第I部　非協力ゲームの理論 第4章　完全均衡点 2008/07/01(火) ゲーム理論合宿 B4　山田孝太郎

内容 部分ゲーム完全均衡点 -部分ゲーム -部分ゲーム完全均衡点 -2段階完全情報ゲーム シュタッケルベルク均衡点 完全均衡点の不完全性 -チェーンストアパラドックス -合理性の限界

4.1.　部分ゲーム完全均衡 4.1.1. 部分ゲーム 展開形ゲーム が与えられているとき、ゲームの木Kの分岐点aを底点として、それ以後の分岐点、枝、頂点からなる木の部分K’を、元の木Kの切断、あるいは、aを底点とするKの部分木という。 P1 P2 P3 利得 ・ (2,6,1) (0,3,5) (5,1,2) (3,0,4) (1,4,1) (2,6,2) (6,1,5) (6,1,3) a b v A B Γ Γa Γb

4.1. 部分ゲーム完全均衡 4.1.1. 部分ゲーム このようなものは部分ゲームではない。 ←情報集合が部分木間をまたぐ。 ・ P1 P2 4.1.　部分ゲーム完全均衡 4.1.1. 部分ゲーム このようなものは部分ゲームではない。 P1 P2 P3 利得 ・ (2,6,1) (0,3,5) (5,1,2) (3,0,4) (1,4,1) (2,6,2) (6,1,5) (6,1,3) a b v A B Γ Γa Γb ←情報集合が部分木間をまたぐ。

4.1. 部分ゲーム完全均衡 4.1.1. 部分ゲーム 例1. 完全情報2人ゲーム プレイヤー１と２はそれぞれSとBの行動をもっている。 4.1.　部分ゲーム完全均衡 4.1.1. 部分ゲーム P1 P2 利得 ・ (0,0) (5,3) (2,2) (3,6) a b u1 B Γ Γa Γb u21 u22 S 例1. 完全情報2人ゲーム プレイヤー１と２はそれぞれSとBの行動をもっている。 第2の手番で、プレイヤー2は１の行動を知った上で、自分の行動を選択できる。 戦略と、純戦略での均衡点と均衡利得は 　　となる。 (S S) (S B) (B S) (B B) (S) 3,6 3,6* 0,0 (B) 5,3 2,2 均衡点 (B,SS) (B,BS) (S,SB) 均衡利得 (5,3) (2,2)

4.1. 部分ゲーム完全均衡 4.1.2. 部分ゲーム完全均衡点 例1で求めた、3つの均衡点の意味は？ ・ (S S) (S B) 4.1.　部分ゲーム完全均衡 4.1.2. 部分ゲーム完全均衡点 例1で求めた、3つの均衡点の意味は？ P1 P2 利得 ・ (0,0) (5,3) (2,2) (3,6) a b u1 B Γ Γa Γb u21 u22 S (S S) (S B) (B S) (B B) (S) 3,6 3,6* 0,0 (B) 5,3 2,2 均衡点 (B,SS) (B,BS) (S,SB) 均衡利得 (5,3) (2,2)

4.1.　部分ゲーム完全均衡 4.1.2. 部分ゲーム完全均衡点 （１）部分ゲーム完全均衡点(subgame perfect equilibirium) 均衡点（B,SS)の意味 -部分ゲームΓaにおいて、情報集合u21でのプレーヤー2の最適反応戦略は、行動Sをとることで、 Γbにおける情報集合u22でも同様に、Sが最適反応戦略。 -均衡点（B,SS) において、プレイヤー2の戦略(SS)を、2つの部分ゲームに限定したとき、ともに均衡点となる。 -このとき、ゲームΓは右のように縮約できる。 -そして、この縮約ゲームにおいて、プレイヤー1の 最適反応戦略は(B)で、均衡点も(B)。 -逆戻り推論で得られた均衡点。 要するに、 均衡戦略をΓ, Γa, Γbの３つの部分ゲームに限定したとき、 それぞれの部分ゲームにおける均衡点の組のこと。 P1 利得 ・ (5,3) (3,6) o Γ Γa Γb S B

4.1.　部分ゲーム完全均衡 4.1.2. 部分ゲーム完全均衡点 （2）不完全均衡点I 均衡点(B,BS)の意味 -もし、間違って１が行動Sをとった場合、 この均衡点によって行動を選択すると、 利得が(0,0)になる。 -つまり、中に不合理な選択を含む均衡点。 -なぜナッシュ均衡点になっているのか？ ←プレイヤー1がBをとることになっている ので、 ΓaにおいてBをプレイヤー2が選択 しても関係ない。 （３）部分ゲーム完全均衡点と不完全均衡点 -部分ゲーム完全均衡点とは、ナッシュ均衡点であって、すべての部分ゲームに限定したときに得られる行動戦略の組が、その部分ゲームの均衡点になっている点のこと。 -そうでないときは、単に不完全均衡点という。 P1 P2 利得 ・ (0,0) (5,3) (2,2) (3,6) a b u1 B Γ Γa Γb u21 u22 S

4.1.　部分ゲーム完全均衡 4.1.2. 部分ゲーム完全均衡点 （4）不完全均衡点II(脅しの均衡点) 均衡点(S,SB)の意味 -プレイヤー2が情報を持たないときには得られ なかった点。 -部分ゲームΓbにおいて、戦略(B)は均衡点 ではないので、不完全均衡点。 -プレイヤー2の戦略の意味は 「もし君がSすれば、僕もSして、 　もし君がBすれば、僕もBする」ということ。 -この後半部分は「脅し」なので、脅しの戦略 という。 -脅しの戦略は、プレイ前に通告ができて、それを開始後も変更することができない場合に有効。 例）日本が競争的輸出をするならば、輸入禁止的処置をとることを米が法制化 P1 P2 利得 u21 S (3,6) ・ Γa Γ ・ a S B (0,0) u1 B u22 S (5,3) ・ Γb b B (2,2)

4.1.　部分ゲーム完全均衡 4.1.3. 2段階完全情報ゲーム 例1のゲームは、プレイヤー2はゲームがプレイされる前に、自分の取る戦略を決定し、実行するという前提。 プレイヤー2が自分の手番の分岐点に来た時に戦略を決定するという状況なら、脅しの戦略は実行されない。 このように完全記憶ゲームで、ゲームがいくつかの段階に分かれていて、それぞれの段階で行動を選択・実行するゲームを、多段階ゲームという。

4.1.　部分ゲーム完全均衡 4.1.3. 2段階完全情報ゲーム 例2　2段階完全情報2人ゲーム -2段階ゲームで、プレイヤー2は1の行動を知った上で行動を選択する。 -話し合いはない。 -このゲームには先手(leader)、後手(follower)がある。展開形に段階を明記して書くことができる。戦略形と均衡点・利得は右下 P1 P2 利得 ・ (0,0) (6,6) (0,6) (4,8) a b u1 B Γ Γa Γb u21 u22 S 段階1 段階2 終点 (S S) (S B) (B S) (B B) (S) 4,8 4,8* 0,0 (B) 6,6* 0,6 0,6* 均衡点 (S,SB) (B,SS) (B,BS) (B,BB) 均衡利得 (4,8) (5,3) (6,6) (0,6)

4.1.　部分ゲーム完全均衡 4.1.3. 2段階完全情報ゲーム 例2　2段階完全情報2人ゲーム - Γaにおける２の最適反応戦略は(S). - Γbにおける２の最適反応戦略はどちらも２の利得が6になるので、(S)も（B)も最適反応戦略。 -縮約すると、右図。 -プレイヤー2が戦略(S)をとる保証がない限り、 1は戦略(B)をとることができない。 -友情ルールがあれば、1は心おきなく(B)をとる が、プレイヤー2が(S)をとる恐れがあるときは、 (S)をとらざるを得ない。 -したがって、プレイヤー2の局所混在戦略を考える。 P1 P2 利得 ・ (6,6) (0,6) (4,8) a b u1 B Γ Γa Γb u21 u22 S 段階1 段階2 終点

4.1.　部分ゲーム完全均衡 4.1.3. 2段階完全情報ゲーム 例2　2段階完全情報2人ゲーム -縮約ゲームの戦略形は下のようになる。 -均衡点は(B,SS), (S,SB)で、混合戦略を考え、 Γbにおいてプレイヤー２がSをとる確率をqとすると、均衡点は、 である。これは、プレイヤー1の2の行動についての予測。 (S S) (S B) (S) 4,8 4,8* (B) 6,6* 0,6

4.2. シュタッケルベルク均衡点 シュタッケルベルク複占市場 -2段階完全情報2人ゲーム -クールノー複占市場をもとにした定義は、 （１）プレイヤーを企業1と2とする。 （２）企業1と2は買い手から見て無差別な財を市場に提供している。 （３）財は無限に分割可能で、供給量は実数で表される。 （４）企業1，2の戦略を財の供給量とし、戦略の集合をそれぞれ 　　とする。ここで、M1,M2は適当な正の数で、戦略は有限の範囲にある。 （５）財の価格をpとし、市場の需要関数を次のようにおく。 （６）2つの企業の費用関数を次のようにおく。 （７）2つの企業は互いに話し合うことなく、供給量を決定する。 （８）第1段階で企業1がある量x1を供給し、第2段階で、企業2がそれを知ったうえで、ある量x2を供給して、企業1と2の利得が定まり、ゲームは終了する。すなわち、2段階完全情報2人ゲームである。

4.2. シュタッケルベルク均衡点 無限に選択肢があるが、数個の枝で代表させて図にすると、 利得 P2 P1 x2 x2=0 x2=M2

4.2. シュタッケルベルク均衡点 シュタッケルベルク均衡点 -企業１が戦略x1をとったとき、企業2の最適反応戦略は となる。 -　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　とすると、 となる。 -したがって、財の価格、企業1・2の利得はx1を用いて、 となる。 -企業1は利得を最大化させるように行動するので、 -よってナッシュ均衡点は となる。

4.3. 完全均衡点の不完全性 4.3.1.チェーンストアパラドックス v.s. 例3.市場参入ゲーム -大手のチェーンストアが、ある町に支店を持っていて、ある商品を独占的に販売している。そこで、小売店が同じ商品を扱う事業を始めるかどうか？ -チェーンストアは、小売店が同じ事業を始めたときに、協調的態度か、攻撃的態度をとる。別の事業の時はそのまま。 v.s.

4.3. 完全均衡点の不完全性 4.3.1.チェーンストアパラドックス 小売店 チェーンストア 　利得 （小,チ） ・ (0,0) (1,5) (2,2) o 協調的 参入しない a 参入する 攻撃的 例3.市場参入ゲーム -展開形・戦略形は右図。 -部分ゲーム完全均衡点は (参入する,　協調的行動をとる) で、利得は(2, 2)。 -このほかにも (参入しない,　攻撃的行動をとる) という均衡点もある。 -これは不完全均衡点で「脅しの戦略」になる。「もし君がその気なら、僕にも考えがあるんだよ。」 協調的 攻撃的 参入する 2, 2 0, 0 参入しない 1, 5

4.3. 完全均衡点の不完全性 4.3.1.チェーンストアパラドックス 例3.市場参入ゲーム -もしn個の町があって、それぞれでチェーンストアが店を開いているとき、次々と地元の小売店が、前の町の状況を知った上で、同じ事業に参入しようとしている。 -それぞれの町は部分ゲームになる。もし、それぞれの町で、脅しの戦略の通知が不可能ならば、チェーンストアは協調的行動をとらざるを得なくなる。 -したがって、チェーンストアは、最適に行動しようとすると、利得は￥が小さくなるようにしか行動できない。部分ゲーム完全均衡点の概念は、チェーンストアにとって、必ずしも、合理的とはいえない。 -現実には、通告の可能性に関わらず、どの町でも脅しの戦略を取って、新規参入を阻止しようとする。つまり、この均衡点は現実にも合わない。これをチェーンストア・パラドックスという。 -前の町の評判が次の町に伝わる。→繰り返しゲームとしての考察。

4.3. 完全均衡点の不完全性 4.3.2.　合理性の限界 例4. ギブ・アンド・テイク・ゲーム -それぞれある技術を持つ2つの企業がプレイヤー。それを相手に教える(C)、教えない(D)という二つの行動を持つ。 -各手番で、(C)か(D)を選ぶ。（D)を選んだら、そこで試合終了だよ。教えたら、相手の手番に移る。 -プレイヤー1から始め、手番の数は8とし、第1の手番で終了したときの利得は(1, 0)で、次の手番からは、教えないと、相手の利得は1減少し、自分の利得は3増加する。 -展開形ゲームはこのようになる。 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 C D (9,8) (1,0) (0,3) (3,2) (2,5) (5,4) (4,7) (7,6) (6,9)

4.3. 完全均衡点の不完全性 4.3.2.　合理性の限界 例4. ギブ・アンド・テイク・ゲーム -長い期間にわたって教え続ければ、お互いに利益がある。 -しかし、プレイヤー2は、第8の手番で教えない方が利益が大きい。なので、1は7番目でやめようとするが、そうすると2も黙ってはいない・・・。それを繰り返していくと、結局最初から教えない方がよい、となってしまう。 -したがって、このゲームの完全均衡点は、常に(D)をとることである。これは手番の数に関係ない。 -この結果は現実的なのか？普通は手番が多くなると、ギブ・アンド・テイクの気持ちが働くのでは？ C D P1 P2 (1,0) (0,3) (3,2) (2,5) (5,4) (4,7) (7,6) (6,9) (9,8)

4.3. 完全均衡点の不完全性 4.3.2.　合理性の限界 例4. ギブ・アンド・テイク・ゲーム -多くの場合、お互いに信頼し合っており、相手がプレイを継続すると信じている。 -プレイヤーはそれぞれ、プレイが継続される（と思う）確率の組(p, q）を持っているとき、プレイは継続されることになる。この確率の組は、共通の確信(common belief）と呼ばれる。 -共通の確信は、ゲームの要素として明示されない要因に依存していると考えられる。 -人々は、長い人生において、このような確信を育てていくことに努力しているようである。