ロジスティクス工学 第４章 確率的在庫モデル サプライ・チェインの設計と解析 第３章 在庫管理とリスク共同管理 pp 東京海洋大学 久保幹雄

なぜ在庫管理は大事なのか？ 「サプライ・チェインの設計と管理」p.48の事例参照 デル社やIBMなどの失敗の例 日本国内の大手スーパーの倉庫における平均在庫は， 　食料品で２週間から４週間 　非食料品でその倍！ さらに．．． 最近の製品ライフサイクルの短縮と多品種化（顧客ニーズの多様化）

在庫管理の２大法則 在庫管理の第１法則 予測は常に外れる！(在庫保持の第１要因） 在庫管理の第２法則 在庫は集約するほど（１ヶ所で管理するほど）少なくなる！（リスク共同管理）->安全在庫配置モデルで詳述 在庫保持の他の要因として．．． まとめて運ぶ（作る）方が安くできるため（規模の経済性） ->経済発注量（経済的ロットサイズ）モデルで詳述 注文してから商品が届くまでの時間（リード時間）の不確実性 季節変動に対処するため（夏のジュースの缶は春頃から在庫 　を貯めないと間に合わない）

経済発注量モデルの例 研究室のビール在庫 　　　某研究室ではビールを冷蔵庫で適切に管理することが義務づけられている．ビールは新鮮さが第一だの先生のモットーにより，１日あたりのビールの劣化は，１本あたり 10円で，発注は近所のコンビニに出前を頼むので１回あたり３００円かかる．また，研究室には大酒のみが多いため１日に１０本のペースで消費されるものとする．最適な（研究室費を無駄にしない）発注方策を考えよ． 某研究室ではビールを冷蔵庫で適切に管理することが義務づけられている．ビールは新鮮さが第一だの先生のモットーにより，１日あたりのビールの劣化は，１本あたり 10円で，発注は近所のコンビニに出前を頼むので１回あたり３００円かかる．また，研究室には大酒のみが多いため１日に１０本のペースで消費されるものとする．最適な（研究室費を無駄にしない）発注方策を考えよ．

経済発注量モデル

最適経済発注量の公式 発注固定費用＝３００円/回 需要の平均＝１０本/日 在庫費用＝１０円/本・日

経済発注量（Economic Ordering Quantity ：EOQ)モデル K (円): 発注１回あたりの固定費用 [生産現場では段取り費用] h ( 円/(日・個) ）: 品目１個あたり・１日あたりの在庫保管費用 目的： 無限期間における最適な（発注費用＋在庫保管費用を最小にする）発注方策（いつ，どれだけ発注するのか）を決める． 条件： 品切れは許さない． 注文した品目はすぐに（リード時間0で）到着する． 初期在庫は 0

d：傾き＝－需要のスピード Q h×面積 サイクル時間 (T 日) = [ ] 時間 T 日間の総費用 = 発注費用 +在庫保管費用 = 在庫レベル d：傾き＝－需要のスピード Q h×面積 サイクル時間 (T 日) = [ ] 時間 T 日間の総費用 = 発注費用 +在庫保管費用 = f(Q)= １日あたりの費用 =

EOQモデル 最小化 f(Q) ∂f(Q)/∂Q = ∂2f(Q)/∂Q2 = f(Q) は [ ] 関数. Q* = f(Q* )=

スイカ紡の例:Excelによる計算1 =20*MAX($D$1-B2,0) =125*MIN($D$1,$B2) =D2+E2-F2-G2 サプライ・チェインの設計と管理 p.53 事例　水着の生産 Excelファイル Fig3-3.xls 参照 生産開始の固定費用１０万ドル １着あたり８０ドル シーズン中の販売価格１２５ドル/着 売れ残り処分費２０ドル/着

スイカ紡の例:Excelによる計算2 サプライ・チェインの設計と管理 p.53 事例 水着の生産 Excelファイル Fig3-4.xls 参照

初期在庫の影響 Excelファイル Table3-2.xls サプライ・チェインの設計と管理 p.53 事例　水着の生産 初期在庫のまま：５０００着（生産しない場合） 225000+5000×80 12000着まで（生産する場合） 370700 +5000×80 生産をした場合の利益が225000以上なら生産する！

安全在庫量決定のための手法 （固定費用がない場合） リード時間（L）：発注してから製品が到着するまでにかかる時間（ここでは，時間は連続的で，いつでも発注できるものとする） 顧客の需要は不確実（正規分布と仮定） 平均 AVG (Averageの略），標準偏差 STD (Standard Deviationの略） 1日・製品1単位あたりの在庫保管費用（h） 在庫切れの確率を1ーα以下にする．（αはサービスレベル） サプライ・チェインの設計と管理 p.58 事例　秋葉原無線

平均と標準偏差と正規分布 正規分布 N(0,1) の面積がサービスレベル（α）になる値->安全在庫係数（z） 平均：確率変数の和を個数で割った値 分散：平均からの差の２乗和を個数で割った値 不偏分散（標本の場合に使う）：平均からの差の２乗和を（個数ー１）で割った値（「サプライ・チェインの設計と管理」p.99） 標準偏差：分散の平方根 和の公式： 正規分布 N(0,1) の面積がサービスレベル（α）になる値->安全在庫係数（z） Prob（リード時間内の需要≧L×AVG+z×STD×√L) =1ーα

サービスレベルと安全在庫係数 Excelファイル Table3-2.xls =NORMSINV(B1/100)

発注点 在庫がある量（発注点）になったら注文 在庫ポジション（手持ち在庫＋すでに発注されたがまた届いていない製品の総量） が発注点未満なら，発注点になるように注文！ 発注点の決め方 リード時間内の平均需要量＋在庫切れがおきないことを保証するための在庫量（安全在庫量） サプライ・チェインの設計と管理 p.58 事例　秋葉原無線

秋葉原無線の例 リード時間 2週間 サービスレベル 97％->安全在庫係数=[ ] サービスレベル 97％->安全在庫係数=[ ] １週間(1月は4.3週とする）あたりの需要の平均値＝[ ] １週間あたりの需要の標準偏差＝[ ] 発注点＝[ ]；それは何週間分か？ =[ ] =STDEV(B2:M2) エクセルファイル Table3-3.xls =AVERAGE(B2:M2)

安全在庫量決定のための手法 (s,S)方策 （固定費用がある場合） 発注固定費用（K）->経済発注量モデル（経済的ロットサイズ・モデル）で発注量Qを決定 在庫ポジションが発注点（s）未満なら S =max{リード時間内の需要量の平均,Q} +安全在庫量 まで在庫ポジションを増やすように発注 サプライ・チェインの設計と管理 p.58 事例　秋葉原無線

秋葉原無線の例（固定費用あり） 固定費用（K）は4500ドル 卸値250ドル，年間在庫保管比率18％ （年は52週と仮定） ->１週間あたりの在庫費用=[ ] 発注量（Q）は経済発注量モデル（経済的ロットサイズ・モデル）より 　　 Q= [ 公式 ] = [ ] 補充目標量（目標在庫ポジション）（S）=[ ]

安全在庫量決定のための手法 (s,S)方策 （リード時間が変動する場合） リード時間が正規分布 平均（AVGL），標準偏差（STDL） さらに大きい安全在庫量が必要 注意：おととい発注した製品より，昨日注文した製品の方が早く到着する可能性がある！（これは非現実的） サプライ・チェインの設計と管理 p.58 事例　秋葉原無線

練習問題 4-1 秋葉原無線の例題で，リード時間の平均が2週間， （１週間あたりの）標準偏差が32.08であるときの発注点（s）と補充目標量（目標在庫ポジション）（S）を求めよ． また，リード時間が確定的である場合と比べるとどうか考察せよ．

１段階モデル ロジスティクス工学 pp.63-68 , 4.1節 モダンな安全在庫決定のための方式の導出！ 各期 t=1,2… において 顧客 小売店 発注量 q[t] 在庫量 I[t] 需要量 D[t]

タイミング（離散時間モデル） リード時間 L t期の期末に発注された商品は t+L+1期の期首に到着 （いつでも発注できる(s,S)方策のときの連続時間モデルとは，定義が異なることに注意！） 2) 需要D[t] 発生 t期 t+1期 t+2期 t+3期 t+4期 １）t-L-1期に 発注した 商品到着 3)需要予測 F[t+1] 4)発注 q[t] t+L+1期（L=3)に 商品到着

需要の確率過程 平均 d 需要過程の不安定性を表すパラメータ a (0<a<1) t期における誤差 e[t], t=1,2,… D[1]= d+e[1] D[t]= D[t-1] -(1-a) e[t-1] +e[t], t=2,3,…

Excelによる図示 d=100,a=0.9,e[t]=[-10,10]の一様乱数 A B C １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ =100+B2 =RAND()*(-20)+10 =C3 =A2-（１－C2）*B2+B3

パラメータaを変えたときの需要量 a=0.9

パラメータaを変えたときの需要量 a=0.5

パラメータaを変えたときの需要量 a=0.1

練習問題 4-2 パラメータaを色々変えた場合のグラフ 得られた観察と実際の需要の関係について考察せよ． 需要過程を指数平滑法で予測せよ． （ツール/分析ツール/指数平滑法） 減衰率をどのように設定したときが，最も誤差が少ないか？考察せよ．

発注量 q[t] 需要予測 (指数平滑法） F[1]=d F[t]=a D[t-1] + (1-a) F[t-1], t=2,3,… t期の期末に，t期の需要量 D[t]と次期との予測値の差 F[t+1]-F[t]をリードタイム（L）＋１倍したもの和を発注 q[t]=D[t]+(L+1) (F[t+1]-F[t]) ,t=1,2,… ただし q[t]=d, t<=0を仮定

予測量と発注量の図 a=0.5

期末在庫量 I[t] 在庫量の保存式 期末在庫量= 前期の期末在庫量-需要量＋到着した商品の量 I[0]=安全在庫量 I[t] =I[t-1] –D[t] +q[t-L-1],t=1,2,…

Excelによる図示 2 A B C D E F G 1 2 3 4 5 6 7 8 =C7*A6+(1-C7)*D6 =A6+(E6+1)*(D7-D6) =G5-A6+F2

在庫量の変化 a=0.5

練習問題 4-3 パラメータaを色々変えた場合の予測量，発注量，在庫量のグラフ パラメータaと安全在庫量の関係について考察せよ．

需要量と予測値の関係

展開式

在庫量の展開式

在庫量の理論式 e[t]：平均０，標準偏差σの正規分布 期待値 標準偏差

安全在庫量 z：安全在庫のためのパラメータ a=0のとき（定常分布） a=1のとき（ランダムウォーク：酔歩）

練習問題 4-4 以下のzの表をもとに，種々のaとzに対して実験して，在庫切れが起きないか確認せよ． aを色々変えたときのI[0]とLの関係をグラフにして調べよ．E.g.,どんなときに関数は凹関数になるか？

サプライ・チェインにおける在庫管理 サプライ・チェインの設計と管理 p.69,3.5節参照 小売業者 エシェロンリード時間（２週間） 倉庫の エシェロン在庫量 倉庫 （秋葉原無線） 供給業者 倉庫のエシェロン在庫ポジション

多段階モデル（例として２段階） ロジスティクス工学 pp.68-71 , 4.2節 各期 t=1,2… において リード時間L2 リード時間L1 顧客 メーカー 小売店 発注量 q2[t] 在庫量 I2[t] 在庫量 I1[t] 需要量 D1[t] 第２段階の需要量 D2[t] ＝発注量 q1[t] = 需要量+リード時間×（予測の差） = D1[t]+(L1+1) (F1[t+1]-F1[t])

第２段階の需要量の展開式(1) D2[t]=D1[t]+(L1+1) (F1[t+1]-F1[t])

第２段階の需要量の展開式(2) 第１段階と 同じ形！

第２段階の在庫量

情報分散型の場合の在庫量 の和に比例した（ｚに依存）在庫量

情報中央集権型の場合の在庫量 第１段階の在庫＋第２段階の在庫の和（エシェロン在庫） EI[t] をメーカーがコントロール Ｌ１＋Ｌ２(=EL)のリード時間（エシェロンリード時間） 顧客 メーカー 小売店 リードタイムL1+L2

練習問題 4-5 ２段階モデルのシミュレータをExcelで作成せよ． 発注量の鞭効果を確認せよ． 在庫量の標準偏差は理論式と一致するか確認せよ． 一般のi段階の場合の理論式を作成せよ．