx(6) = dnorm_y * prob_b(6) dydx(7) = dnorm_y * prob_b(7) dydx(8) = dnorm_y * prob_b(8) marginal effect の求め方 説明 を prob_b というベクトルに代入 説明変数が平均値をとる場合の y* を計算し， yhat というスカラー変 数に代入 Yhat の値での標準正規分布の密 度関数の値を計算し，それを dnorm_y というスカラー変数に代 入 Marginal effects の結果を代入す るベクトルを dydx とする（要素 数は 8 個） 各要素に，それぞれの説明変数 の限界効果を代入 この例では， expersq という exper の平方の項があるため， dydx(4) の計算は他とは異なって いる Eviews のコマンドウィンドウで次のようにタイプ probit 分析の結果を開いたまま， View/ Representation とたどり， そこの結果を張り付けると便利

説明変数の平 均値をここに コピーする 係数の値 この列は B 列 と C 列の掛け 算 上のセルの合計 関数を使っ て y* におけ る密度関数 の値を得る marginal effects marginal effect の求め方 Excel を用いた方法

Tobit model 耐久財の購入量 (y) の決定 – 購入しない人 (y=0) が存在 –y>0 と y=0 のみが観察される この場合も次のようなモデルを考える –y* 観察不可能な変数で，耐久財の購入量 (y) を決定する潜在変数

Tobit model の当てはめ x y OLS の当てはめ y* と x の関係 Tobit model

Tobit model の応用 女性の労働供給 –MROZ.RAW – 労働参加していない女性が一定割合存在 耐久財の購入 低賃金労働者の労働供給 – 生活保護の受給との関係で

Tobit model の解釈

Tobit model の解釈 (2) ここで， z~N(0,1) のとき，次の式が成り 立つことを用いている inverse Mills ratio y>0 の条件付きの期待値は， xb よりも大きく なることが重要

Tobit model の解釈 (3) y の unconditional expected value 説明変数 x が与えられた場合のｙの期待値 y>0 の条件付き期待値は前頁

Tobit モデルの解釈 (4) 結果だけまとめておく

Tobit の推定方法 menu で Quick  Estimate equation Estimation settings の method で CENSORED -.. を選択する 誤差項の分布を選択 （ Tobit は正規分布） 打ち切りの位置 を指定する。 0 以外の値も，右 側の指定もでき る。

E-Views での Tobit model の推定  の推計値

Dependent varhours Tobit OLS Coefs.e.Coefs.e. C NWIFEINC EDUC EXPER EXPERSQ AGE KIDSLT KIDSGE  Tobit model と OLS の比較 E-Views での出 力 Tobit の場合， xj の 1 単位の増加 y の期待値に与え る影響をみるた めには， x’b/s を 計算し，標準正 規分布関数から その涙液分布を 計算する必要あ り。単純に比較 できない

問題 (3) MROZ.RAW 女性の労働時間の回帰分析 –40% 強が労働時間 0 – 被説明変数： hours – 説明変数： nwifeinc, educ, exper, exper^2, age, kidslt6,kidsge6 –OLS と Tobit model で推計し，結果を解釈せよ