第４コマ 重陽子を数値的に解いてみる！

重陽子 … Deuteron Jπ=1+, T=0 Binding energy = 2.22 MeV Rrms = 1.9 fm Electric Quadrupole moment Qd = 0.286 fm2 Neutron Proton 二核子系、唯一の束縛状態 非常に弱い束縛状態　・・・　一核子当たり 1 MeV cf) 通常の原子核では一核子当たり 約 8 MeV 非常に空間的に広がっている状態　・・・　二核子間距離 4fm cf) 通常の原子核中では二核子間距離 約 2fm Qdが有限（　　　の期待値）　　　　二核子間は単純な s-wave ではない。

重陽子を数値的に解いてみる！ S + D ガウス基底で解く Repulsive core Deuteron Neutron Proton 二体問題だが核構造計算をやる上でのエッセンスが詰まっている。 簡単だが、実は簡単ではない。 Deuteron Repulsive core Neutron 重陽子は弱く束縛し、空間的に大きく広がった系 核力の斥力芯による短距離部分への影響と同時に 遠方まで広がったtailを同時に取り扱う必要がある。 S + D Proton テンソル力によって主に束縛 　　One Pion Exchange …テンソル力は複雑な働き方をする。 Spin triplet (S=1) にしか働かない。 軌道角運動量を混ぜる。 S波(L=0) と D波(L=2) の混合 結合チャンネル問題(Coupled channel) 計算上 ガウス基底で解く …構造計算では頻繁に使われる …軌道角運動量とスピンを合成して、 　　全角運動量を作る。 クレプシュ・ゴルダン係数（CG係数）の練習

☆ Hamiltonian ：運動エネルギー ：換算質量 ：中心力 ：テンソル力 ：ＬＳ力 ：動径座標 r についての関数 ：演算子

☆ 試行関数 ここで Gaussianの広がりパラメータは等比級数に取るのがミソ！ ☆ 試行関数 S波(L=0)、D波(L=2)各々の動径波動関数 U(r), W(r) をGaussianで展開 ここで Gaussianの広がりパラメータは等比級数に取るのがミソ！

☆ 対角化 重陽子の波動関数を　　　　　　　　　　　　　　　という基底で展開した。 未知係数　　　　　　　を求める。

☆ 対角化 解く問題　＝　ハミルトニアンの固有値を求める 左から　　　　を掛けて 固有ベクトル 固有値 ハミルトニアン行列 ノルム行列

☆ 対角化 という基底でHamiltonianを対角化するという問題になる。 未知の展開係数　　　　　　を決定。

☆ 計算手順 … 二段階対角 Gaussianは直交基底ではないため、一度Gaussianから直交系を作り、 ☆ 計算手順 …　二段階対角 　　Gaussianは直交基底ではないため、一度Gaussianから直交系を作り、 　　それを用いてHamiltonianを対角化 1. Norm行列を対角化し、直交系を作る。 と、まとめている。 2. 得られた直交系を用い、Hamiltonian行列を作る。 3. Hamiltonian行列を対角化して、エネルギー固有値、固有状態が得られる。

☆ 計算手順 計算に必要なもの ハミルトニアン行列の 行列要素 ノルム行列の 行列要素

☆ 各種行列要素 1. Norm matrix 2. Kinetic energy matrix

☆ 各種行列要素 3. Potential energy matrix 動径方向に関する積分 角度及びスピンに関する積分 ☆ 各種行列要素 3. Potential energy matrix 動径方向に関する積分 角度及びスピンに関する積分 各ポテンシャルの動径成分はGaussianで記述されている。 （Tamagaki potentialなど） そうでないものは数値的にGaussianで展開しておく。 （Argonne potentialなど）

☆ 各種行列要素 3. Potential energy matrix 動径方向に関する積分

☆ 各種行列要素 3. Potential energy matrix 角度及びスピンに関する積分 L’ 2 L 2

☆ 各種行列要素の計算の仕方について 0. 動径方向に関する積分 1. Norm matrix

☆ 各種行列要素の計算の仕方について 2. Kinetic energy matrix

☆ 各種行列要素の計算の仕方について 2. Kinetic energy matrix

☆ 各種行列要素の計算の仕方について 2. Kinetic energy matrix

☆ 各種行列要素の計算の仕方について 3. Potential energy matrix 動径方向に関する積分

☆ 各種行列要素の計算の仕方について 3. Potential energy matrix 角度及びスピンに関する積分 ＬＳ 力の場合 ☆ 各種行列要素の計算の仕方について 3. Potential energy matrix 角度及びスピンに関する積分 ＬＳ 力の場合 ブラ・ケット間で J,L,S が異なる場合は 0

☆ 各種行列要素の計算の仕方について 3. Potential energy matrix 角度及びスピンに関する積分 テンソル力の場合 ☆ 各種行列要素の計算の仕方について 3. Potential energy matrix ここは結構 ややこしい。。。 角度及びスピンに関する積分 　「大学院　原子核物理」 　中村誠太郎監修 　吉川庄一、森田正人、玉垣良三、谷畑勇夫、大塚孝治著 　講談社サイエンティフィク 　４章“核力の多面性”　４．５．２節 テンソル力の場合 やり方 一般には、ある状態にテンソル演算子を作用させると、 全角運動量 J は保存したまま、異なる軌道角運動量 L の状態が混ざる。 この事実から、テンソル演算子を作用させた状態を可能な L の状態で 展開しておいて、簡単な場合について両辺を比較して、展開係数 {aL,L’} を決定する こうして が分かる。

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （練習：簡単な場合… L=J の場合） この場合、 S12 が作用しても １．J は保存される ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （練習：簡単な場合… L=J の場合） この場合、 S12 が作用しても 　　１．J は保存される 　　２．パリティは保存される 　　　　…パリティ保存から L=J-2, J, J+2 が許される。 　　　　　しかし L=J±2 とスピン S=1 を組んで J を作ることはできない。 これらのことから L=J のみ。 磁気量子数も露わに書くと ここで 軌道角運動量 スピン

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （練習：簡単な場合… L=J の場合） テンソル演算子S12 は と書けるので、 このスライド末尾の ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （練習：簡単な場合… L=J の場合） テンソル演算子S12 は と書けるので、 このスライド末尾の 「以下補足」を参照 軌道角運動量 スピン ここで扱いやすいケースとして を考える。 この時

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （練習：簡単な場合… L=J の場合） よって あとはスピン部分の計算 スピン ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （練習：簡単な場合… L=J の場合） よって スピン あとはスピン部分の計算 μ=±1の場合、σ(1)μ σ(2)-μのどちらかが スピンをアップさせる演算子になる。 しかし１，２のスピンは共にすでに ↑なので、これ以上上げることはできない。 つまり作用しても０になってしまう。 クレプシュ・ゴルダン係数の値は このスライドの最後のページを参照

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （練習：簡単な場合… L=J の場合） 他方 これらを比較することで を満たすような aJ,J は

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） L=J-1, L=J+1 は共にスピン S=1 と組んで全角運動量 J の状態を作ることが出来る。 またパリティも同じ。 テンソル演算子によって混ざることが出来る。 ここで 係数 aL,J±1 を求める手順は、先と同様に簡単な場合を考える。 ただし前回と違い、未知係数が複数あるので、複数の磁気量子数 M を考える。

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○右辺

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○左辺 ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○左辺 先の L=J の時と全く同様、テンソル演算子　　　と状態　　　　　　　を書き下す。

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○左辺 続いてスピン部分 ・ M=1 の時 ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○左辺 続いてスピン部分 ・ M=1 の時 先の L=J でやっている ・ M=-1 の時 M=1 の時と同様、μ=0 しか作用できない。 …　μ=1,-1 では σμ がどちらかのスピンを 　　　更に下げようとしてしまう。 M=1 の時と全く同様にして クレプシュ・ゴルダン係数の値は このスライドの最後のページを参照

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○左辺 続いてスピン部分 ・ M=0 の時 ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○左辺 続いてスピン部分 ・ M=0 の時 クレプシュ・ゴルダン係数の値は このスライドの最後のページを参照 を考慮して生き残る配位を残す

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○左辺 ここで

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○左辺 ここまでスピン部分の結果をまとめると ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○左辺 ここまでスピン部分の結果をまとめると この bM を使って左辺は

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○以上の左辺と右辺の式を用いて。。。

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。 ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。 ・ L=J-1 の時 ・ L=J+1 の時

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。 ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。 これらの式に現れるクレプシュ・ゴルダン係数を計算しておく

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。 ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。 これらの式に現れるクレプシュ・ゴルダン係数を計算しておく つまり

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。 ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。 L=J±1 の各場合について、 M=±1 及び M=0 のクレプシュ・ゴルダン係数を代入 ・ L=J-1 の時 M=±1 M=0 ・ L=J+1 の時 M=±1 M=0

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。 ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。 bM も代入して、整頓すると ・ L=J-1 の時 M=±1 M=0 ・ L=J+1 の時 M=±1 M=0

☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○これら４つの方程式を連立させて解くと。。。 未知係数は４つ： ☆ 各種行列要素の計算の仕方について （重陽子の場合… L=J±1 の場合） ○これら４つの方程式を連立させて解くと。。。 未知係数は４つ： 方程式も４本あるので求まる。

☆ 各種行列要素の計算の仕方について J-1 J J+1 J-1 J J+1 これまでの結果のまとめ ☆ 各種行列要素の計算の仕方について これまでの結果のまとめ … L=J, J±1 に対して、中心力 　　　、ＬＳ力　　　　、テンソル力　　　　を考える。 J-1 J J+1 L’ L J-1 J J+1

☆ 各種行列要素の計算 （補足）　よく使う Gauss積分 一般に

☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-1 ) R. Tamagaki, Prog. Theor. Phys. 39, 91 (1968) Potential for 3E channel Core hight = 1.8 GeV

☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-2 ) R. Tamagaki, Prog. Theor. Phys. 39, 91 (1968) Potential for 3E channel Core hight = 0.3 GeV

☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-1 ) 結果 基底のGaussian （ S, D状態、両方） 広がりパラメータ　最小bmin =0.1 fm, 最大bmax = 20 fm N=40この等比級数で用意 Wave function [fm-3/2] S-wave U(r) D-wave W(r) r [fm]

☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-1 ) 結果 ・中心力の斥力芯によって、S-waveの短距離部分 　（1 fm以下）が強く抑制されている。 Wave function [fm-3/2] S-wave U(r) D-wave W(r) r [fm]

☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-1 ) 結果 ・中心力の斥力芯によって、S-waveの短距離部分 　（1 fm以下）が強く抑制されている。 ・Long tailはテンソル力から。 Wave function [fm-3/2] S-wave U(r) D-wave W(r) r [fm]

☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-1 ) 結果 ・中心力の斥力芯によって、S-waveの短距離部分 　（1 fm以下）が強く抑制されている。 ・Long tailはテンソル力から。 Wave function [fm-3/2] 各波動関数の最大値で規格化した S-wave U(r) D-wave W(r) r [fm]

☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-2 ) 結果 基底のGaussian （ S, D状態、両方） 広がりパラメータ　最小bmin =0.1 fm, 最大bmax = 20 fm N=40この等比級数で用意 Wave function [fm-3/2] S-wave U(r) D-wave W(r) r [fm]

☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-2 ) 結果 ・S-waveの短距離部分（1 fm以下）の抑制度合いは 　G3RS-1に比べ弱い。 　← G3RS-2は斥力芯が低いため。 Wave function [fm-3/2] S-wave U(r) D-wave W(r) r [fm]

N= 5 ☆ 基底数を変えて行った時の様子 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function ☆ 基底数を変えて行った時の様子 N= 5 bmin =0.1, bmax = 20 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function [fm-3/2] r [fm]

N= 6 ☆ 基底数を変えて行った時の様子 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function ☆ 基底数を変えて行った時の様子 N= 6 bmin =0.1, bmax = 20 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function [fm-3/2] r [fm]

N= 7 ☆ 基底数を変えて行った時の様子 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function ☆ 基底数を変えて行った時の様子 N= 7 bmin =0.1, bmax = 20 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function [fm-3/2] r [fm]

N= 8 ☆ 基底数を変えて行った時の様子 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function ☆ 基底数を変えて行った時の様子 N= 8 bmin =0.1, bmax = 20 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function [fm-3/2] r [fm]

N= 9 ☆ 基底数を変えて行った時の様子 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function ☆ 基底数を変えて行った時の様子 N= 9 bmin =0.1, bmax = 20 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function [fm-3/2] r [fm]

N=10 ☆ 基底数を変えて行った時の様子 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function ☆ 基底数を変えて行った時の様子 N=10 bmin =0.1, bmax = 20 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function [fm-3/2] r [fm]

N=20 ☆ 基底数を変えて行った時の様子 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function ☆ 基底数を変えて行った時の様子 N=20 bmin =0.1, bmax = 20 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function [fm-3/2] r [fm]

N=30 ☆ 基底数を変えて行った時の様子 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function ☆ 基底数を変えて行った時の様子 N=30 bmin =0.1, bmax = 20 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function [fm-3/2] r [fm]

N=40 ☆ 基底数を変えて行った時の様子 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function ☆ 基底数を変えて行った時の様子 N=40 bmin =0.1, bmax = 20 Tamagaki potential (G3RS-1) を使用 Wave function [fm-3/2] r [fm]

☆ 参考文献 「大学院 原子核物理」 中村誠太郎監修 吉川庄一、森田正人、玉垣良三、谷畑勇夫、大塚孝治著 講談社サイエンティフィク ☆ 参考文献 　「大学院　原子核物理」 　中村誠太郎監修 　吉川庄一、森田正人、玉垣良三、谷畑勇夫、大塚孝治著 　講談社サイエンティフィク 　４章“核力の多面性”　４．５．２節 　基礎物理数学　Ｖｏｌ.1 　「ベクトル・テンソルと行列式」 　ジョージ・アルフケン、ハンス・ウェーバー著 　（権平健一郎、神原武志、小山直人訳）　講談社 　ｐ．２８８～２９０ 　「角運動量の基礎理論」 　ローズ（山内恭彦・森田正人訳）　みすず書房

世話人を始め、 皆様、 ありがとう ございました！！

☆ 以下補足

☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確認 ☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確認 テンソル力が“テンソル力”と呼ばれるのは、演算子 S12 が 「空間とスピン各々から作った二階のテンソルをスカラー（０階テンソル）に組んだもの」 であるため。 テンソル力: テンソル演算子 このテンソル演算子は以下のように書ける： さらに次のように書きなおせる：

☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確認 ☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確認 様々な量の定義 各二階テンソル： 各ベクトルの球面成分：

☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確認 ☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確認 証明の仕方 最右辺の　　　　　　　　　　　　　　に、各二階テンソルの定義を代入。 さらに各球面ベクトルの成分を直交座標成分で書きなおし、 左辺に一致することを確認する。 にも注意。

☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確認 ☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確認 つまり を各mについて確認 参考 球面調和関数 クレブシュ・ゴルダン係数 ※ 全て複合同順