デジタル信号処理① 2002.5.14

デジタル信号処理システムの例 アナログ 信号 アナログ 信号 デジタル信号 デジタル信号処理 D/A変換 A/D変換 スピーカー マイク デジタルオーディオの信号処理 アナログ信号をデジタル化し、必要な情報を取り出したり、 欲しいアナログ信号を作り出すための処理一般

デジタル信号処理の背景 コンピュータ（プロセッサ）の高速化、大容量化、小型化、低コスト化 洗濯機・炊飯器・自動車など、身の回りのあらゆる物にデジタル信号処理を行うプロセッサが組み込まれる デジタル信号処理の知識を持つことが、 技術者・工学者として必要。

デジタル信号処理の目的 周波数分析 入力信号に含まれている成分を調べる 波形合成 必要な周波数成分を含んだ波形を合成する処理 デジタルフィルタ 入力信号を構成している成分から必要な成分を取り出す 相関 ２つ以上の入力波形の類似度を調べる

講義の内容

今回の内容 サンプリング定理の復習 フーリエ変換の基礎 フーリエ変換がどのように役立つかを理解 フーリエ級数 周波数解析 周波数解析の実際（応用事例の紹介） フーリエ変換がどのように役立つかを理解

サンプリング定理① ーまず現象からー A/Dコンバータを使ってサンプリング（計測）したら次のようなグラフになった。元のアナログ信号は、どんな周波数を持つ信号だったか？

サンプリング定理② 9Hzで計測 電圧[V] 1Hzの信号？ 時間　[秒]

サンプリング定理③ 今度は、10Hzでサンプリング 電圧 [V] 時間 [秒]

サンプリング定理④ 実際のアナログ信号 やみくもに サンプリング していなけない。 電圧 [V] 時間 [秒]

サンプリング定理⑤ 電圧 [V] 時間 [秒]

サンプリング定理⑥ A/D変換、D/A変換の際に注意しなければならない重要な定理 連続信号（アナログ信号）に含まれる周波数を正しくサンプリングするためには、サンプリング周波数が連続信号の持つ周波数上限の２倍以上でなければならない。

フーリエ級数① フーリエ変換で何ができるか 周波数解析 フーリエ変換によって、入力波形である複合波を正弦波に分解して、どのような周波数の正弦波がどれくらいの大きさで含まれているかが分かる。

フーリエ級数② フーリエ変換の具体例 主に、1kHzと2kHz の正弦波の合成波 であることが分かる。 FFT 時間 [秒] 周波数[Hz] 高速にフーリエ変換する アルゴリズム。 周波数[Hz] 時間軸から周波数軸に変換

フーリエ級数③ フーリエ級数 三角関数の重要な性質：直交性 関数f(x)とg(x)が「直交する」とは、以下の関係が成立することである。 この数学的操作をベクトルの内積 のように、「内積」と呼ぶ

フーリエ級数④ 直交性を確かめる のとき

フーリエ級数⑤ 直交性を確かめる 一方、同じ周期の三角関数だと、０にはならない。

フーリエ級数⑤ フーリエ級数 違う周波数どうしの内積は０になる。 同じ周波数の波形の発見器になる。 フーリエ級数展開 などを計算することによって、 f(x)に含まれるsin(nx)の 強さを調べることができる。 これを行うのが、 フーリエ級数展開

フーリエ級数⑥ フーリエ級数展開 フーリエ級数展開 周期 の滑らかなあらゆる関数には、以下のような関係式が成立する。 cos(nx)成分調査 フーリエ級数展開 周期　　の滑らかなあらゆる関数には、以下のような関係式が成立する。 cos(nx)成分調査 sin(nx)成分調査 a,bはフーリエ係数と呼ばれる。

フーリエ級数⑦ フーリエ級数展開 sin(nx)とcos(nx)は同じ周波数を持つ関数なので、周波数成分を分析したいときは、an,bnを分けるのではなく、２乗和をとって考えるとよい。 パワースペクトルと呼ばれる また、これと似たものに、 振幅スペクトルがある

フーリエ級数⑧ 周波数解析（スペクトル解析） の２乗和 パワースペクトル 1kHz 2kHz FFT 時間 [秒] 周波数[Hz] として、各fについて、パワースペクトル を計算するとこのグラフが書ける。

実際の周波数解析

FFTアナライザ ＦＦＴを行う専用装置が市販されている。 信号を入力すると、フーリエ変換した 結果（スペクトル）を見せてくれる。

問題１ 日常環境中で、呼吸音を測定したい。 呼吸音を調べると、生きているかが分かるだけでなく、病気に関する情報が得られる。 呼吸音は、どんな周波数成分をもっているか？ 日常環境には、どんなノイズがあるか？ どうすれば、呼吸音が日常環境で計測できるか？

正常呼吸音の周波数特徴 可聴域の広い範囲にわたる周波数分布を持つ 家庭用電気機器等からの雑音は低い周波数帯域に集中している 使用したマイクロフォンの有効測定レンジ　0-100[kHz] 感度-48[dB re 1V/1Pa] 環境の騒音レベル 38.5[dB(A)] 可聴域の広い範囲にわたる周波数分布を持つ 家庭用電気機器等からの雑音は低い周波数帯域に集中している S/N比が高くなる範囲が存在 ( 5-15[kHz]の範囲)

深呼吸音、正常呼吸音、環境ノイズの比較 深呼吸時には、最大周波数が50[kHz]程度まで及ぶ

正常呼吸音の検出実験

次回の内容 フーリエ変換の基礎（つづき） 逆フーリエ変換 畳み込み積分などいくつかの重要な性質 デジタルフィルタの基礎 →ここまで分かるとノイズ（不要な信号）が自在に消せる 複素フーリエ変換 フーリエ変換の拡張、 デジタルフィルタの基礎、 これをさらに拡張・応用したのがラプラス変換、Ｚ変換 （フーリエ変換と似ている）