環境計画数理 佐野可寸志 http://infra.nagaokaut.ac.jp/members/sano/www/Class3.html sano@nagaokaut.ac.jp オフィスアワー　木曜昼休み

講義内容 ◎最適化問題（Mathematical Programming） ・線形計画法（Linear Programming） ◎多変量解析 　　・重回帰分析 　　・判別分析 　　・主成分分析 　　・数量化Ｉ類 　　・数量化ＩＩ類 　　・数量化ＩＩＩ類 　　・クラスター分析 ◎ 実験計画法 　　・分散分析

最適化問題 最適化問題 ◎目的関数 ○制約条件 線形計画法 目的関数と全ての制約条件：線形（変数の１次式の和） 非線形計画法 　◎目的関数 　○制約条件 線形計画法 　　目的関数と全ての制約条件：線形（変数の１次式の和） 非線形計画法 　　目的関数or制約条件：一つでも非線形なものがある場合

線形計画法 Max. Z(x1,x2 ,・ ・ ・ , xi, ・ ・ ・ ,xn) = Σ ai・ xj s.t. Σb1i ・ xj 　≦ b01 …… Σbmi ・ xj 　≦ b0m x1 x2 Z=2 x1+x2

線形計画法の例 （１） 機械A 60 [kg/h] 40 [$/h] 機械 B 80 [kg/h] 60 [$/h] 線形計画法の例　（１） 機械A 60 [kg/h] 40 [$/h] 機械 B 80 [kg/h] 60 [$/h] 機械の操作時間の和は10時間以下 費用は480＄以下 Q. 生産量を最大にする機械Aと機械Bの操作時間の 　　組み合わせは，いかほどか？ I will show you a simple example of linear programming. The number of independent variables is two and the number of constraint functions is also two. A company has two machines but it has only one operator.Machine A has ability to make products of 60kg and it takes 40 $ per hour. Another machine B has ability to make products of 80 kg and it takes 60 $ per hour. There are two constraints that Total operation time must not be above 10 hours, and Total cost must not be above 480$. The problem to be solved is to find the best combination of operation time of machine A and machine B that maximize amount of products in this situation,

線形計画法の例 （２） Z: 生産量 x1: 機械Aの作業時間 x2: 機械Bの作業時間 目的関数: 制約条件: Z=60x1+80x2 線形計画法の例　（２） Z: 生産量 x1: 機械Aの作業時間 x2: 機械Bの作業時間 目的関数: 制約条件: 　　 Z=60x1+80x2 x1 + x2≦10 4x1 + 6x2≦48 Object function is formulated that z is equal to 60x1+80x2, when variable Z is amount of production, variable x1is operation time of machine A, and variable x2 is operation time of machine B. 0≦x1, 0≦x2

非線形計画法 Max. Z(x1,x2 ,・ ・ ・ , xi, ・ ・ ・ ,xn) s.t. g1 (x1,x2 ,・ ・ ・ , xi, ・ ・ ・ ,xn) 　≦ b01 …… gm (x1,x2 ,・ ・ ・ , xi, ・ ・ ・ ,xn) 　≦ b0m x1 x2 Z=2 x12+x2

非線形計画法の例 変数の数 １ 複数 x2 あり なし 制約条件 x1 x1 x2 x1 x1 b1≦ x1 ≦ b2 　　　　変数の数 １ 　　　　　　 　複数 x2 あり 　　 なし 　　　　　　制約条件 x1 x1 We divide non linear programming into four group by two criterions: one criterion is the number of variables is one or not, and another criterions is the number of constraint function is 0 or not. In this class I will explain the four methods corresponding to these four groups. At firs I CR will explain the easiest case that Number of Variables is one and Number of Constraints is zero. x2 x1 x1 b1≦ x1 ≦ b2

多変量解析・実験計画法 教科書 多変量解析法入門 永田 靖 ・ 棟近 雅彦 サイエンス社 参考書 Excelで学ぶ理論と技術 実験計画法 　多変量解析法入門 　永田　靖　・　棟近　雅彦　　　　サイエンス社 参考書 　Excelで学ぶ理論と技術　実験計画法 　星野　直人・関　庸一　　　　　　ソフトバンククリエイティブ社 We divide non linear programming into four group by two criterions: one criterion is the number of variables is one or not, and another criterions is the number of constraint function is 0 or not. In this class I will explain the four methods corresponding to these four groups. At firs I CR will explain the easiest case that Number of Variables is one and Number of Constraints is zero.

1.1 多変量データ 第１章 多変量解析法とは Multivariate Analysis 変量＝変数 第１章　多変量解析法とは 1.1　多変量データ Multivariate Analysis 　　変量＝変数 名義尺度：カテゴリーの違いを表す（性別、職業） 順序尺度：順序に意味がある（優良可） 間隔尺度：順序と間隔に意味がある（温度） 比率尺度：順序と間隔に意味があり、原点が定まっている（重さ）

1.1 多変量データ 質的変数（qualitative variable） 名義尺度、順序尺度 1.1　多変量データ 質的変数（qualitative variable） 　名義尺度、順序尺度 量的変数（quantitative variable） 　間隔尺度、比率尺度 質的変数 量的変数 間隔尺度 名義尺度 順序尺度 比率尺度

外的基準 y y=f(x1,x2,‥，xi ，‥ ，xp) y ：被説明変数 or 従属変数 x1,x2,‥，xi ，‥ ，xp ： 説明変数　or　独立変数

1.2　重回帰分析とは

1.3　数量化I類とは 1.4

1.4　判別分析とは

1.5　数量化II類とは

1.6　主成分分析とは

1.7　数量化III類とは

1.9　クラスター分析とは

各分析間の関係 1. 量的変数vs.質的変数 2. 外的基準の有無 外的基準 無 主成分分析，数量化III類，クラスター 量的 質的 重回帰分析 数量化I類 数量化II類 説明変数　ｘ 被説明変数　ｙ 判別分析 2.　外的基準の有無 外的基準　無　主成分分析，数量化III類，クラスター

実験計画法 実験計画法とは 　1920年代に，イギリスの農事試験場の技師であったR.A.フィッシャーによって考案された，データ収集およびデータ解析に対する統計的方法を提供してくれる方法論。 ①どのように実験を計画すれば，最小限の実験費用でデータを　 　収集することができるか？　 →　データの収集方法(実験計画) 　②計画に従って実施した実験によって得られたデータをどのよ 　うに解析すれば、必要な情報を取り出すことができるか？　 →　データの解析方法(分散分析)

紙ヘリコプターの滞空時間 滞空時間？？ 要因 設定範囲 紙の厚さ 薄い・普通・厚い クリップの大きさ 小・中・大 羽の長さ 設定範囲　 紙の厚さ 薄い・普通・厚い クリップの大きさ 小・中・大 羽の長さ 70・80・90mm 羽の幅 20・25・30mm 胴体の長さ 50・60・70mm 胴体の幅 20・30・40mm 羽の間隔 0・10・20mm 要因：実験結果に影響を与えるもの 37=2,187通り

実験計画法の基本用語 用語 説明 特性値 実験において測定の対象となる量のこと。特性値を最大化したいのか、最小化したいのか、あるいは規格などによって設定される目標値に近づけたいのか、目的が何かを明確にしておく必要がある。 因子 特性値に影響すると考えられる要因の中で､実験に取り上げたもの。実験計画法では、因子をアルファベット大文字のA、B、C、･･･で表すのが憤例。 水準 実験では、因子の条件を意図的に変えて特性値の測定を行う。この条件のことを水準といい、条件の個数のことを水準数という。水準は、因子の記号に添え字を付けてA1 、 A2 、 A3 、 ･･･ ･などと表す。 繰り返し いくつかの因子の1つの水準組み合わせについて、実験を複数回行うことを繰り返しといい、その回数のことを繰り返し数という。 主効果 因子をある水準に設定したがゆえの効果。 交互作用 複徽の因子の特定の水準組み合わせに対して生じる効果。ある因子Aと因子Bの交互作用は、記号A×Bと表す。 要因効果 主効果と交互作用を合わせてたもの。 特性値：実験において測定の対象となる量のこと。特性値を最大化したいのか、最小化したいのか、あるいは規格などによって設定される目標値に近づけたいのか、目的が何かを明確にしておく必要がある。 因子：特性値に影響すると考えられる要因の中で､実験に取り上げたもの。実験計画法では、因子をアルファベット大文字のA、B、C、･･･で表すのが憤例となっている。 水準：実験では、因子の条件を意図的に変えて特性値の測定を行う。この条件のことを水準といい、条件の個数のことを水準数という。水準は、因子の記号に添え字を付けてA1 、 A2 、 A3 、 ･･･ ･などと表す。 繰り返し：いくつかの因子の1つの水準組み合わせについて、実験を複数回行うことを繰り返しといい、その回数のことを繰り返し数という。 主効果：因子をある水準に設定したがゆえの効果。 交互作用：複徽の因子の特定の水準組み合わせに対して生じる効果。ある因子Aと因子Bの交互作用は、記号A×Bと表す。 要因効果：主効果と交互作用を合わせてたもの。

分散分析 紙の厚さ（3種類） A１： 薄い (0.1mm) A2： 普通 (0.3mm) A3： 厚い (0.5mm) 実験：誤差を伴う 変数 　No. 紙の厚さｘ 滞空時間ｙ 1 A2 ｙ1 2 A1 ｙ2 3 ｙ3 4 A3 ｙ4 5 ｙ5 ・ ｎ ｙn 紙の厚さ（3種類） 　A１： 薄い (0.1mm) 　A2： 普通 (0.3mm) 　A3： 厚い (0.5mm) 処理方法 データ　ｙ 計 平均 標準偏差 A1 ｙ11，ｙ12，‥，ｙ1n2 T1・ ｙ1 sy1 A2 ｙ21，ｙ22，‥，ｙ2n2 T2・ ｙ2 sy2 A3 ｙ31，ｙ32，‥，ｙ3n2 T3・ ｙ3 sy3 実験：誤差を伴う 　→　複数回実施 分散分析：水準の差が，特性値に有意な違いを与えているか否かを 　　　　　　　分析する手法．