Superconformal Quantum Mechanics 名古屋大学 多弦セミナー　 2015年6月12日 M2ブレーンから現れる 超共形量子力学 Superconformal Quantum Mechanics from M2-branes 1410.8180, 1503.03906 KEK Theory Center 岡崎 匡志

M理論とM2ブレーン M2ブレーン(電気的) M5ブレーン(磁気的) M理論は弦理論と比較するとほとんど理解できていないが、 弦理論の弦に対応する M理論の膜状の基本的物体 planar M2ブレーンの 低エネルギー力学理論 BLG理論　 ‘06 Bagger, Lambert; 07Gustavsson ABJM理論　 ‘08 Aharony et al.

× × × 背景 M5ブレーン R1,3 ∑g R1,2 M3 R1,1 M4 R1,5-d上の 超共形場理論 幾何 Md AGT対応 ’09 Alday Gaiotto Tachikawa × R1,2 M3 DGG対応 ’11 Dimofte Gaiotto Gukov; Terashima Yamazaki × R1,1 M4 2d-4d対応 ’13 Gadde Gukov Putrov R1,5-d上の 超共形場理論 幾何 Md

Q. M2ブレーンに関してはどうか？

本研究の目的 wrapped M2ブレーンの 低エネルギー力学を記述する 量子力学を導出して M理論を検証する。

基本的アイデア M2ブレーン × ∑g R CY 低エネルギー 量子力学

結果 これまで構成困難と考えられてきた 高い超共形不変性を持った 量子力学理論 (超共形量子力学) がM2ブレーンから得られた。

発表内容 　超共形量子力学 　M2ブレーン M2ブレーンから現れる量子力学 結論と議論 レビュー 本研究

I. 超共形量子力学

共形変換 1次元共形変換=> 3個の生成子 H, D, K 共形変換 時空内の任意の2点間の角度を局所的に保つ変換 1次元に角度は無いが・・・ 共形変換の生成子 正確には 並進 スケール変換 回転 共形ブースト Pμ D Lμν Kμ × × 1次元共形変換=> 3個の生成子 H, D, K

共形量子力学 Q. 共形不変な量子力学(共形量子力学) はどのようにして構成できるか？ DFF理論 スケール不変なスカラー場の理論 d=1 ‘76 de Alfaro Fubini Furlan

有限共形変換 1. 並進 2. スケール変換 3. 共形ブースト変換 共形不変！

無限小共形変換 H K D Noetherの定理 Hamiltonian Dilatation生成子 共形ブースト生成子

sl(2,R) 共形代数 SL(2,R)の表現論として 代数的に量子力学を解くことができると期待できる！

しかし話はそう単純ではない・・ 規格化不可能な波動関数 規格化可能なエネルギー基底状態は存在しない！ エネルギースペクトルは連続である！ φ α+ α− x

DFFの提案 Gは運動の定数 =>原理的にGを時間発展を記述するHamiltonianとして使える Gは非コンパクトとなり得る！

Gのコンパクト性条件

L0の固有状態を用いて様々な物理量が計算可能！ 固有値スペクトル L0の固有状態を用いて様々な物理量が計算可能！

波動関数 ‘76 de Alfaro et al.

相関関数 ‘76 de Alfaro et al. ‘12 Jackiw et al.

Hamiltonian reduction ゲージ化量子力学 補助場ゲージ場のintegrate out DFF理論！ Hamiltonian reduction (Routh reduction)

Hamiltonian reduction ゲージ化行列模型 補助場ゲージ場のintegrate out Calogero模型！ Hamiltonian reduction (Routh reduction)

ゲージ化(超)量子力学(行列模型) を考えることによって 新たな(超)共形量子力学が構成できる！ ‘91 Polychronakos‘08 Fedoruk et al.

(単なる「簡単なモデル」では片付けられない) 超対称性 元々超対称量子力学(SQM)は 超対称場の理論の簡単なモデルとして導出された。　‘81 Witten しかし量子力学の超対称性は 高次元場の量子論以上に豊富で異質！ (単なる「簡単なモデル」では片付けられない) #(超多重項内の成分場の数) ≧ #(超対称性の数) #(力学的ボソン場の数) ≠ #(フェルミオン場の数)

#(超多重項内の成分場の数) ≧ #(超対称性の数) 超空間・超場 Wittenによる構成ではN=2 SQMの限られた系しか得られない。 超空間・超場形式がさらなるSQMの構成に有用 しかし成功しているのはN≦8 SCQMのみ ‘00 Pashnev et al.‘02 Gates et al. #(超多重項内の成分場の数) ≧ #(超対称性の数)

#(力学的ボソン場の数) ≠ #(フェルミオン場の数) AD写像 #(力学的ボソン場の数) ≠ #(フェルミオン場の数) 何故1次元で起こるのか？ Hodge双対性 0形式　↔　(-1)形式 力学的ボソン場　↔　補助場 Automorphic Duaity Map　‘96 Gates et al.

以上の理由から 超空間・超場形式を用いて N=1,2,4,8 SQMが構成されている。 ii)　超多重項は 　　(#(ボソン場), N, N-#(ボソン場)) 　　という形で表現できる。

超共形対称性 Lie超群 共形対称性 + 超対称性 = 超共形対称性 SL(2)=SU(1,1)=Sp(2) R対称性 フェルミオン対称性

1次元超共形群 超場構成済 超場予想 本論文

N≧8 超共形量子力学の予想 N>8で超空間・超場形式は成功していないが、 N=4の SU(1,1|2) 型の構成から SU(1,1|N/2) 型の作用の形は予想されている。 ‘88 Ivanov et al.

II. M2ブレーン

11次元超重力背景内を運動する(1+2)次元の膜状の物体 M2ブレーン 11次元超重力理論 ‘78 Cremmer et al. 計量 44 グラビティーノ 128 3形式ゲージ場 84 11次元超重力背景内を運動する(1+2)次元の膜状の物体 M2ブレーン(電気的)

M3=R1,2 M2ブレーンの低エネルギー力学を記述する世界体積理論 (8次元時空の位置) conformal　 (8次元時空の位置) (超対称性) (複数枚のM2ブレーンの自由度) (D2ブレーン(3d SYM理論)のIR理論)　 M3=R1,2 ‘07 BLG理論 ‘08 ABJM理論

BLG理論 3次元 N = 8 超共形Chern-Simons物質理論 w/ OSp(8|4) Conf(R1,2) R対称性 構造定数 ‘08 Bagger Lambert;　Gustavsson 3次元 N = 8 超共形Chern-Simons物質理論 w/ OSp(8|4) Conf(R1,2) R対称性 構造定数 Lie 3-代数 計量

場の種類 超対称パラメータ Lagrangian

ABJM理論 3次元 N = 6 超共形Chern-Simons物質理論 w/ OSp(6|4) Conf(R1,2) R対称性 ‘08 Aharony et al. 3次元 N = 6 超共形Chern-Simons物質理論 w/ OSp(6|4) Conf(R1,2) R対称性 U(N)k×U(N)-k箙ゲージ理論

モジュライ空間とブレーン幾何の解釈 ABJM理論 内を運動するN枚のM2ブレーンの世界体積理論 SO(4) BLG理論 k=1 ‘08 Aharony et al. ABJM理論 内を運動するN枚のM2ブレーンの世界体積理論 SO(4) BLG理論 k=1 内を運動する2枚のM2ブレーンの世界体積理論 Spin(4) BLG理論 k=2 内を運動する2枚のM2ブレーンの世界体積理論

III. M2ブレーンから現れる 量子力学

M3=R1,2 ‘07 BLG ‘08 ABJM M3=R×∑ 本論文の研究 さらなる極限を取れる！ 有限体積の与えるエネルギースケール >> エネルギー さらなる極限を取れる！

量子力学の出現 How to derive? つまり Step1. BPS方程式 → 低エネルギー配位を決定 IR量子力学 with エネルギースケール << (Riemann面の大きさ)-1 How to derive? Step1. BPS方程式 → 低エネルギー配位を決定 Step2. Riemann面上の積分を実行

A4 BLG理論/T2 Step1. BPS方程式 → 低エネルギー配位を決定 × R BPS配位

Hamiltonian reduction Step2. Riemann面上の積分を実行 N=16 超対称ゲージ化量子力学 補助場ゲージ場のintegrate out Hamiltonian reduction (Routh reduction)

OSp(16|2) 超共形量子力学 超空間・超場では得られていない N = 16 超共形量子力学！ decoupleされたlocal chargeと結び付く運動 OSp(16|2) 超共形量子力学 超空間・超場では得られていない N = 16 超共形量子力学！

ABJM理論/T2 Step1. BPS方程式 → 低エネルギー配位を決定 × R BPS配位

Hamiltonian reduction Step2. Riemann面上の積分を実行 N=12 超対称ゲージ化量子力学 補助場ゲージ場のintegrate out Hamiltonian reduction (Routh reduction)

N > 8 超共形量子力学Lagrangianの予想形 decoupleされたlocal chargeと結び付く運動 SU(1,1|6) 超共形量子力学 N > 8 超共形量子力学Lagrangianの予想形 ’89 Ivanov et al. 超場予想と一致！

平坦なブレーン 平坦なBPSブレーン decoupling極限 低エネルギーブレーン 世界体積有効理論 = 超対称ゲージ理論 Dpブレーン　→　(1+p)次元SYM理論 M2ブレーン　→　BLG理論、ABJM理論

‘95 Bershadsky Sadov Vafa 曲がったブレーン 曲がったBPSブレーン C X calibrated部分多様体 (超対称サイクル) ambient空間 decoupling極限 曲がったブレーン 世界体積理論 = トポロジカルtwisted理論 ‘95 Bershadsky Sadov Vafa

曲がったM2ブレーン Q.どんな理論か ∑g X 空間2次元が曲がった BPS M2ブレーン holomorphic curve CY多様体 (超対称2サイクル) X CY多様体 decoupling極限 Q.どんな理論か

そこで トポロジカルtwistingを 考える

トポロジカルtwisting R対称群をゲージ化して Euclid回転群をtwistする トポロジカルtwisting = ‘88 Witten R対称群をゲージ化して Euclid回転群をtwistする トポロジカルtwisting = ブレーン理論の観点では・・・ transverse空間回転群 超サイクル空間回転群

トポロジカルtwisting R対称群をゲージ化して Euclid回転群をtwistする トポロジカルtwisting ‘88 Witten R対称群をゲージ化して Euclid回転群をtwistする トポロジカルtwisting = 我々のM2ブレーンの観点では・・・ transverse空間回転群 超サイクル空間回転群

X=T∑+N∑ トポロジカルtwisting R対称群をゲージ化して Euclid回転群をtwistする トポロジカルtwisting ‘88 Witten R対称群をゲージ化して Euclid回転群をtwistする トポロジカルtwisting = M2ブレーンの観点では・・・ transverse空間回転群 Riemann面回転群 SO(2)E SO(8)R X=T∑+N∑

例：D3ブレーンの場合

IIB型超弦理論の平坦なn枚のD3ブレーン decoupling極限 平坦なn枚のD3ブレーンの世界体積理論 = ４次元 N=4 U(n) SYM理論 SO(4)E×SO(6)R ≅ SU(2)l×SU(2)r×SU(4)R R4　×　R6 D3ブレーンのtransverse空間 D3ブレーンの 世界体積

ρ: homomorphism (embedding) of SO(4)E into SO(6)R SO(4)’E = (1+ρ)SO(4) ρ: homomorphism (embedding) of SO(4)E into SO(6)R 3個の異なるトポロジカルツイスト SO(6)R=SU(4)R SU(2)×SU(2)×U(1) (2,1)++(1,2)- (2,1)++(2,1)- (2,1)0+(1,1)++(1,1)- GL twist 4 = VW twist DW twist

SO(4)’E = SU(2)’l×SU(2)’r 3種類のtwisted4次元 N=4 SYM SO(4)’E = SU(2)’l×SU(2)’r twist dimX SUSY GL VW DW

SO(4)’E = SU(2)’l×SU(2)’r 3種類のtwisted4次元 N=4 SYM SO(4)’E = SU(2)’l×SU(2)’r twist dimX SUSY GL 8 VW 7 8 DW

SO(4)’E = SU(2)’l×SU(2)’r 3種類のtwisted4次元 N=4 SYM SO(4)’E = SU(2)’l×SU(2)’r twist dimX SUSY GL 8 2 VW 7 2 8 DW 1

SO(4)’E = SU(2)’l×SU(2)’r 3個の知られている超対称4サイクル M4 ambient空間 X SO(4)’E = SU(2)’l×SU(2)’r GL VW DW dimX SUSY 8 2 7 1 twist

SO(4)’E = SU(2)’l×SU(2)’r 3個の知られている超対称4サイクル M4 ambient空間 X twisted 4d N=4 SYM理論の 曲がったD3ブレーン としての美しい解釈 ! SO(4)’E = SU(2)’l×SU(2)’r GL VW DW dimX SUSY 8 2 7 1 twist

M2ブレーンの場合に戻る !

SO(8)R→SO(2)1×SO(2)2×SO(2)3×SO(2)4 特に　CY = 直線束の直和　の場合 SO(8)R→SO(2)1×SO(2)2×SO(2)3×SO(2)4 元々の SO(2)荷電 R対称群のCartan SO(2)生成子 Twisted SO(2)荷電 n=1 → CY2多様体 N=8 n=2 → CY3多様体 N=4 n=3 → CY4多様体 N=2 n=4 → CY5多様体 N=2

K3曲面 BLG理論 flat space N∑ N = 8 SUSY

Twisted K3 BLG Lagrangian

Step1. BPS方程式 → 低エネルギー配位を決定 × R

BPS配位

(reduced Gromov-Witten不変量等) Step2. Riemann面上の積分を実行 曲がったRiemann面の情報 N=8 超対称ゲージ化量子力学 1次元共形不変性 N = 8 超対称性 有効理論作用は を持つ 曲がったM2ブレーンを記述し得る 超共形量子力学！ 現在様々な観点から検証中 (reduced Gromov-Witten不変量等)

IV. 結論と議論

それは我々の世界の基本的物体の候補である 結論 本研究で これまで構成困難と考えられてきた 高い超共形不変性を持つ 超共形量子力学を見出すことに成功し、 それは我々の世界の基本的物体の候補である M2ブレーンを記述し得る。

今後の課題 応用 K3曲面以外のCalabi-Yau多様体の量子力学 ABJM, g≠1の場合の量子力学 SCQMの解析を通じたM2ブレーンの理解 応用 AdS2/CFT1対応 (ブラックホール物理学) 3=1+2 対応 (2次元理論, Riemann面との関係) reduced Gromov-Witten不変量 新しい超共形量子力学の構成