はじめに m 1 10-3 10-6 10-9 10-12 長さスケール 固体､液体､気体 マクロスコピックな 金属、絶縁体、超伝導体 世界 磁性体、誘電体 1 マクロスコピックな 世界 10-3 10-6 微細加工技術 メソスコピックな 世界 クラスター、高分子 10-9 原子 100種類あまり 10-12 原子核 ミクロスコピックな 世界 素粒子　 　　（陽子、中性子、 電子、光子、、、、） クォーク

物性物理学：ミクロからマクロへ 要素： 原子、電子： 質量、電荷、スピン、軌道、、 要素間の相互作用：クーロン相互作用 　物性物理学：ミクロからマクロへ 要素：　原子、電子：　質量、電荷、スピン、軌道、、 要素間の相互作用：クーロン相互作用 アボガドロ数：６×１０２３ = 100億×60兆 >（地球人口）×（一人の細胞数）～４×１０２３ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　細胞 – 器官 – 個体 – 民族 – 人類 要素の性質から想像もできないような新奇さ、多様さが発現 （例）水素や酸素　⇔　川を流れる水や氷、水蒸気の性質 　　　　　電子　⇔　 光学的性質：透明な物質、光沢のある物質 　　　　　　　　　　　　電気的性質：絶縁体、電気伝導体、超伝導体、誘電体 　　　　　　　　　　　　磁気的性質：強磁性体、反強磁性体

複雑さと多様性の源泉 ― 相互作用と量子性 ― 複雑さと多様性の源泉 ―　相互作用と量子性　― ★相互作用 互いに相互作用しない多粒子系の熱平衡状態は 密度一様で構造のない単調な世界であり、退屈である 相互作用→ 　　　　例　万有引力 → 星の発生、宇宙の構造形成 　　　　　 クーロン相互作用 → 液体や固体への凝縮、　　 　　　　　　　　　　　　　　　 　化学反応、生体反応 競合、相乗効果、せめぎあい→不均一と構造形成、多様性 局所的にエントロピーの減少する領域の発生 相転移の結果生じる秩序状態（固体・液体・気体相転移、 さまざまな構造の固体、磁性、超伝導）

複雑さと多様性の源泉 ― 相互作用と量子性 ― 複雑さと多様性の源泉 ―　相互作用と量子性　― ★量子性 粒子としての性質と波としての性質；　二重性 シュレーディンガー方程式 ハミルトニアン 運動エネルギー 相互作用エネルギー 不確定性原理 運動エネルギーと相互作用エネルギーの競合

相転移 ー相互作用による新たな性質発現の典型ー 相転移　ー相互作用による新たな性質発現の典型ー 例：気体、液体、固体の間の相転移 液相・気相転移 1次相転移 → 臨界点 水の例 液体 密度 218気圧 374℃ 密度感受率 気体 気体 等温圧縮率 臨界点： 圧縮率の発散 わずかな圧力変化が 大きな密度変化を引き起こす

非平衡状態での反応 ⇔ 平衡状態での空間相関 応答とゆらぎ 密度感受率、圧縮率　⇔　密度ゆらぎ　 外場に対する応答 ゆらぎ 非平衡状態での反応　⇔　平衡状態での空間相関 揺動散逸定理 気相液相転移臨界点：　密度ゆらぎの相関が長距離に及ぶ 臨界蛋白光 (critical opalescence) アインシュタイン、スモルコフスキー、オルンシュタイン、ゼルニケ 原子の存在の根拠の一つ

液相気相転移と二元合金相分離 液体 二元合金（A-B alloy) 高温で溶かして一様に混ぜ合わせた ２種類の金属を冷やす 圧 力 液体 （A-rich) 　液体 急冷 沸点 （A-rich) 臨界点 気体 （B-rich) 気体 (B-rich) 温度 二元合金（A-B alloy) 高温で溶かして一様に混ぜ合わせた ２種類の金属を冷やす Fe-Ni、Sn-Pb（はんだ）など

もう一つの相転移の例：磁気転移 磁 化 対応 m Tc 臨界点 相違点： 合金、液相気相転移； 粒子数保存 →相分離による2相共存 　　　　　　　　　　　への相転移 密度 液体 磁 化 m 対応 常磁性 強磁性 Tc 温度T 気体 臨界点 相違点： 合金、液相気相転移； 粒子数保存 →相分離による2相共存

　秩序形成と対称性の破れ 高温 エントロピーの利得 F = E - TS 自発的対称性の破れ 低温 強磁性秩序 または エネルギーの利得

対称性の破れとランダウの現象論 Tc ：相転移温度（臨界温度） 温度によらない正定数 m Tc T ランダウの現象論 自由エネルギー密度 f を マクロ変数である磁化mの解析関数であると仮定する 上下反転の対称性から、f はmの偶関数 Tc ：相転移温度（臨界温度） L. Landau (1908-1968) 温度によらない正定数 T Tc m 常磁性 強磁性 熱平衡 自由エネルギー最小の状態

相転移をミクロな模型であらわす：イジング模型 結晶格子点i上に配位したスピンSiが ±1というどちらかの値を持つ イジング模型 強磁性イジング模型でのエネルギー

イジング模型の平均場近似 平均場近似 平均場 ランダウ現象論 と等価 まわりのスピンからの相互作用の効果を 均して取り入れ、ゆらぎを無視する 最近接格子点の数 平均場 ランダウ現象論 と等価

見かけ上全く異なった相転移が同じ構造を持つ 普遍性クラス 強磁性転移 気体液体相転移 液体 磁場 Tc 温度 ｘ 臨界点 気体 見かけ上全く異なった相転移が同じ構造を持つ イジング模型の強磁性 ⇔二元合金の相分離 ⇔液相気相転移 対称性の破れ方、励起、 ゆらぎの発散の仕方、臨界指数 によって、多彩な相転移は 少数の普遍性クラスに分類される 同一の普遍性クラス

普遍性クラスは臨界指数によって特徴付けられる 同じ普遍性クラスに属する相転移は 同じ臨界指数を持つ 臨界指数の例：γ 圧縮率の発散のしかた イジング型のランダウ自由エネルギー

イジング型の臨界指数 臨界点 液相 気相 空間次元が低いほど平均場近似からずれ、 ゆらぎの効果が大きくなる 2次元 3次元 磁場中 イジング模型 臨界点 気相 液相 平均場近似からのゆらぎを 考慮した正しい臨界指数も 同じ普遍性クラスであれば 互いに同じ値を持つ 空間次元が低いほど平均場近似からずれ、 ゆらぎの効果が大きくなる

異なる普遍性クラス 連続的な対称性 の破れ 臨界指数の異なる、別の普遍性クラス 相転移は少数の異なる普遍性クラスで分類される イジング対称性；上向きと下向きの2種類の対称性の破れ 離散的な対称性の破れ Siがベクトル 平面内任意の方向を向くことができる　→　XY模型 立体角任意の方向　　　　　　　　　　→ハイゼンベルク模型 連続的な対称性 の破れ 連続対称性の破れの ほうがゆらぎが大きい 臨界指数の異なる、別の普遍性クラス 相転移は少数の異なる普遍性クラスで分類される

まとめ 物質の性質が多様なのは、原子の種類が多いからではなく、（1）要素（原子や電子）の間の相互作用 （２）量子力学的効果があるからである 物質の性質が多様なのは、原子の種類が多いからではなく、（1）要素（原子や電子）の間の相互作用　（２）量子力学的効果があるからである 相互作用が生み出す多様性さの典型は相転移である 液相気相転移の臨界点のような相転移臨界点では、わずかな外場に対する応答が発散し、ゆらぎの空間相関が長距離におよぶ（例：液相気相転移の臨界点での臨界蛋白光） 多くの相転移は「自発的な対称性の破れ」を引き起こす 対称性が破れる相転移の本質はランダウの現象論や平均場近似によって、ゆらぎを無視する範囲で理解できる 液相気相転移、2元合金の相分離、イジング模型の磁気転移は相転移の構造が等価になっている 相転移は少数の普遍性クラスによって分類され、同じ普遍性クラスに属する相転移は見掛けが全く違っても同じ臨界指数と構造を持つ

第１章 物性物理と相転移 東京大学　　　　　今田　正俊

物性物理学：物質の性質をミクロな要素から理解する 　物性物理学：ミクロからマクロへ 物性物理学：物質の性質をミクロな要素から理解する 我々の手にする物質は１００種類ほどの原子と電子がアボガドロ数個ほど集まってできている。 ☆要素の原子、電子の属性：質量、電荷、スピン、軌道、、は既知 ☆量子力学の法則に従う多体系 ☆要素間の相互作用：クーロン相互作用 アボガドロ数：６×１０２３ = 100億×60兆 >（地球人口）×（一人の細胞数）～４×１０２３ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　細胞 – 器官 – 個体 – 民族 – 人類 要素の性質から想像もできないような新奇で多様な性質が発現 （例）要素である水素や酸素の原子の属性と川を流れる水や氷、水蒸気の性質 　　　マクロな性質：光学的性質：透明な物質、光沢のある物質 　　　　　　　　　　　　電気的性質：絶縁体、電気伝導体、超伝導体、誘電体 　　　　　　　　　　　　磁気的性質：強磁性体、反強磁性体 　　　　　　　　　　　　硬さ、比熱、化学反応性など。

g e 高温 固溶体 低温 相分離 B A B A B B B B B B A A B B B B A A A B A B A A A A A原子：　S = 1 を割り当て B原子：　S = ｰ1 を割り当て A B g e B B、 A A イジング模型 と等価

相分離の平均場理論 D→Ｐ，Q；相分離