Law and Economics 2 (7) Bargaining Game and Nash Bargaining Solution 今日の講義の目的 (1) 協力ゲーム(Cooperative Game)という考え方を理解する (2) ナッシュ交渉解(Nash Bargaining Solution)という概念を理解する (3) 交渉力と割引率の関係を理解する 法と経済学２

非協力ゲームの例(囚人のジレンマ) C D (3,3) (0,4) (4,0) (1,1) 問題:ナッシュ均衡は？ 問題:ナッシュ均衡は？ 法と経済学２

囚人のジレンマと協調 現実には囚人のジレンマの状況でも協調行動がしばしば見られる。なぜか？ (1) 人間は合理的でない (2) Playerの利得が第３者に分かる金銭的な(経済的な)利益のみに依存していない。→囚人のジレンマの状況になっていない。 (3) 短期的な利益を犠牲にしても長期的な利益のために協調する→繰り返しゲーム 法と経済学２

(2)の発想:囚人のジレンマ修正版 C D (3,3) (0,2) (2,0) (1,1) 問題:ナッシュ均衡は？ 法と経済学２

(3)の発想:繰り返しゲーム 同じゲームが将来にわたって長期的に繰り返される。 →将来の利益のために短期的な利益を犠牲にする可能性がある (有限繰返ゲーム)繰り返しの回数が有限 (無限繰返ゲーム)繰り返しの回数が無限 法と経済学２

有限繰り返しゲーム 同じゲームをＮ回繰り返す。 各回ごとに利得が発生。 各Playerは、そのＮ回分の合計を最大化するように行動する。 これ以降囚人のジレンマゲームが繰り返される状況のみを考える。 法と経済学２

後方帰納法 第Ｎ期→将来はないから当然双方Ｄを取る 第Ｎ-１期→１期だけ将来はあるが、今期の行動と次期の行動は無関係。従って今期の利得のみを最大化する⇒当然双方Ｄを取る 第Ｎ-２期→２期将来はあるが、今期の行動と次期の行動、次-期の行動は無関係。従って今期の利得のみを最大化する⇒当然双方Ｄを取る ・・・ 第１期⇒同じ理由で双方Ｄを取る ～Ｎがどんなに大きくても協調できない 法と経済学２

どんな場合に協調できるか？ (1) 不完備情報ゲ-ム→合理的でない振りをする誘因 (2) ステージゲームでナッシュ均衡が複数ある。 →より劣る均衡をpunishmentとして使う (3) 無限繰り返しゲ-ム 法と経済学２

どんな場合に協調できるか？ A B C (5,5) (0,0) (0,6) (4,4) (6,0) (1,1) 問題:ナッシュ均衡は？ 法と経済学２

２期繰り返したら？ A B C (5,5) (0,0) (0,6) (4,4) (6,0) (1,1) 以下の状況は部分ゲーム完全均衡として実現できる 第１期は(A,A), 第２期は、第１期に(A,A)が実現したら(B,B), それ以外なら(C,C) 法と経済学２

無限繰り返しゲーム 同じゲームを無限回繰り返す。 各回ごとに利得が発生。 その割引現在価値を最大化する 今期の利得+δ(次期の利得)+δ2(次-期の利得)+δ3 (次--期の利得)+... δ∈(0,1):割引因子 法と経済学２

割引因子の意味 (1) 利子率を反映 δ=1/(1+r) r:利子率 (2) 主観的割引率を反映:将来をどれぐらい軽視するかの指標、その主体がどれぐらい忍耐強いかを表す指標(忍耐強いほどδは大きい) (3) ゲ-ムが次の期まで続く確率δ ⇒実際には無限にゲ-ムが続く確率はほぼゼロでもかまわない～見かけほど非現実的な状況ではない 法と経済学２

部分ゲーム完全均衡 以下の戦略はδ≧1/2である限り、部分ゲ-ム完全均衡となる。 各playerはそれ以前に２人とも一度もDを取っていないときCを取り、これ以外の場合にはDを取る。 法と経済学２

部分ゲーム完全均衡であることの確認 今まで２人とも一度もＤを取っていないとする。 ライバルの戦略を所与として、自分が(前のシートの)戦略に従うと利得は3/(１－δ)。 戦略を変えてＤを取ると4+δ/(1－δ) 。 ３/(1－δ)≧4+δ/(１－δ)⇔ δ≧1/3 ～将来がそれなりに重要であれば協調行動を取る誘因がある。 法と経済学２

繰り返しゲームのロジックが使われる例 ・国際協調、国際法 ・継続的取引、効率賃金仮説 ・定期市 ・ソフトロー、慣習 ・カルテル、談合 法と経済学２

これ以外の部分ゲーム完全均衡 以下の戦略はδによらず、部分ゲーム完全均衡となる。 各playerは常にＤを取り続ける。 ⇒長期的な関係にあれば常に協調が実現するわけではない。 法と経済学２

非協力ゲームの例(囚人のジレンマ) C D (3,3) (-1,4) (4,-1) (0,0) 問題:無限繰り返しゲ-ムを考えよ。 問題:ナッシュ均衡は？ 問題:無限繰り返しゲ-ムを考えよ。 両者が永遠にCをとる状況が均衡になる条件を求めよ 法と経済学２

非協力ゲームの例(囚人のジレンマ) C D (3,3) (-1,6) (6,-1) (0,0) 問題:無限繰り返しゲームを考えよ。 問題:ナッシュ均衡は？ 問題:無限繰り返しゲームを考えよ。 両者が永遠にCをとる状況が均衡になる条件を求めよ 法と経済学２

どんなときに協調が難しいか？ (1) 情報のギャップ (2) Player間の非対称性、格差（単なる異質性ではない） (3) 衰退産業 (4) 将来の新規参入の可能性 (5) 需要規模の変動 法と経済学２

非協力ゲーム(noncooperative game) 各人が自分の利得を最大化するように行動 →協力できるのは、(ライバルの戦略を所与として)協力行動が自己の利得を最大化するときのみ ⇒非協力ゲ-ムは常に協力できない状況を記述するゲームではなく、誘因もないのに協力できることを前提としないゲ-ムのこと 法と経済学２

協力ゲーム(cooperative game) 協力を前提としたゲーム ⇒協力を前提としてしまったら後は何を分析するのか？ ⇒協力の結果得られた果実がどのように分配されるかという問題が残っている 法と経済学２

問題の例 登場人物AとB。 2人が協調しなければAは5の利得、Bは10の利得を得る。 2人が協調すれば2人あわせて25の利得を得る。 ⇒協調の結果25の利得を、2人でどう分けることになるか？ 法と経済学２

ナッシュ交渉解 登場人物AとB。 2人が協調しなければＡはVaの利得、BはVbの利得を得る。(Va,Vb)を威嚇点(threat point)という。 2人が協調すれば2人あわせてYの利得を得る。 ⇒協調の結果Aの利得Ua、Bの利得Ubはどうなるか？ ナッシュ交渉解 (Nash Bargaining Solution) Ua=0.5(Ｙ-Va-Vb)+Va Uｂ=0.5(Ｙ-Va-Vb)+Vb ⇒二人が協調して得られる利益を折半する。 法と経済学２

ナッシュ交渉解 問題　Bは10のコストで部品を作り、Aは10のコストで組み立てて30で売ることが出来る。BはAに売れないと利益ゼロ。Aは部品を内製化することもできる。このとき総費用は25。 ナッシュ交渉解でのAとBの利得は？ 法と経済学２

一般化ナッシュ交渉解 登場人物AとB。 ２人が協調しなければAはVaの利得、BはVbの利得を得る。２人が協調すれば２人あわせてＹの利得を得る。 ⇒協調の結果Aの利得Ua、Bの利得Ubはどうなるか？ 一般化ナッシュ交渉解(Generalized Nash Bargaining Solution) Ua=α（Ｙ-Va-Vb）+Va Uｂ=(1- α)（Ｙ-Va-Vb）+Vb α:Aの交渉力(bargaining power)を表す。これが大きいほどＡの交渉力が強い（Bの交渉力が弱い）。 法と経済学２

交渉力に関する２つのストーリー 組み立てメーカーAと部品メーカーB。 ストーリー１・Bは10のコストで部品を作り、Aは10のコストで組み立てて40で売ることが出来る Aの交渉力α→1　　⇒Aの利益→20 ストーリー２・Bは10のコストで部品を作り、Aは10のコストで組み立てて30で売ることが出来る。Aは部品を内製化することもできる。このとき総費用は20+ε Aの交渉力α=0.5、 ε→０　　⇒Aの利益→20 ２つのストーリーは本質的に同じ。 法と経済学２

交渉力に関する仮定 経済学の論文では当事者の交渉力が等しいと仮定することが多い 　大国と小国の交渉、元請けと下請けの交渉、雇用者と労働者の交渉、貸し主と借り主の交渉 両者の交渉力が等しいなんて仮定は非現実的でナンセンス←これはたいていは誤解 ストーリー２のように交渉力が対等でも威嚇点における利得の関係によっては一方は弱い立場に立たされる状況を記述できる 法と経済学２

交渉力に関する仮定 逆に経済学の論文では一方の交渉力がゼロと仮定することも時々ある ストーリー２のように威嚇点における利得の関係によっては一方は弱い立場に立たされる状況を、いちいち威嚇点の状況を記述しないで簡単にAが100％の交渉力を持つと記述しているだけのことが多い 法と経済学２

非協力ゲームに基づく交渉のモデル化 登場人物、AとB。全体で１の利益をわける。交渉がまとまらなければともにゼロの利得 ⇒ナッシュ交渉解ならともに0.5の利得。 Aが先にAの取分をBに提案し、Bが受け入れたらゲーム終了。Bが受け入れなければ今度はBがAの取分を提案。Aが受け入れたらゲーム終了。Aが受け入れなければ今度はAがBの取分を提案。 player iの割引因子（discount factor) δi∈（0,1）(i=A,B) 法と経済学２

割引因子の意味 (1) 利子率を反映 δ=1/(1+r) r:利子率 (2) 主観的割引率を反映:将来をどれぐらい軽視するかの指標、あるいはその主体がどれぐらい忍耐強いかを表す指標(忍耐強いほどδは大きい) (3) 状況が変わって１の利益が得られなくなってしまう確率 ⇒基本的には繰り返しゲームで学んだδの解釈と同じ 法と経済学２

均衡解(3期モデル) Aが提案し、Bが提案し、Aが提案してまとまらなければゲ-ム終了とする。 後方帰納法で解く。 第３期 Ya=1. 法と経済学２

非協調ゲ-ムの解(５期モデル) Aが提案し、Ｂが提案し、Aが提案、Ｂが提案し、Aが提案してまとまらなければゲ-ム終了とする。後方帰納法で解く。 第５期　Ya=1. 第４期　Aは拒否すると次の期1の利得。今期δの利得がなければ拒否⇒Ｂの提案はYa= δ 第３期　Ｂは拒否すると次の期1-δの利得。今期δ(1-δ)の利得がなければ拒否⇒Aの提案はYa=1-δ( 1-δ)=１-δ+δ２ 法と経済学２

非協調ゲ-ムの解(５期モデル) 第２期　Aは拒否すると次の期１－δ(1－δ)の利得。今期δ(１－δ(1－δ))の利得がなければ拒否⇒Ｂの提案はYa= δ(1－δ(１－δ)) 第１期　Ｂは拒否すると次の期１－ δ(１－δ(１－δ))の利得。今期δ(１－δ(１－δ(１－δ)))の利得がなければ拒否⇒Aの提案はYa= １－δ(１－δ(１－δ ( 1－δ)))=１－δ+δ２－δ３+δ４ 法と経済学２

非協調ゲ-ムの解(n期モデル) Aが提案し、Ｂが提案し、Aが提案、。。。、Ｂが提案し、Aが提案してまとまらなければゲ-ム終了とする（合計n期。n奇数）。後方帰納法で解く。 第ｎ期　Ya=1. 第n-1期　Ｂの提案はYa=δ 第n-2期　Aの提案はYa= 1-δ+δ２ 第n-3期　Ｂの提案はYa=δ(1-δ(1-δ)) 第n-4期　Aの提案はYa=１-δ+δ２ - δ３+δ４ 法と経済学２

非協力ゲ-ムの解(n期モデル) Aが提案し、Bが提案し、Aが提案、。。。、Bが提案し、Aが提案してまとまらなければゲ-ム終了とする(合計n期。n奇数)。後方帰納法で解く。 第1期　Aの提案はYa=1-δ+δ2-δ3+δ4 -δ5+δ6-...+δn-1 n→∞　Ya→1/(１+ δ) δ→1　Ya→1/2～ナッシュ交渉解と同じ ⇒ナッシュ交渉解の非協力ゲ-ムによる基礎付け 法と経済学２

均衡解（無限期間バ-ジョン） 今期はAが提案。まとまらなければ来期はBが提案。均衡においてAがYa=xの提案で交渉がまとまるとする。Off pathでBはYa=yの提案をし、交渉がまとまるとする。このとき 　　x=1－yかつ1-x=δ(1－y)となるはず。この連立方程式を解くとx=1/(1+δ)となる。 法と経済学２

非協力ゲームの解の特徴 ・nが小さくδが1に近い ⇒最後に提案できる者がかなり有利 ・もしAとBの割引因子が違っていたら？ ⇒割引因子の小さい方(より忍耐強くない方)の取り分が小さくなる ～交渉が長引くとBに不利になる状況ではBは実質的に交渉力を失ってしまう 法と経済学２

割引因子と交渉力の例: バックホ-事件 ・即時取得～動産は原則として占有した時点で所有権が発生 ・盗品の場合には例外規定が 法と経済学２

登場人物 丙 乙 甲 今の占有者 元の所有者 公の市場から購入 法と経済学２

関連する法律の整理 丙が平穏かつ公然に占有をはじめ、善意無過失なら、丙は即時にこの動産の所有権を取得し、その結果甲は所有権を失う(民法192条:即時取得)。 甲は乙に対して債務不履行あるいは不法行為に基づいて損害賠償請求をする権利(民法415条あるいは709条)または不当利得の返還を請求する権利(民法704条)を有する。 盗難ないし遺失の日から２年間は、甲は丙に対してこの動産の引き渡しを請求できる(民法193条)。 丙が一定の要件を満たす時、甲はその取得に対して丙の取得価格を補償しなければならない(民法194条)。 法と経済学２

バックホー事件 (1) 甲がバックホー(農業機械)を盗まれる。 (2) 甲が盗まれたバックホ-を丙が使っているのを発見。丙は乙から購入。乙は行方不明。 (3) 甲が丙を訴える。 １審:甲は取得価格を丙に払え。丙は訴えが提起されてから現在までの使用料を甲に支払え。 ２審:1審と同じ。使用料の単価は減額。 丙は返さないと今後も使用料⇒たまらず甲に返却。 最高裁:使用料の支払不要。甲は丙の取得価格を支払え。 法と経済学２

バックホー事件での最高裁の判断 (1) 下級審の判例変更～使用料不要 (2) 大審院の判例変更 (従来の判例) 丙が任意に甲に盗品を引き渡したら丙は甲に対して取得価格の補償を請求できない もしこの最高裁判決がなかったら 丙は返却しないと時間がたつにつれどんどん損害が増える。 ⇒実質的に丙の交渉力を著しく損ねる。 ⇒194条による盗品取得者の保護を有名無実化する。 法と経済学２

交渉力のコントロ-ル 裁判所が決めるル-ル⇒当事者の交渉力に影響 （例）バックホー事件 当事者間の交渉で同じ事ができないか？ （例）遅延損害金の設定。これを十分に大きく設定すれば遅延損害金の発生する当事者の交渉力を弱められる ⇒第９講、特定履行の回に議論する 法と経済学２

Shapley value bargaining solution 当事者が３人以上いたら交渉解はどうなるのか？ ナッシュ交渉解をそのまま使う Ua=1/3(Y-Va-Vb -Vc)+Va 問題点 ３人集まらないと協調できないならこれでいいかもしれない。しかし２人集まればある程度の利得があげられるときには、その程度に依存して交渉の結果得られる利得も変わるはず ⇒シャプレバリュー交渉解 法と経済学２

シャプレバリュー交渉解 Ua=1/6{2(Ｙ-Vbc)+(Vab-Vb)+(Vac-Vc)+2Va} Vij: iとjのペアで得られる利得 ３人をランダムに並べる。新たに加わった人が追加的な利益を全て取る。その利益の期待値がシャプレバリュー。 Ub=1/6{2(Ｙ-Vac)+(Vab-Va)+(Vbc-Vc)+2Vb} Uc=1/6{2(Ｙ-Vab)+(Vac-Va)+(Vbc-Vb)+2Vc} 法と経済学２

シャプレバリュー交渉解の使用例 ・組立メーカーは複数の部品メーカーを使い分ける ・政府と複数の民間企業が交渉 ・企業が立地に関して複数の自治体を天秤にかける ・３党体制(あるいはそれ以上の政党数)での連立交渉 ・多国間交渉、多国間協定 ・売手市場、買手市場の労働市場 法と経済学２

問題 A,B,CとPlayerは３人。３人組むと12の利益。A１人なら３の利益。B,C単独ではゼロの利益。２人が組んでも利益を増やすことは出来ない。 問題:シャプレバリュー交渉解を計算しなさい。A,B,Cの利得は？ 法と経済学２

問題 A,B,CとPlayerは３人。３人組むと15の利益。A,Cとも１人なら3の利益。B１人なら0の利益。AとCが組んでも6の利益。A,B あるいはB,Cの２人が組むと12の利益。 問題:シャプレバリュー交渉解を計算しなさい。A,B,Cの利得は？ 法と経済学２