国際連合論（第1回） 計量分析入門 久保田徳仁

政治学の雑誌でよく見かける表

数字が出てくる2つのパターン モデル化（ゲーム理論、意思決定論など） →複雑な世界を単純化して示すための手段 　→理屈に矛盾がないことを示す（内部整合性）＝数理分析 実証（統計分析） 　→理論が現実とあっているかを証明する手段 　（外部整合性）＝計量分析 ここで扱うのは後者の計量分析

実証研究 目的：ある理論が空想の産物ではなく、実態をきちんと表現していることを証明する。 理論の例：民主的平和（民主主義国同士は戦争をしない） さまざまな方法：事例分析、計量分析、比較事例分析（Structured Focused Comparison: SFC法）

なぜ計量分析？ 事例研究、比較事例研究には大きな欠点がある 事例選択が恣意的になりやすい（理論に合致するものばかりを選ぶ傾向がある） 現実はさまざまな要素が作用しているので、どの要素が重要なのかは１，２の事例を見ただけでは判別できない。 例）戦後日本とアメリカの間に戦争が起きていないことを例に挙げて民主的平和論が証明されたといえるか？

計量研究の利点 数量化することでできるだけ多くの事例を扱えるようにする（事例選択の恣意性を排除する） 各事例に作用していると思われる要素すべてをモデルに入れて効果のあるものを判定することができる（変数のコントロール）

変数 考慮されるものは、数ではないものも含めてすべて「変数（variable）」と呼ばれる 従属変数（被説明変数：dependent variable）：理論において「結果」と考えられる現象　例）戦争の発生 独立変数（説明変数：independent variable）：理論において「原因」と考えられる現象　例）民主主義の成熟度、GDP、対立の歴史・・・ 通常従属変数はひとつ、独立変数は複数

基本の発想（例） 世界各国のすべての2国間関係を調べたときそれぞれの国が経験した戦争の頻度は民主主義の進展と負の比例の関係にあるか？ 民主主義の成熟度

データ化 どういうデータがあればよいか？ 戦争の頻度（回） 民主主義の成熟度（恣意的ではない方法で数値化） PolityIVというデータバンクではー１０～＋１０という指標で各国の民主主義を評価している 2国間なので小さいほう（民主主義が未熟なほう）のデータを使う（これは恣意的に）

データの例（仮想の事例） 事例 国 民主主義の成熟度 戦争の頻度 １ A国ーB国 １０ ２ B国ーC国 ０ ５ ３ C国ーA国 ４ D国ーA国 D国ーB国 ６ D国ーC国

図にしてみると・・・

どうやら2つの変数の間には相関関係がありそう

数式化（単回帰） 数式化すると・・・ 戦争の頻度＝ ー０．２４×（民主主義の成熟度）＋４．３ 　戦争の頻度＝ 　　　ー０．２４×（民主主義の成熟度）＋４．３ ではこの「－0.24」や「4.3」はどうやって出たのか？ →最小二乗法（コンピュータが計算してくれるので心配しなくてよい）

最小二乗法（念のため） 基本の数式が Y=βX+α しかしすべての現象には誤差がある Y=βX+α+ε 誤差が一番少なくなるようにβとαを決める 誤差ε=Y-βX-α 誤差は正負の両方に生じるので2乗して符号をそろえる　ε2=(Y-βX-α)2 YとXの値を事例１から６まですべて当てはめて合計 　Σε2＝Σ(Y-βX-α)2　＝(2-β10-α)2+(5-β0-α)2+… これをαとβでそれぞれ偏微分して０とおいた答えが-0.24と4.3

「影響がある」とはどういうことか？ 民主主義の指標を2倍してみたら係数が半分になった（-0.12）。でも関係の強さは同じ。単位の問題。

影響があるとはどういうことか？（ｔ値） 指標の単位に影響されないようにするために開発された数値が「標準誤差（S.E.）」。 例１の民主主義の標準誤差は0.11 例２の民主主義の標準誤差は0.06 これらの値に対して係数の絶対値が大きければその変数は従属変数と強い相関関係があるということになる。 -0.24／0.11=-0.12／0.06　つまり関係の強さは同じで負の効果がある 係数を標準誤差で割った値（t値）は単位に依存しないため影響力の強さを比較することができる

関係の強さと係数、標準誤差 係数＝－0.12 係数＝0.06 標準誤差＝0.11 標準誤差＝0.2 Ｔ値＝－2.02 Ｔ値＝0.28 右側のほうがはっきりと関係を示している 左側はランダムに点を打ってもそんな形になりそう

でたらめと言い切れるか？（検定） Ｔ値の絶対値が小さいとき「影響がない＝でたらめにサンプルをとってもそのような結果になる」と疑われる Ｔ値の絶対値が大きいと、さすがに「でたらめ」とはいいがたい でたらめに点を打ったときのＴ値が出る確率はコンピュータが計算してくれる：Ｐ値 　（サンプルの数によるが、±2.5を超えると奇跡に近い） 通常確率が5％以下になるともはや奇跡としかいえなくなるので、やはりでたらめではなく、独立変数は従属変数に影響があると認めざるを得ない。（独立変数は有意水準５％で有意） こうした方法を統計的検定と呼ぶ。

検定 係数＝0.06 標準誤差＝0.2 Ｔ値＝0.28 Ｐ値＝0.7 係数＝－0.12 標準誤差＝0.11 Ｔ値＝－2.02 Ｐ値＝0.1 右の例がランダムに起きる確率は１０％（５％以下ではないので微妙） 左の例はランダムにやっても７０％の確率でおきるので有意ではない

表にすると・・・ 要は係数の符号と星の数を見ればよい 例１（有意ではない） 例2（微妙に有意） 切片 4.3** （1.06） 4.3*** (0.59) 民主主義の成熟度 0.06 （0.21） -0.24† （0.11） Ｎ（事例の数） ６ †　P<0.1　*P<0.05　**P<0.01 ***P<0.001　（）内は標準誤差 要は係数の符号と星の数を見ればよい

変数のコントロール でも経済的な豊かさも戦争の頻度と関係しているのでは？ →経済的な豊かさを「コントロール」する 戦争の頻度 豊かさ 民主主義の成熟度 例）豊かさも民主主義も重要

コントロール（続き） 戦争の頻度 戦争の頻度 豊かさ 豊かさ 民主主義の成熟度 民主主義の成熟度 例）豊かさをコントロールすると 民主主義は逆効果 例）豊かさをコントロールすると 民主主義は無関係

複数の変数を考慮することをモデルに表すと･･･（重回帰分析） ヒント：先の図では三次元の面のグラフを求めた 答え： (戦争の頻度)＝β1×（民主主義の成熟度） 　　　　　　　　　　　＋β２×（豊かさ）＋α このように係数×変数を数式に入れるだけでよい。3個以上の独立変数を入れることもできる あとは標準誤差もＴ値もＰ値もコンピュータが計算してくれる ただし、ここでのβやＴ値はほかの変数が一定だったとき（コントロール済み）の値 民主主義が１上がるとβ１だけ戦争の頻度が変化し、豊かさが１上がるとβ2だけ戦争の頻度が変化する

重回帰分析に必要なデータ 事例 国 民主主義の成熟度 豊かさ 戦争の頻度 １ A国ーB国 １０ ３ ２ B国ーC国 ０ ８ ５ C国ーA国 ４ D国ーA国 D国ーB国 ６ D国ーC国

数じゃない変数だったら？ 「アジアの国」や「独裁国家の国」といった数字で表せない場合は・・・ ダミー変数を作る（アジアの国＝１、それ以外の国＝０） 独立変数がダミー変数である場合は普通に回帰分析を行うことができる。 係数はその条件を満たす場合とそうでない場合の差を表している。

ダミー変数 事例 国 民主主義の成熟度 豊かさ アジア 戦争の頻度 １ A国ーB国 １０ ３ ２ B国ーC国 ０ ８ ５ C国ーA国 ４ D国ーA国 D国ーB国 ６ D国ーC国

独立変数に条件がつく場合 例）アジアの国だけは民主主義の成熟度に比例して戦争が起きる（という仮説） アジアの国（１or０）というダミー変数がある。 民主主義の成熟度という変数もある。 これをかけると・・・ 　　　アジアの国×民主主義の成熟度 　という変数ができる（これを相互作用項：interaction termと呼ぶ）。この係数の有意性検定をすればよい。 このとき、「アジアの国」という変数も、「民主主義の成熟度」という変数もモデルに入れておくこと。

相互作用項 事例 国 民主主義の成熟度 豊かさ アジア アジア×民主主義 戦争の頻度 １ A国ーB国 １０ ３ 10 ２ B国ーC国 ０ ８ ５ C国ーA国 ４ D国ーA国 5 D国ーB国 ６ D国ーC国

重回帰分析の結果 サンプルが少ないのでまともな分析ではないが･･･ Nが小さいとPが十分小さくならない。（なぜでしょう？） 独立変数 係数（標準誤差） 切片 3.97* (0.52) 民主主義の成熟度 -0.01 (0.10) 豊かさ 0.11 (0.05) アジア -2.14* (0.21) アジア×民主主義 -0.00 (0.07) N ６ サンプルが少ないのでまともな分析ではないが･･･ Nが小さいとPが十分小さくならない。（なぜでしょう？） †P<0.1, *P<0.05, **P<0.01, ***P<0.001

重回帰分析で気をつけなければならないこと 変数が多くなると、コンピュータが係数やＰ値を推定するのにたくさんのデータが必要になる。 30以上の独立変数を扱うためには1000や2000のデータを集める必要がある。 独立変数同士が相関関係を持ってしまうと（豊かさと民主主義の成熟度）どちらの効果かコンピュータも判断できなくなる（多重共線性問題：マルチコ：Multicolinearity）→むやみに変数を入れない

従属変数が特殊なとき 従属変数がダミー変数（戦争した/しない 等） 時系列（や比較事例と時系列のミックス）を扱う場合 従属変数がダミー変数（戦争した/しない　等） 最小二乗法では扱うことができない（条件が満たされない） 　→ロジットモデル、プロビットモデルなどが使われる。直線の変わりにＳ字曲線が当てはめられる（係数は単純な読み方ができない） でも表の見方は同じ。係数の正負と星の数。 時系列（や比較事例と時系列のミックス）を扱う場合 さまざまなモデルが用いられる（覚えなくてよい）

では最初の表から何がわかるか？

計量分析の難点・問題点 データを集めるのが大変（1000の事例をどうやって集めるか）。 時間で区切って毎年観察する。200カ国×10年＝2000 インターネット上のデータセットを利用する 　ＣＯＷ、ＩＣＯＷ、Ｐｏｌｉｔｙ データを生成してくれるソフトもある（EUGENE） どうしてもデータがない場合「欠損値」が生じるが、（アフガニスタンのGDPなど）これはソフトで補完する

計量研究の難点･問題点２ データ化する際に恣意的になりやすい（この国の民主主義の成熟度は本当に「５」なのか？） データを公開し多くの人に批評してもらう PolityやCOWは、批判があるものの数十年間使われ続けている。

計量研究の問題点３ 統計モデルにどの変数を入れるかでP値が大きく変わってくる。 さまざまな妥当なモデルを作って、それでも有意であることを示す必要がある。