第18回プラズマエレクトロニクス講習会 プラズマプロセスモデリングと将来技術の最前線 実用シミュレーション技術 第18回プラズマエレクトロニクス講習会 プラズマプロセスモデリングと将来技術の最前線 実用シミュレーション技術 2007年11月2日 ペガサスソフトウェア株式会社 松永史彦、中舘博 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

シミュレーションの必要性 プロセス開発の現状 ブラックボックス 装置の運転条件 幾何形状、ガス種、ガス圧、パワー等 　　　装置内 プラズマやラジカルの状態 　　　基板 薄膜や微細構造の状態 最終的な製品の状態を評価して、運転条件にフィードバックする。装置内の状態を測定するのは困難で、ブラックボックスとして扱われる。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

シミュレーションの必要性 シミュレーションの有効利用 基板に到達するイオン、ラジカル、スパッタ粒子の フラックス エネルギー分布 入射角度分布　など 数値シミュレーションにより装置内の状態を評価する。 装置の運転条件 幾何形状、ガス種、ガス圧、パワー等 　　　装置内 プラズマやラジカルの状態 　　　基板 薄膜や微細構造の状態 装置内の状態を可視化することで、プロセス開発の効率を向上させることを目指す。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

プラズマ装置内に生じている現象 方程式の非線形性 ポアソン方程式 荷電粒子の運動方程式 荷電粒子の生成 Ra = （電子エネルギー分布の関数） 荷電粒子の運動は電位分布（電界）の影響を受ける 荷電粒子が運動すれば空間電荷分布が変化し、電位分布も変化する 荷電粒子の生成率は電子エネルギー分布の関数であり、電子エネルギー分布は電位分布の関数である 非線形性が非常に強い。短いタイムステップで時間を追跡していくしかない。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

プラズマ装置内に生じている現象 気相反応 （CF4の場合） Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. プラズマ装置内に生じている現象 表面反応 エッチング デポジション スパッタリング Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Particle-In-Cell / Monte Carlo Collision Method プラズマの粒子シミュレーション法 PIC/MCC法 Particle-In-Cell / Monte Carlo Collision Method プラズマの粒子シミュレーション法 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. PIC/MCC法 基本的な考え(1) 装置内に存在する例えば1015個程度の電子・イオンを、106個程度の “超粒子”(super particle, サンプル粒子) で置き換えてシミュレートする。 重み 1015/106=109 超粒子の“重み”という。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. PIC/MCC法 基本的な考え ポアソン方程式を解く 荷電粒子の運動方程式 境界条件 荷電粒子の衝突 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. PIC/MCC法 実行のイメージ イオン 電子 中性気体をバックグラウンドとして扱い、電場、磁場中の電子・イオンの超粒子の運動を追跡する。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. PIC/MCC法 クーロン相互作用 クーロン力は遠距離力である。 周りの全ての荷電粒子との相互作用を計算するのは計算時間がかかりすぎ非現実的。 空間をメッシュ分割し、超粒子の電荷をグリッド上に集約して、ポアソン方程式を解く。 q1 q2 q３ q４ Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. PIC/MCC法 荷電粒子の運動方程式 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. PIC/MCC法 境界条件 電位の境界条件 ノイマン境界条件（法線方向の電位勾配が０） ディリクレ境界条件（境界の電位を与える） 周期境界条件 荷電粒子の境界条件 境界で消滅 材料表面に表面電荷が蓄積 2次電子放出 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

PIC/MCC法 荷電粒子の壁面での境界条件 + イオンが壁面に入射すると、 中性化して反射する 固体の内部に進入する イオンは壁面で消滅するとして取り扱う 壁面　 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

PIC/MCC法 荷電粒子の壁面での境界条件 + - 誘電体表面に荷電粒子が入射→表面に電荷が蓄積する ポアソン方程式を解くときにこの表面電荷も考慮する。 イオンと電子の入射フラックスが等しくなるように電位が変化する。 - - - - 誘電体表面　 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

PIC/MCC法 荷電粒子の壁面での境界条件 イオンが壁面に入射すると、電子が放出される場合がある。入射者イオン1個あたり平均何個の電子が放出されるか→2次電子放出係数 金属材料では　0.1前後の値をとるものが多い。MgO のように　3.0　という大きい値をとる材料もある。 DCプラズマの場合には2次電子放出がプラズマを維持するため、2次電子放出係数は特に重要。 + - 壁面　 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

希薄気体流れ場の 粒子シミュレーション方法 DSMC法と テスト粒子モンテカルロ法 希薄気体流れ場の 粒子シミュレーション方法 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 Direct Simulation Monte Carlo Method 直接シミュレーションモンテカルロ法、モンテカルロ直接法 1960年代に G.A. Bird が最初に始めた。 希薄気体の流れ解析に適する方法であるが、原理的には （計算量の問題を無視すれば）連続流の領域も解析可能。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 希薄気体 ナビエストークス方程式が適用できない。 ボルツマン方程式に基づいた解析が必要。 Kn数> 0.01 という条件が目安。 Knudsen number, クヌーセン数、クヌッセン数 気体の流れ場の希薄度を表す無次元数。 Kn = l/d l; 平均自由行程, d; 代表長さ Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 基本的な考え(1) 装置内に存在する例えば1023個程度の気体分子を、106個程度の “超粒子”(super particle, サンプル粒子) で置き換えてシミュレートする。 重み 1023/106=1017 超粒子の“重み”という。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 基本的な考え(2) 超粒子の運動 並進移動 粒子同士の衝突 壁との衝突、流入、流出 を短い時間ステップで追跡する。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 基本的な考え(3) 計算領域を平均自由行程の大きさのセルに分割する。 セル内にある粒子同士が、ある確率で衝突を起こすものとして取り扱う。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 実行イメージ(1) 超粒子が速度を持って運動している。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 実行イメージ(2) 1タイムステップ並進移動後の状態。 1タイムステップの並進移動中は粒子は衝突しないとの仮定 “分離の原理” Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 実行イメージ(3) セル内の粒子を2個選び、衝突試行。 選ばれた2粒子の相対速度の大きさから実衝突が起こるかどうか判定される。 “最大衝突数法” Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 実行イメージ(4) 衝突が起こったと判定されれば、2粒子の速度を変える。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 サンプリング(1)　密度分布 各セルに超粒子が平均何個存在しているかを統計処理して密度分布を求める。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 サンプリング(2)　速度分布 個々の粒子の速度　数１００m/s セル平均速度　数~数10m/s あまり遅い流れ場は統計誤差がのって大変 超粒子の速度を平均して、各セルの流速を求める。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 衝突する粒子対の選択方法 いくつかの方法が提案されてきた。 南部法 変形南部法 最大衝突数法 最大衝突数法がもっとも計算効率が良いとされている。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 最大衝突数法(1) 粒子 i と粒子 j が衝突する確率は、i と j の相対速度 の関数（剛体球の場合は比例）である。 セル内の全ての2粒子の組み合わせの相対速度を評 価するのは、計算コストがもったいない。例えば、セル 内に粒子が 20個あれば、20x19=380対の相対速度 を評価しなくてはならない。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 最大衝突数法(2) 多くても衝突数は最大これくらい、という最大衝突数を見積もる。 その最大衝突数だけランダムに2対を選ぶ。これを仮衝突 (衝突試行)と呼ぶ。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 最大衝突数法(3) 2対の相対速度から、衝突確率を求める。 乱数を振って、衝突するかどうか判定する。 衝突したと判定されれば、2粒子の速度を変更する。 これを実衝突とよぶ。 衝突の散乱角はまた別の乱数を振って決める。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 壁面での境界条件(1) 鏡面反射 拡散反射 Maxwell型反射 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 壁面での境界条件(2) 鏡面反射 高温、高真空で脱気した平坦な金属面 壁の原子量が大きく、気体の原子量が小さい場合 壁面　 光が鏡で反射するように、粒子が壁面で反射する境界条件 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 壁面での境界条件(3) 拡散反射 壁面　温度T[K] 入射速度によらず、T で決まる速度分布に従う確率で反射する。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 壁面での境界条件(4) Maxwell型反射条件 確率αで拡散反射を起こし、 確率(1-α) で鏡面反射する。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 流入/流出境界(1) 計算領域内 計算領域外 ？ ？ 流入境界 どのようなフラックスと速度分布で粒子を入れるか？ Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 流入/流出境界(2) 計算領域外 計算領域内 1/4nv 単位時間あたりに境界を横切って入ってくる粒子の速度分布 ある温度、圧力の平衡状態の気体が存在する。 流入境界 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 流入/流出境界(3) 計算領域外 計算領域内 計算領域外に出た粒子は単に取り除く 流出境界 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 流入/流出境界(4) 計算領域外 計算領域内 流出境界からも粒子は入ってくる。この効果を反射率で与えたり、流入境界と同様の条件で与えたりする。 流出境界の計算領域外にもある温度、圧力の平衡状態の気体が存在すると考えるのが自然。 流出境界 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 流入/流出境界(5) 粒子は流入境界と流出境界のいずれからも入ってくるし、 また、出て行く。 境界から出て行くフラックスは、計算結果として求まる量 である。境界から入ってくるフラックスは境界条件として 与える量である。 DSMC法では流入境界と流出境界に区別はない。粒子 の出入りの正味のバランスの計算結果として、流入境界 か流出境界かが決まる。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 分離の原理 1タイムステップ 時間 並進移動 並進移動 衝突 衝突 衝突 本当は1タイムステップの間のばらばらな時刻に衝突が起こっているはず。衝突と並進移動を分離して取り扱ってよいための条件を分離の原理という。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. DSMC法 分子モデル 2分子間の距離と働く力の関係をモデル化したもの。 多くの場合、剛体球モデルで十分。 分子間ポテンシャル 分子間ポテンシャル 距離 d 距離 逆べき分子モデル 剛体球モデル Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. テスト粒子モンテカルロ法 密度の大きい成分をバックグラウンドとして扱う。その中で密度の小さい成分のみを超粒子として取り扱い、その運動を追跡する。 密度の小さいラジカル種や、スパッタ粒子の挙動に興味がある場合などに使われる。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

連続体流体と希薄気体の 振舞の違いの例(1) 速度Vで壁が移動 クエット流れ 流体 速度分布は？ 静止 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

連続体流体と希薄気体の 振舞の違いの例(2) 連続体流体の場合 希薄気体の場合 流体の速度は、壁面上で壁の速度と等しくなる。 速度の滑りが生じる。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

連続体流体と希薄気体の 振舞の違いの例(3) Kn数無限大の極限では.. vy<0の粒子のvx速度分布 y x vy>0の粒子のvx速度分布 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

2体衝突近似に基づく モンテカルロシミュレーション Monte Carlo simulations using the binary collision approximation (MC-BCA) Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. MC-BCA 実行イメージ（１） 固体表面に高エネルギーのイオンが入射 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. MC-BCA 実行イメージ（２） 入射粒子はターゲット原子と衝突する。 周りの原子からの相互作用は無視して2体衝突として取り扱う。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. MC-BCA 実行イメージ（３） ターゲット原子が受け取ったエネルギーが結合エネルギーより大きければ、はじき出される。反跳原子 はじき出された原子がまたさらに別の原子をはじき出す。反跳カスケード Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. MC-BCA 実行イメージ（４） 表面結合エネルギーより大きいエネルギーではじき出された原子は固体表面を飛び出す→ スパッタリング Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. MC-BCA 実行イメージ（５） 衝突によって入射粒子はエネルギーを失う。 全ての反跳原子と入射粒子のエネルギーが十分小さくなるまで追跡を続ける。 入射粒子が停止した位置(深さ)をサンプリング→Depth Profile Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. BC-MCA 計算例　入射エネルギー依存性 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. BC-MCA 計算例　入射角依存性 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

BC-MCA 計算例 Depth Profile Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. BC-MCA 計算例 放出角度分布 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. マグネトロンスパッタ装置 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. マグネトロンスパッタ装置 解析モデル ターゲット 基板 磁石 ２次元円柱座標系 でモデル化 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. マグネトロンスパッタ装置 １．静磁場解析 磁束密度分布 磁力線 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

マグネトロンスパッタ装置 ２．PIC/MCC法 プラズマ解析 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

マグネトロンスパッタ装置 ２．PIC/MCC法 プラズマ解析 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

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マグネトロンスパッタ装置 ２．PIC/MCC法 プラズマ解析 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

マグネトロンスパッタ装置 ２．PIC/MCC法 プラズマ解析 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

マグネトロンスパッタ装置 ２．PIC/MCC法 プラズマ解析 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

マグネトロンスパッタ装置 ３．MC-BCA スパッタリング解析 スパッタリングフラックス分布 （ターゲットの損耗分布） スパッタリング粒子放出角度分布 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

マグネトロンスパッタ装置 ４．スパッタ粒子の輸送 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

マグネトロンスパッタ装置 ４．スパッタ粒子の輸送 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

マグネトロンスパッタ装置 ４．スパッタ粒子の輸送 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 　　　　　　　　　　　　　　流体モデル Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 前提 平均自由行程　 λ ∝　1/p （p : ガス圧） 装置の代表長さ　L P　大　　　λ　小　　　粒子モデルでは計算がきつくなる。 λ/L ≪ 1 なら電子・イオンの集団をそれぞれ連続体と して取り扱うことができる。 例　アルゴンプラズマの場合 電子温度 1 [eV] として　λe～8.4×10-5/pTorr λe/L ≪1 pTorr≫8.4×10-5/L Ar+ 温度　室温 として　 λi～4.8×10-5/pTorr λi/L ≪1 pTorr≫4.8×10-5/L p > 10 ～100 mTorr Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル マクロ量 数密度： nα(r,t)=∫fα (r,cα,t)d3cα 流速： vα(r,t)=∫ cα fα (r,cα,t)d3cα/ nα(r,t)=< cα> エネルギー ：<εα>(r,t)=< mαc2α/2>= ∫ (mαc2α/2) fα (r,cα,t)d3cα/ nα(r,t) r：位置座標, t：時刻, c：粒子の速度ベクトル m：粒子の質量 f(r,c,t)：速度分布関数 添字α：粒子の種類(e,ion) Boltzmann 方程式 これらの量をもちいて運動を記述する。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 基礎方程式のセット 連続の式 ∂ne ∂t + ▽・Γe = Re ∂nion ∂t + ▽・Γion = Rion 運動方程式 Γe = - neμe E - De▽ne Γion = ± nionμion E - Dion▽nion 電子エネルギーバランス式 +eΓe・E = Reng (ne<εe>) +▽・ 5 3 Γe<εe> ∂ ∂t neDe▽<εe> - 電界 - ▽・( εrε0 ▽φ) = e ( ΣionnionZion – ne ) , E = - ▽φ Γα:粒子フラックス (≡nαvα) μα:移動度 Dα:拡散係数 Rα:粒子の生成レート E:電界 Reng:電子エネルギーの損失レート Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 計算手順 これらの基礎方程式を離散化（差分法）して解く コイル電流から 生ずる誘導電界 ・パワー 電位に関するポアソン方程式 E これが一番時間がかかる Γe、Γion を計算 モンテカルロ法 による電子エネ ルギー分布関数 の計算 　ハイブリッドモ 　 デルの場合 連続の式 ne, nion 電子エネルギーバランス式 <εe> この間、中性粒子種の 密度は変化しないと考 える 中性粒子種に 関する流れの 計算 t=t+Δt 数周期毎に１回やり取りする Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 基礎方程式の導出 基礎方程式（粒子種を表す添字は省略） 1 c c2/2 ∫ + c・▽rf + E・ ▽cf ∂f ∂t eZ m d3c 1 c c2/2 ∫ ∂f ∂t ( )col = d3c E ：電界 ∂f ∂t ( )col ：衝突項 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 基礎方程式 連続の式 ∂n ∂t + ▽・nv = R 運動方程式 + ▽・mnvv + ▽・P - neZE= R mom ∂mnv ∂t エネルギーバランスの式 ∂n<ε> + ▽・nv<ε> + ▽・P ・v + ▽・Q + env・E= R eng ∂t R:電離等の反応による粒子の生成レート Rmom:衝突による運動量の交換レート Reng:衝突によるエネルギーの交換レート P:応力テンソル=mn<(c-v)(c-v)>=mn<c’c’> Q:熱流ベクトル=mn<c’2c’>/2 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 生成レート（電子の場合） νi　 ：電離の衝突周波数 νa　 ：電子付着の衝突周波数 νm ：運動量移行衝突周波数 νex　：励起の衝突周波数 Ei　 ：電離エネルギー Eex　 ：励起エネルギー N　　：衝突相手分子の数密度 M　　：衝突相手分子の質量　 σk　　：k衝突の衝突断面積 R= (νi – νa) n Rmom= - mnνm v Reng= - nνm(2m/M) <ε> - nνiEi –nνexEex - …… νk/N = ∫σk(c)f(c)c d3c （分子は電子に対して静止しているという近似） ・各種衝突について、衝突断面積のデータが必要 ・電子の速度分布関数を知る必要 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 運動方程式の簡略化（ドリフトー拡散モデル） ・応力テンソルPは等方的  スカラー圧力 p p=mn<c’2>/3 = 2nεT/3 = nkBT T:電子温度 + ▽・mnvv + ▽nkBT + neE = - v ∂mnv ∂t 1 mnνm 左辺第１項のオーダー : v/νmτv=(τm/τv)v 左辺第２項のオーダー: v2/νmL = (τm/L)v2 = (λm/L)(v/vT) v τm　:運動量緩和に関する平均衝突時間（1/νm）　　　　 τv　: マクロな速度が変化する時間尺度 λm　: 運動量緩和に関する平均自由行程 L :マクロな速度が変化する空間尺度（例えば電極間距離） vT: 電子の熱（ランダム）運動の速度スケール √<c’2> Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 運動方程式の簡略化（ドリフトー拡散モデル） ・τm/τv ≪ 1 の場合は第１項（時間微分）は無視できる。 アルゴン中の電子の場合　νm ～ 1010ptorr [/s] τv=107 [s]（10MHzに相当）とすると τm/τv～10-3/ptorr 　　　　p > 10 [mTorr] なら条件が成り立つ。 ・v/vT ≪ 1 の場合は第２項（対流項）は無視できる。 プロセスプラズマではだいたいこの条件は 満たされていると考えてよい。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 運動方程式の簡略化（ドリフトー拡散モデル） 圧力勾配項 ▽nekBTe meneνm 1 ne ▽( nevT2 3νm neτmvT2 3 ) = = 1 ne ▽(neDe)～ De ▽ne eE meνm = μeE 外力(電界）項 μe = e meνm 移動度 De = τmvT2 3 μekBTe e = kBTe meνm 拡散係数 Γe = - neμe E - De▽ne フラックス Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル エネルギーバランス（電子） ∂n<ε> + ▽・nv<ε> + ▽・P ・v + ▽・Q + env・E= R eng ∂t ・熱流ベクトルは温度勾配に比例 Q= - K▽Te = - ▽εT = - neDe▽εT 　　(K=5De/2) 2K 3kB 5 3 ・圧力はスカラー ▽・P・ve = ▽・(pve) = ▽・(neεTve) = ▽・(ΓeεT) 2 3 ・平均速度の運動エネルギーは、熱運動のエネルギーに対して無視 <ε> ≒ εT ≫ meve2/2 ・エネルギー損失 2me M Ei <ε> Eex Reng = -ne(νm + νi νex )<ε> = -neνε<ε> Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 電子に関する基礎方程式のセット ∂ne ∂t + ▽・Γe = (νi -νa) ne 連続の式 運動方程式 Γe = - neμe E - De▽ne エネルギーバランス式 (ne<ε>) +▽・ 5 3 Γe<ε> ∂ ∂t neDe▽<ε> - +eΓe・E = -neνε<ε> ・νε≪ νm であるのでエネルギーバランス式においては 　一般に時間微分項を無視することはできない。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル イオンに関する基礎方程式のセット ・運動方程式に関しては、電子と同様ドリフトー拡散モデル ・イオンのエネルギーは電離や電子付着にほとんど影響しない 　ので、エネルギーバランス式は解かない。イオン温度は一定 　と仮定。 連続の式 ∂nion ∂t + ▽・Γion = νine ( for positive ion) νane ( for negative ion) 運動方程式 Γion = ± nionμion E - Dion▽nion μion = (mion+M)e|Z| mionMνm,ion Dion = μionkBTion e Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 電界についての基礎方程式 ・電子／イオンの運動を計算するために電界Eを求める必要 ・電気的に中性とはいえ、シースなどでは電気的中性 　が破られる。( nion > ne ) ・電子／イオン密度の空間分布の変化により電界も変化 電位に関するポアソン方程式を解く - ▽・( εrε0 ▽φ) = e ΣαnαZα E = - ▽φ φ: 電位　　　　 ε0 : 真空の誘電率 εr : 比誘電率　（プラズマ領域では 1） Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

電子の速度分布関数に対する仮定 衝突周波数： νk/N = ∫σk(c)f(c)c d3c （１） 局所マクスウェル分布を仮定 4π 流体モデル 電子の速度分布関数に対する仮定 衝突周波数：　νk/N = ∫σk(c)f(c)c d3c （１） 局所マクスウェル分布を仮定 4π c2 exp me 2πkBTe 3 2 mec2 2kBTe - f(c)=fLM(c;Te)= νk/N はTeの関数 色々なTeの値に対してνk /N を計算し、Te～ νk /Nの関係を テーブルとして用意しておく。 連続の式 運動方程式（粒子フラックス） μe, De R, Rmom,Reng 電子エネルギーバランス式 Te（セル毎） νk 電位のポアソン方程式 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 電子の速度分布関数に対する仮定 （２） 一様電界中の電子スウォームの分布関数を用いる 一様な電界Eの中を移動する電子群に対する２項近似の ボルツマン方程式を解き分布関数を求める。 Nμe、NDe、νk/N および<ε>はそれぞれ換算電界E/Nの関数 色々なE/Nの値に対して計算を行い、 Nμe、NDe、νk/N ～E/N またはNμe、NDe、νk/N ～ <ε>関係のテーブルを作成しておく。 連続の式 運動方程式（粒子フラックス） μe, De R, Rmom,Reng E/Nの関数 電位のポアソン方程式 E/N（セル毎） (局所電界近似) または μe, De R, Rmom,Reng 電子エネルギーバランス式 <ε>（セル毎） <ε>の関数 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル ハイブリッドモデル（粒子モデル＋連続体モデル） （３） 電子のモンテカルロシミュレーションを用いる プラズマの連続体モデルの計算でえられた電子密度、分子 密度、および(一般には時間依存の）電界E(r,t)をもちいて、 同じ計算体系（形状）で電子のモンテカルロシミュレーション をおこなう。 電子の速度分布関数f(r,c)をえる。（セル毎） （　実際にはエネルギー分布関数f(r,ε)　） μe, De R, Rmom,Reng νk　および Te がセル毎に求まる。 連続の式 ne(r)（周期平均） 　　電界E(r,t) 運動方程式（粒子フラックス） 電位のポアソン方程式 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル イオンの輸送パラメータ 電子と異なる点 ・質量　mion ～　M ・分子速度が無視できない νm/N = ∫∫σm(cr)f(cr)cr fM(cn)d3c d3cn 　 cr=c-cn ,　cnは分子の速度 ・分子は多様なので、衝突断面積のデータがみつから 　ない場合も多い ドリフト速度 vd は換算電界E/N に依存する。 vd ∝ E/N (E/Nの小さい領域 ≪ 5.6 Td ) 　　　　　　　 (1Td=10-17 volt・cm2 ) 　　 ∝√(E/Nの大きい領域) (E/N  ∞) 理論が難しい Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル イオンの輸送パラメータ （１）　実測データを使用する ・vd, Nμ,ND ～E/N の関係をテーブル表にしておく。 ・文献等ではμそのものではなく、μ0 (reduced mobility )の値をE/N またはE/p0に対してプロット 　していることが多い。 μ0=(p0/760)μ,　E/N[Td] =2.828×E/p0[volt/cm/Torr] Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル イオンの輸送パラメータ （２）　次の近似式からμを求める。 Nμ= 3e|Z| 8 1 Ω(1,1)(Teff) π(mion+M) 2mionMkBTeff 1/2 kBTeff=kBTn +(1/3)Mvd2 Ω(1,1)(Teff)= (kBTeff)-3∫ε2σm(ε)exp(-ε/kBTeff)dε 1 2 ∞ D = μkBTeff e Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 電磁場とのカップリング ICPの場合 ▽2Eθ – iωμ0σEθ= 0　を解く Eθ σ|Eθ|2(Power) Eθ：誘導電界 ω：コイル電流の角振動数 μ0:真空の透磁率 e2ne me(νm+iω) σ：プラズマの導電率 = 連続の式 ne(r)（周期平均） 　　 νm 電子モンテカルロ計算 （ハイブリッドの場合） 運動方程式 電子エネルギーバランス式 電位のポアソン方程式 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 中性ガス流れとのカップリング 原子、励起種生成 衝突による励起、解離 原料ガスの消費 ガスの流動 中性粒子種の密度変化 電離、電子付着などに影響 ・中性ガスの流れシミュレーション 　　各種成分の質量保存式（対流－拡散形） 　　混合ガスの運動方程式 　　混合ガスのエネルギー保存式 nα vgas （α:中性粒子種） Tgas ・電子・イオン運動の時間スケールとガス流れの時間 　スケールはオーダーが異なるので、分離しておこなう。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 境界条件 ・境界面における粒子フラックスを規定する。 ^ ^ ^ (ξnμE・n) n （ξE・n > 0 のとき） Γdrift = ξ=±1 ^ 0 （ξE・n > 0 のとき） Γdiff = (-D ▽n・n ) n ^ （n境界=0） Γout = aΓdrift + bΓdiff (a,b=0 または1) あるいは Γout = (1/4)nvT n , vT=√(8kBT/πm) ^ n: 境界面における外向き単位法ベクトル Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 境界条件 通常、電子に関しては ^ Γe,out = (1/4)neveT n Γe,in = - Σαγse,αΓα,out γseは正イオンの衝突による２次電子放出係数。 総和は正イオン種αに関して取る。 Γe,境界= Γe,out + Γe,in イオンに関しては Γion,境界= Γion,out = Γion,drift + Γion,diff 電子エネルギーフラックスに関しては qe,境界=2kBTeΓe,out + 2kBTe,in Γe,in　（Te,inは仮定） Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 離散化 nij μij Dij Teij φij Γr i+1/2,j Γr i-1/2,j Γz i,j+1/2 Γz i,j-1/2 Er i+1/2,j Er i-1/2,j Ez i,j-1/2 Ez i,j+1/2 セル(i,j) ・２次元直交メッシュ 軸対称 平面２次元 ・変数配置　 　　staggered ・コントロールボリューム法 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル Sharfetter – Gummel スキーム(指数法) vi+1/2 ni ni+1 Γi+1/2 Δx Γi+1/2 = vi+1/2 exp(αΔx)ni - ni+1 exp(αΔx) - 1 α= (v/D)i+1/2 = (±μED)i+1/2 ・Γ=nv-D(dn/dx) として、Γi+1/2を評価するのに、１次元定常問題 　dΓ/dx=0 の解析解を局所的に使用。 ・|α|Δx ≫1 では１次の風上法、 |α|Δx ≪1では中心差分になる。 計算が安定 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル ポアソン方程式のsemi-implicit 解法 ∂ρ ∂t = - ▽・Σe ZαΓα アルゴン　 p=100 [mTorr] ne=1012 [/cm3] = - ▽・Σe |Zα|nαμαE ～ - e(Σ|Zα| nαμα) ▽・ E ρ ε0 τM=1.5×10-12 [s] = - e(Σ|Zα | nαμα) eΣ|Zα| nαμα ε0 誘電緩和時間:　τM = 陽解法をもちいる場合　Δt < τM とする必要 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル ポアソン方程式のsemi-implicit 解法 - ▽・(ε0 ▽φ) = e ΣαnαZα nα= nα,old + Δt (-▽・Γα+Rα) = nα,old - Δt (|Zα|/Zα)μα nα ▽・E + Δt (Dα ▽2nα,old +Rα) 1 ε0 eΣαZα nα,old + Δt (-▽・Γα,diff + Rα) Δt τM 1+ ▽2φ= - Δt > τM としても安定に計算できる。 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル 時間刻みΔt Δt < min Δr/(μeEr), Δz/(μeEz) ・電界ドリフトによる移動が１ステップで１メッシュを 　こえない。 ・電子のドリフト速度で評価 ・生成レートが大きい場合には、この評価よりもかなり 　小さくしなければならない場合も有る。 ・だいたいΔt =10-10～10-12 程度 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 流体モデル その他 ・(周期）定常の判定 目視による。 密度のピーク値や、モニター点における各物理量 の時間変化の出力が不可欠 ・リスタート計算機能をつけるべき Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. ドライエッチング装置のシミュレーション ハイブリッドモデル ＤＳＭＣ Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. ドライエッチング装置 解析モデル 1 KW, 13.56 MHz ガス圧　3 Pa 流量　200 sccm SF6 ハイブリッドモデル + DSMC法(ガス流れ） 150 V, 13.56 MHz Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. ドライエッチング装置 反応式 e+F → F(+)+2e e+F2 → e+F2 e+F2 → F(-)+F e+F2 → F+F+e e+SF6 → e+SF6 e+SF6 → SF6 (-) e+SF6 → SF5(+)+F+2e e+SF6 → SF4(+)+2F+2e e+SF6 → SF3(+)+3F+2e e+SF6 → SF2(+)+4F+2e e+SF6 → SF(+)+5F+2e e+SF6 → SF5(-)+F e+SF6 → SF3+3F+e e+SF6 → SF2+4F+e e+SF6 → SF5+F(-) e+SF5 → SF4(+)+F+2e e+SF5 → SF5(+)+2e e+SF4 → SF4(+)+2e e+SF3 → SF3(+)+2e e+SF2 → SF2(+)+2e e+SF → SF (+)+2e X(+)+Y(-) →X+Y (X,Y∈SFn,F) 壁面反応 すべての壁面 F → 1/2F2 F2, SFn(n=1,5)は壁面で0.1%損失 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. ドライエッチング装置 誘導電界・パワー Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. ドライエッチング装置 電子密度・生成レート Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. ドライエッチング装置 イオン密度 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. ドライエッチング装置 イオン密度・Ｆ原子密度 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. ドライエッチング装置 入射イオンのエネルギー分布関数 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

ＤＣホローカソード放電プラズマシミュレーション ハイブリッドモデル ＤＳＭＣ Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. ＤＣホローカソード 解析モデル 単位：mm 10 解析条件 2 ・Ａｒ：133Pa ・カソード印加電圧およびγ+ 1) -240[V], 0.035 2) -280[V], 0.04 30 ・ハイブリッドモデル 陰極 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. ＤＣホローカソード 　プラズマ密度 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. ＤＣホローカソード 電離レート・電子温度・電位分布 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. ＤＣホローカソード 入射イオンエネルギー分布 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

PDP cell DBD グロー放電シミュレーション (1) RF電極 (2) DC電極 ・　流体モデル ・　電子エネルギーバランス式 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. Plasma Display Panel (1) 誘電体 εr = 8 ガス : Ar 圧力 : 200 [Torr] 電圧 : Vpp=400 [V] freq.=10 [MHz] 位相差180° 320μm 80μm 320μm γ+= 0.04 40μm 600μm Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 電子密度・イオン密度 周期平均値 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 電離レート・電子温度 周期平均値 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. Plasma Display Panel (2) ガス : He 圧力 : 500 [Torr] 50μm 400μm 400μm 50μm γ+= 0.35 誘電体 εr=3.8 600[V] 0[V] 250μm 誘電体 εr=10 80μm 1050μm 300[V] Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 電子密度・イオン密度 10[ns] 20[ns] 30[ns] 1000[ns] Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 電位・電子温度 10[ns] 20[ns] 30[ns] 1000[ns] Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. 電離レート 10[ns] 20[ns] 30[ns] 1000[ns] Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. プラズマ密度・ポテンシャルの時間変化(0～50 ns) 0～50[ns] 電子密度 He(+)密度 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. プラズマ密度・ポテンシャルの時間変化(0～1000 ns) 0～1000[ns] 電子密度 He(+)密度 Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.

Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved. おわりに ・熱、構造、流体、電磁気分野ではシミュレーションが定着 ・プラズマ分野ではシミュレーションの普及はまだこれから 　　　　　・計算時間の短縮 　　　　　・断面積等のデータ整備 　　　　　・実験とシミュレーション結果の照らし合わせ 　　　　　・３次元化 　　　　　・使い勝手 　　　　　・メーカー・大学等研究機関・フトウェア開発者 　　　　　　の連携 装置設計により役立つシミュレーションツールを目指す Copyright 2002-2007 PEGASUS Software Inc., All rights reserved.