Deformation, Diffeomorphism and Nonanticommutative Superspace KEK Theory Workshop 2006, KEK 13-16 March Satoshi Watamura Tohoku University 15 March 2006

なぜ，このような問題を考えるに至ったか． （論文の宣伝もかねて） Introduction なぜ，このような問題を考えるに至ったか． （論文の宣伝もかねて） 問題と結果 1. Generarize ADHM condition to superspace　SADHM構成 2. Obtain the solutions without redundant field by superfield formalism. W-Z gauge.[ T.Takashima, T. Araki, S.W. hep-th/0506112] 3. Deform above constructions and formulate the deformed SADHM construction. [T.Takashima,T.Araki,S.W. hepth/0510088] 手法 Use p-forms on Superspace. Deform the differential algebra of the forms. ASD 条件の見通しがよくなる． 15 March 2006

Deformed superspace star product Commutator in chiral basis Chirality is respected Chiral superfield: 15 March 2006

In the chiral coordinate, the algebra of the super charge is 15 March 2006

Differential calculus on Superspace Coordinate: p-form: product: Derivative: Graded Leipnitz rule and 15 March 2006

Covariant basis of differential covariant basis of forms: Let connection 1-form of vector bundle: Curvature: さらに と続くが，今日の議論では必要ない 15 March 2006

Differential calculus must be consistent with component result from string theory 15 March 2006

Differential Algebra on Non(anti)commutative superspace The correct differential algebra consistent with string: はLie derivative.　 15 March 2006 [ATW2　hepth/0510088]

Consistency of Diff. Alg. Associative: since star product is. Leibniz rule: since since 　is constant Nilpotency: since d is not deformed 15 March 2006

we get standard differential calculus. まとめ The new Moyal product The product is defined by the transformation，or equivalently, Lie derivative Usual bosonic Moyal product can be also interpreted by the translation. we get standard differential calculus. 15 March 2006

この方法は，Diffeomorphismの問題に関するWessたちのProposalと関係がつく． Problem: Diffeomorphism in Noncommutative space (and superspace)とは？ Algebra Automorphism として定義 Formal, 物理的座標変換との関係は？ 計量テンソルなどとは関係なく定義できてしまう 最終的には正しいがもう少し具体的な定義が欲しい 15 March 2006

非可換空間の定義として Deformation Quantization Non(anti)commutative Deformation of (super)space Algebra of (super)fields, Moyal type star product It can genarate some interesting examples of noncommutative space Deformed Diffeomorphism? Proposal based on the twisted Hopf algebra Ref: Aschieri et al. hep-th/0510059 15 March 2006

Twisted Hopf Algebra Hopf 代数の積・余積などを変形したもの （Hopf 代数ではある） Hopf 代数 ： １．群上の関数の作る代数 ２．Lie環の普遍包絡環 ３．すべての量子群または量子普遍包絡環 例えば　 はリー環　　　から得られる： 彼らのプロポーザル：まずDiffeoをホップ代数として捉える 15 March 2006

リー環は，交換子の定義された代数： リー環とホップ代数 通常ある種の対称性の無限小変換の生成元なので，変換される場を考えることができる． すると，変換の積を定義することができるので代数ができる このようにしていわゆる普遍包絡環を得る． 15 March 2006

となる．これは単に無限小変換のライプニッツ則を書いただけだがこれを次のように書く 場の積に関する変換は となる．これは単に無限小変換のライプニッツ則を書いただけだがこれを次のように書く となる．ただし，ここで　 は余積（coproduct）と呼ばれる．変換の性質から また逆元があることからantipode を さらに，単位元に対応してcounit を 15 March 2006

coproduct や antipodeはある種の関係を満たす. 例えば をホップ代数という． coproduct や antipodeはある種の関係を満たす. 例えば ここまで，一般論をしてきたが，ここでリー環としてベクトル場の作るリー環 の包絡環　　　　　　を考えると無限小座標変換の作るホップ代数が得られる．これを非可換幾何学におけるDiffeoの代数的定義とする． 15 March 2006

Deformation Quantization と Drinfeld Twist ホップ代数のTwistとは 　　　　　　　　　　　　　　　　を使って新しいcoproduct を定義する． 結果として　　　　　　　　　　　　　　　　　　　がホップ代数になる．　 ただし，　　は次のcocycle 条件を満たす． このとき，ホップ代数の作用がtwistされたライプニッツ則に従うことを要請することによって，変形量子化が定義できる． 15 March 2006

module algebraであることの要請 これを満たす積は 通常のMoyal積による量子化では 一般には， このようにして，あるホップ代数のmodule algebra 　　　　の変形量子化を，twist されたホップ代数のmodule algebra 　　　　として特徴付けることができる． 15 March 2006

Diffeomorphism　Diff＊ は，　　　　　自身にadjoint actionで作用できる．よって　module algebra 　　　　と思える． そこで，twist したホップ代数 　　　　　　　のmodule algebraを定義する： このとき，　　　　　　はホップ代数になることがわかり， 　　がそのmodule になる．特に，このホップ代数は 生成元 について これは，ライプニッツ則が通常の微分の変形のように見えることをあらわしている． そこで，ホップ代数　　　　　　　　　　　　　　　　　を　　　　　　　　　と考える 15 March 2006

が定まれば，一般のテンソルはその作用に関してCovariant module algebra になる． 交換関係は ただし　　　　　　　　　　　　　　　　 はR-matrix で 同様に　p-formの積も triangular これは，SADHMの構成の時に現れた定義そのものである． 15 March 2006

Discussion stringとconsistentになるような Deformed SADHMの構成の時に定義した微分代数は，twisted Hopf algebra をDiff*とし，共変性を要請したものである． 一般に，非可換の微分代数をDiff*に対する共変性から決定できる． Diff*の定義はどこまで一般性があるのか？ Riemann曲率　　　　　　やtorsion などが定義できるが，微分代数が定義されていないので 　　 が定義されていない． 15 March 2006