ガウス誤差関数を利用した 収束の速いヒルベルト変換ディジタルフィルタ 2013年3月6日 吉川 浩†，棟方 渚† ，小野 哲雄† †北海道大学 大学院情報科学研究科 情報処理学会 第75回全国大会

ヒルベルト変換とは 下記の周波数特性 H(ω) を持つ変換 全ての周波数成分の位相を90度ずらす Hilbert Transformation 下記の周波数特性 H(ω) を持つ変換 全ての周波数成分の位相を90度ずらす A*cos(ωt) のヒルベルト変換は A*sin(ωt) 縦軸は虚数 式で表すと H(ω) = -i * sgn(ω) 情報処理学会 第75回全国大会

ヒルベルト変換とは ディジタル信号処理には欠かせない 解析信号（複素信号）を得るために用いる Hilbert Transformation 信号解析では信号を複素数で扱うと便利 A e-i(ωt+θ) = A cos(ωt+θ) + i A sin(ωt+θ) 瞬時振幅（A）と瞬時位相（ωt+θ）を正確に取り出せる 実世界の信号は実数のみ（虚数がない） ヒルベルト変換で虚数部を生成 A cos(ωt+θ)  A sin(ωt+θ) 情報処理学会 第75回全国大会

ヒルベルト変換フィルタの設計 一般的な手法(Parks-McClellan法*) 提案手法(ガウス誤差関数を用いる方法) 反復法によりFIRフィルタ係数を求める 最適解が得られる 計算が遅い 条件によっては反復計算が収束しないことがある 提案手法(ガウス誤差関数を用いる方法) ガウス誤差関数の逆フーリエ変換から求める 実用解が得られる（最適とは限らない） 反復法ではないので計算が速い 必ず計算結果が得られる * James McClellan and Thomas Parks. 1972 情報処理学会 第75回全国大会

提案手法の説明 情報処理学会 第75回全国大会

着想 HTのインパルス応答からFIRフィルタを設計 (周波数領域での積は時間領域での畳み込み) F-1 無限に続くインパルスを有限タップで打ち切る ⇒ 打切り誤差が生じる F-1 H(ω) h(t) 方形窓を掛けた ヒルベルト変換特性 ヒルベルト変換の インパルス応答波形 Z-1 h0 h1 h2 hn + hn-1 fN f0 f1 fN-1 fN-2 h0 fN h1 fN-1 h2 fN-2 hN-1 f1 hN f0 y = Σ hk fN-k 情報処理学会 第75回全国大会

着想 特に，方形のような不連続窓のインパルス応答波形はなかなか零に収束しない 方形窓ではなく連続な窓にする 打切り誤差が大きくなる 打切り 情報処理学会 第75回全国大会

下記特性の窓関数を見つける 窓関数の周波数領域の特性 窓関数のインパルス応答の特性 通過域はできるだけ平坦 連続で滑らか | t | の増加とともに素早く零へ収束 ガウス誤差関数を使った窓 情報処理学会 第75回全国大会

ガウス誤差関数 erf(x) 定義式 グラフ 「ガウス関数」を積分したもの． ガウス関数は時間と周波数の分解能に対して最適 情報処理学会 第75回全国大会

ガウス誤差関数によるフィルタ 提案フィルタの周波数特性 提案式を逆フーリエ変換 K は定数（利得を正規化する） Mは定数 ω1=0のとき ω1≠0のとき 周波数特性 H(ω) -ω2 -ω1 ω1 ω2 ω1, ω2 によってカットオフ周波数を設定できるようにした σによって遷移域の傾きを設定できるようにした インパルス応答 h(t) 打切り 急速に減衰する項 情報処理学会 第75回全国大会

評価 情報処理学会 第75回全国大会

ヒルベルト変換フィルタ設計ツール パラメータ変更に対してリアルタイムに表示できる PM法は解が収束するまで反復計算するのでリアルタイムは無理 結果はC言語で保存される double hcoeff[] = { 5.3340066754195e-002, 6.4546659217938e-003, -1.5383950543097e-002, 1.0909027758063e-001, 2.8823052782103e-001, 2.7244132465002e-001, 0.0000000000000e+000, -2.7244132465002e-001, -2.8823052782103e-001, -1.0909027758063e-001, 1.5383950543097e-002, -6.4546659217938e-003, -5.3340066754195e-002 }; 情報処理学会 第75回全国大会

性能評価 パラメータ（通過域，タップ数）を変えPM法と提案手法のフィルタ特性を比較 用いたフィルタ設計ソフトウェア 提案手法： 自作プログラム PM法： 三上直樹 氏のフィルタ設計プログラム はじめて学ぶディジタル・フィルタと高速フーリエ変換 　CQ出版. 2005 情報処理学会 第75回全国大会

性能評価 – 実験1 PM法と提案手法の性能比較 (1) TAP数=27，通過域 = [ 0.10， 0.40 ] 方形窓 Parks-McClellan法 提案手法 （偏差 6.4×10-2） （偏差 3.4×10-5） （偏差 9.9×10-4） 情報処理学会 第75回全国大会

性能評価 – 実験2 PM法と提案手法の性能比較 (2) TAP数=51，通過域 = [ 0.10， 0.40 ] PM法は 収束せず 方形窓 Parks-McClellan法 提案手法 （偏差 3.6×10-2） （偏差 1.3×10-5） 情報処理学会 第75回全国大会

性能評価 – 実験3 PM法と提案手法の性能比較 (3) TAP数=101，通過域 = [ 0.03， 0.47 ] 方形窓 Parks-McClellan法 提案手法 （偏差 5.8×10-2） （偏差 2.3×10-5） （偏差 5.7×10-4） 情報処理学会 第75回全国大会

性能評価 – 実験4 バンドパス特性を持つHTフィルタ PM法は上記通過域で収束せず（通過域を広げて収束） 収束する条件では利得が１を大きく超える場所がある 通過域 = [ 0.1125, 0.1375 ] Tap数 = 15 提案手法 Parks-McClellan法 通過域 通過域 情報処理学会 第75回全国大会

応用例 情報処理学会 第75回全国大会

音声に低周波データを載せる 脈波や心電図などを音声の振幅に載せてマイク端子から取得する装置を開発 応用例 スマートフォンを使った脈波測定器 (第16回日本バーチャルリアリティ学会大会，情報処理学会インタラクション2012) スマートフォンを使った脈波測定器 スマートフォンを使った心電測定器

AM復調の原理 ヒルベルト変換を利用して振幅を求める 応用例 ディジタル信号処理によって正確な振幅が分かる (従来)包絡線検波  サンプリング点が頂点でないと誤差 ヒルベルト変換  サンプリング点が頂点でなくてもよい (実信号を解析信号化し瞬時振幅を得る) 振幅変調された音声 A(t) cos(ωt+θ) ヒルベルト変換対を求める A(t) cos(ωt+θ) ，A(t) sin(ωt+θ) 絶対値を計算する A(t) 情報処理学会 第75回全国大会

復調ブロックダイアグラム 応用例 A(t)cos(ωt) + Noise A(t)sin(ωt) |A(t)|2 BPF HTF HTF pow2 A(t) + ↓ 8kHz  200Hz LPF (Sinc) A(t)cos(ωt) pow2 HTF ヒルベルト変換フィルタ（実験４で作ったもの．タップ数=15） BPF バンドパスフィルタ（入力信号からノイズとDC成分を除去） pow2 入力を２乗する ↓ デシメーション・フィルタ（サンプリング周波数を下げる） 入力の平方根を計算する 情報処理学会 第75回全国大会

応用例 実際の音声波形と復調データ 振幅変調された音声波形 復調されたデータ 情報処理学会 第75回全国大会

まとめ 情報処理学会 第75回全国大会

まとめ／Future Work まとめ Future Work erf(x) を利用したHTフィルタ設計法を提案 反復法ではないため計算が高速／必ず解が得られる 得られるフィルタの性能はPM法より若干劣る 実用解が得られる スマホで生体情報を取得する装置へ応用 Future Work erf(x)のヒルベルト変換以外への適用 ウェーブレット変換 etc. 情報処理学会 第75回全国大会

ご静聴ありがとうございました

AM復調への応用 包絡線検波 ＋ ローパス・フィルタ 背景 問題：振幅の検出が難しい サンプリング点が音声の山/谷と一致しない 振幅変調された音声 A(t) cos(ωt+θ) 絶対値を求める | A(t) cos(ωt+θ) | ローパス・フィルタ A(t) 情報処理学会 第75回全国大会

FIRフィルタ 畳み込みを実行する 係数 hk の数が多いと計算コストがかかる fN f0 f1 fN-1 fN-2 + Z-1 h0 h1 h2 hn + hn-1 fN f0 f1 fN-1 fN-2 h0 fN h1 fN-1 h2 fN-2 hN-1 f1 hN f0 y = Σ hk fN-k 情報処理学会 第75回全国大会

スマホでデータを取得する原理 音声をデータでAM変調し，マイクで取得 ソフトウェアでAM復調しデータを復元 応用例 光の強さに応じて 電気抵抗が変わる素子 入力信号に応じて 発光の明るさが変わる素子 アナログ信号 1kHzの信号 1kHzの信号に アナログ信号が 乗ったもの 光 情報処理学会 第75回全国大会