10.Private Strategies in Games with Imperfect Public Monitoring 北木　真

アウトライン Sequential Equilibrium A Reduced-Form Example Two-Period Examples An Infinitely Repeated Prisoners’ Dilemma

公的戦略と私的戦略 行動：E（Effort），S（Shirk） {y,y}：公的シグナル - Public strategies：σ，σ - 公的シグナルによってのみ定まる Private strategies：σ シグナルyに続く2期の行動は，1期の行動に依存 - - ＾ ～ -

Sequential Equilibrium 定義 任意の行動aに対するシグナルyの観測確率ρ（y|a）は正であると仮定 任意の自分の履歴　　に対して，　　　が に対して最適反応 ⇒戦略プロファイルσはsequential equilibrium （但し，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）

アウトライン Sequential Equilibrium A Reduced-Form Example Two-Period Examples An Infinitely Repeated Prisoners’ Dilemma

A Reduced-Form Example 1期目は左，2期目は右のゲームを行う シグナルyの観測確率ρ a：行動，y,y：シグナル p=9/10，q=4/5，r=1/5と仮定 2回のゲームにおける利得：(1-δ)u1+δu2 δ=25/27と仮定 - - -

各戦略の期待利得 Pure Strategies - Public Correlation - - 1期はEE，2期ではyのときはRR，それ以外はPP 左辺の式より期待利得は1.4815 Public Correlation 1期はE，次はyの観測後はR，yの観測後は確率ΦでRを選択 Φ=0.5かつ期待利得は1.5556 - - -

各戦略の期待利得 Mixed Public Strategies - - 1期は確率αでE，2期はyの観測後はR，yの観測後は確率ΦでRを選択 　　　　　　　　　　　より，期待利得は1.5566（α＝0.969， Φ=0.567） - -

各戦略の期待利得 Private Strategies - 1期は確率αでEを選択 2期は1期でSが選ばれ，yを観測した後は確率ξでRを選択，それ以外の場合は必ずRを選択 　　　　　　　より，期待利得は1.5864（α＝0.916，ξ＝0） -

アウトライン Sequential Equilibrium A Reduced-Form Example Two-Period Examples An Infinitely Repeated Prisoners’ Dilemma

Two-Period Examples ただ一つのナッシュ均衡を持つゲーム 右のナッシュ均衡 公的シグナルY={y,y}のうち， プレイヤ１：r1かr2を等確率 プレイヤ２：c1かc2を等確率 公的シグナルY={y,y}のうち， yが観測される確率ρ(y|r c ): - - - - i j

PPEと重複しない均衡 1期の各プレイヤーの行動： 2期のプレイヤ１の行動： 2期のプレイヤ２の行動：

PPEと重複しない均衡 何故，1期でプレイヤ１はr3を選択？ 均衡戦略がpublic r2を選択すると，2期でプレイヤ２は確率0.1でc1，0.9でc2を選択 プレイヤ１の期待利得は，r3の選択より減少 均衡戦略がpublic 1期の行動は2期の行動に影響を与えないため，最適反応から外れた戦略を取る誘因が発生しない⇒PPE 一方，プレイヤ２のprivate strategyは2期のゲームにおいてcorrelated equilibriumを構成 2期においてナッシュ均衡を構成する必要はない

Correlationによる利得 右のゲームにおける均衡 各シグナルy1,y2,y3の観測確率： Nash：(1,1)

Correlationによる利得 1期は3つの行動を等確率で1つ選択 各プレイヤの2期の行動： r4=r1，c4=c1，r0=r3，c0=c3とする 2期の戦略はcorrelated equilibirumを構成

複数のナッシュ均衡があるゲーム プレイヤ１は縦，２は横，３は左か右の表から行動を選択 ナッシュ均衡 プレイヤ３にとってRはLを支配 LRRかRLRを選択：利得（1,1,12） プレイヤー１と２が1/3でLを選択：利得（1/3,1/3,74/9)

さらに大きな利得を得る シグナルY={y0,y1,y2,y3}を考える 各プレイヤの1期の行動： l：1期でLを選択したプレイヤの人数 ylの観測確率は1-3ε（ym（m≠l）の観測確率はε） 各プレイヤの1期の行動： 1期では比較的LLLが選択される

さらに大きな利得を得る 各プレイヤの2期の行動 εが十分に小さければ，2期はほぼナッシュ均衡となる

さらに大きな利得を得る プレイヤ１と２の 2期の期待利得： プレイヤ３の2期の期待利得 ε→0のとき，利得は(6,6,26.22）に近づく 1期でLを選択：高確率でy3が観測され，利得は12 Rを選択：高確率でy2が観測され，利得は0 ε→0のとき，利得は(6,6,26.22）に近づく ナッシュ均衡による利得より大きい

アウトライン Sequential Equilibrium A Reduced-Form Example Two-Period Examples An Infinitely Repeated Prisoners’ Dilemma

Public Transitions 右の囚人のジレンマを 無限回繰り返す 2つの公的シグナルy,yの うち，yの観測確率ρ： - ここではp>0，q=0と仮定 戦略のオートマトン表現 wR：確率αでEを選択 wP：Sを選択 各プレイヤは常に 　 同じ状態 - - -

Public Transitions wRにおける期待利得V(wR) wRにおける行動が無差別⇒ Eを選択した場合： Sを選択した場合： wPにおける期待利得は0 wRにおける行動が無差別⇒ このとき， 各プレイヤが辛抱強い（δが1に近い）とき，αは1に近づき，V(wR)は2に近づく この場合，PPEによって達成可能な利得2-(1-p)/pより大きい

q>0のとき q=0のときと同じ戦略は均衡ではない プレイヤ１の履歴Ey，(Ey)kを考える - Ey観測後，プレイヤ２が 状態wRである確率β0(q) β0(0)=1 同様にして次の確率βk(q) を考える： k→∞のとき，βk(q)は0に近づく プレイヤ１はプレイヤ２がほぼ確実にwPの状態であると考え，Eの選択をやめる - - -

Belief-free Equilibrium 右の囚人のジレンマにおける Belief-free equilibrium （14章で述べられる）を示す 2つの公的シグナルy,yのうち， yの観測確率ρ： - - -

Belief-free Equilibrium 戦略のオートマトン表現 wR：確率αRでE を選択 WP：Sを選択 Vxi(ai)：プレイヤjの状態がwxで，プレイヤiがai選択をした場合のプレイヤiの利得 VRi(E)=Vri(S)≡VR，VPi(E)=Vpi(S)≡VP

Belief-free Equilibrium VRについて： VPについて： これらの等式を解くことにより，確率βが求められる

Belief-free Equilibrium βによって，次の等式が導かれる δ＝1，αR=1は等式を満たす p=1/2，q=1/2-ε，r=ε，bは2に近い場合を考える このとき，1に近いδ<1について，1に近いαR<1が存在し，それは上の等式を満たす