電気回路学Ⅱ 通信工学コース 5セメ 山田 博仁

RC微分回路 RC微分回路 C R vR e(t) 図(a)に示すRC直列回路を電圧源 e(t) で励振し、応答として抵抗 R の両端の電圧 vR をとるものとする。また励振 e(t) は図(b)に示すような方形パルスであり、時刻 t = 0 に生起し、t = a で消滅する大きさ E0 の電圧であるものとする。 この方形パルスを分解して、t = 0 に生起する大きさ E0 のステップ関数と t = a に生起する大きさ −E0 のステップ関数を重ねたものとすれば、 (a) t a E0 t E0 a – E0 と表される。 を印加したとき R に流れる電流 i1(t) は、 である。 −∞ < t < 0 の範囲で印加電圧 e(t) = 0 であれば、C に蓄えられている電荷は 0、即ち q(0) = 0 であるとしてよい。 (b)

RC微分回路 RC微分回路 一方、　　　　　　　　　を印加したときの電流 i2(t) は、時間を t → t − a に置き換えて、かつ E0 に負号を付けて、 と表される。 よって、R の両端の電圧 vR(t) = Ri(t) は、 で与えられる。 これを図示すると以下のようになる。

RC微分回路 図において、正の部分の面積と負の部分の面積が等しく、 従って、vR(t) の平均値すなわち直流分は 0 である。つまり、C は直流分を遮断する。 電圧 vR(t) の波形は、時定数 τ = RC と印加パルスの時間幅 a との関係により、異なるものとなる。つまり、τ >> a ならば、入力形波にほぼ等しい波形となるが、逆に τ << a ならば、入力波形を微分したような波形となる。従って、後者の場合を RC微分回路と呼んでいる。 RC直列回路の式 の両辺を t について微分し、両辺に C を 乗じて、RC = τ が考えている時間スケール t に対して非常に小さいとすれば、 と近似できるから、 即ち、入力電圧波形 e(t) の微分にほぼ比例した出力電圧波形 vR(t) が得られる。 微分回路は一般に、方形波から鋭いパルスを作るのに使われるので、ピーキング回路(peaking circuit)とも呼ばれる。

RC積分回路 RC積分回路 RC直列回路において、方形波の入力電圧 e(t) に対して、出力として C の両端の電圧 vC(t) をとることにする。このとき、0 < t < a に対しては、 C R vC e(t) で q(0) = 0 としたものより、 として、 また一方 a < t に対しては、 より得られる を vC1 に重ねることにより、 と求められる。

RC積分回路 RC積分回路 vC(t) を図示すると以下のようになる。 vC(t) が直流成分を含むことは明らかである。 vC(t) は、τ << a のときは図(c)のように入力波形 e(t) と殆ど同じ波形となり、逆に τ >> a のときは図(a)のような波形となる。後者のような場合を RC積分回路と呼ぶ。 RC直列回路の式 の両辺を各々 R で割ってから積分し、 RC が非常に大きいとすれば、 即ち、入力電圧波形 e(t) の積分にほぼ比例した出力電圧波形 vC(t) が得られる。 積分回路は検波や整流などに使われる。 (a) (b) (c)

伝達関数の周波数特性 伝達関数の周波数特性 RC微分および積分回路の励振 e(t) と応答 vR(t) あるいは vC(t) の間の関係は、それらのラプラス変換 E(s), VR(s) あるいは VC(s) の間の関係で表現すれば、初期条件 q(0) = 0 として、 これら伝達関数において、s → jω として振幅の周波数特性を調べてみると、 となる。

高域通過回路と低域通過回路 これらの特性を ω に対して描くと、下図のようになる。 図(a)では、ω = 0 で |HR| = 0、 ω = 1/τ で |HR| = 1/√2、 ω = ∞ で |HR| = 1 となっている。 従って、0 < ω < 1/τ の周波数領域は減衰域(stop band)、 1/τ < ω < ∞ の周波数領域は通過域(pass band)と呼ぶ。このように、低い周波数域が減衰域、高い周波数域が通過域となる回路を、高域通過形回路と呼ぶ。一方図(b)では逆に、 ω = 0 で |HC| = 1、 ω = ∞ で |HC| = 0 となっているから、低域通過形回路である。

高域通過回路と低域通過回路 このような周波数特性をもつ回路に、広いスペクトル成分をもつ電気信号、例えば方形波パルスのような信号波形を入力すれば、出力信号のスペクトルは入力信号とは異なったものとなる。例えば高域通過形回路では、ゆっくり変化する振動成分は除去され、出力波形は鋭い形となり、また逆に低域通過形回路では、速い変化をする振動成分が除去されて、出力波形は鈍い形となる。 において、時定数 τ = RC が 1(秒) よりも非常に小さければ、 となり、入力 E(s) に s を乗じた形となる。 と比較すると分かるように、時間領域では(初期条件を無視しての)時間微分に他ならない。 積分回路については、 の τ = RC が 1(秒) よりも非常に大きいとして、 となって、入力 E(s) を s で割る形となり、時間領域での積分に他ならない。

RL微分回路と積分回路 RL微分回路 L R vL e(t) vR 電圧 e(t) が、時間幅 a, 高さ E0 の方形パルスであるときの、RL直列回路の応答を考える。電圧は、 と表されるから、 ラプラス変換は、表5.2(2)に変位定理を適用して、 である。 (a) このような入力に対して、出力としてコイル L の両端の電圧 vL(t) をとることにする。 回路方程式 をラプラス変換すると、 初期条件 i(0) = 0 と置いて、 ただし、

RL微分回路と積分回路 従って、ラプラス逆変換を求めると、 となる。

RL微分回路と積分回路 従って、コイル L の両端の電圧 vL(t) は、 となり、これを図示すると以下の波形となる。 この波形は、前回出てきたRC微分回路の vR(t) と同じ形をしているため、τ << a の場合、微分回路になる。 この回路の伝達関数 HL(s) は、 従って、s → jω と置いて、

RL微分回路と積分回路 従って、高域通過形回路であることが分かり、振幅特性 |VL/E| および位相角 (π/2 ‒ θ) の周波数特性の概略を下図に示す。 RL積分回路 一方、出力として抵抗 R の両端の電圧 vR(t) をとると、 となり、これを図示すると右のような波形となる。 上式は、RC積分回路の vC(t) と一致するから、 τ >> a の場合、積分回路になる。

RL微分回路と積分回路 伝達関数 HR(s) は、 従って、s → jω と置いて、 となる。振幅特性 |VR/E| および位相特性 θ を右図に示す。低域通過形回路であることが分かる。

一次系回路のまとめ R L vi vo C R vi vo L R vi vo R C vi vo τ << パルスの時間幅の時、微分回路 τ >>パルスの時間幅の時、積分回路 高域通過回路 (High-Pass Filter) 低域通過回路 (Low-Pass Filter)

一次系回路のまとめ L ii io R ii io R C ii io R L ii io R C τ << パルスの時間幅の時、微分回路 τ >>パルスの時間幅の時、積分回路 高域通過回路 (High-Pass Filter) 低域通過回路 (Low-Pass Filter)

二次系の伝達関数 二次系の伝達関数 RLC直列回路などでは、その伝達関数 H(s) が、 ζ, ω0 は共に実定数である。そのような系を総称して二次系と呼んでいる。ω0 は共振角周波数(natural frequency)、 ζ は減衰率(damping factor)と呼ばれている。また、分子の係数 ω02 は、H(0) = 1 となるよう規格化したものである。 二次系を単位ステップで励振したときの応答 v0(t) (ステップ応答)は、全ての初期条件を 0 と仮定して、t > 0 について、 と得られる。

二次系の伝達関数 v0(t) の時間変化 ‒40dB/dec |H(jω)| の振幅特性

−3dB 20dB/dec |vo / vi| (dB) Arg(vo / vi) (deg) Frequency (Hz) −10 − 40 −10 − 60 − 20 − 50 −3dB − 30 Frequency (Hz) |vo / vi| (dB) 15 30 45 60 75 90 20dB/dec decade

−3dB |vo / vi| (dB) ‒20dB/dec Arg(vo / vi) (deg) Frequency (Hz) −10 − 40 −10 − 60 − 20 − 50 −3dB − 30 Frequency (Hz) |vo / vi| (dB) − 15 − 45 − 75 − 90 ‒20dB/dec decade

−3dB 20dB/dec |io / ii| (dB) Arg(io / ii) (deg) Frequency (Hz) −10 − 40 −10 − 60 − 20 − 50 −3dB − 30 Frequency (Hz) |io / ii| (dB) 20dB/dec decade 15 30 45 60 75 90

−3dB ‒20dB/dec |io / ii| (dB) Arg(io / ii) (deg) Frequency (Hz) −10 − 40 −10 − 60 − 20 − 50 −3dB − 30 Frequency (Hz) |io / ii| (dB) − 15 − 45 − 75 − 90 ‒20dB/dec decade