大学院物理システム工学専攻2004年度 固体材料物性第7回 －光と磁気の現象論(2)－ 大学院物理システム工学専攻2004年度 固体材料物性第7回 －光と磁気の現象論(2)－ 佐藤勝昭 ナノ未来科学研究拠点

復習コーナー 第６回に学んだこと 光と磁気の現象論（１） 円偏光と磁気光学効果 光と物質の結びつき 誘電率テンソル

質問コーナー(1) 誘電率テンソルの対角とは何ですか（M） 異方性がある場合の誘電率テンソルはどのように考えればよいのでしょう(H) A:添え字がxx, yy, zzのように対角線上に来るものを対角成分、xy, yz, zxのように対角線上にないものを非対角成分といいます。 異方性がある場合の誘電率テンソルはどのように考えればよいのでしょう(H) A: １軸異方性があり、対称軸に平行な磁化がある場合は、等方性の場合と同じですが、任意の方向を向いているときは、全ての非対角成分が有限の値をとります。

質問コーナー(2) 偏光の本をちらっと見た程度なのですが、偏光をジョーンズベクトルと？ベクトルの２種類で表すことができると書いてあったような気がするのですが。（O） A:ジョーンズベクトルとストークスベクトルでしょう。光学の世界では、これらの標記がよく使われます。いくつもの光学素子の組み合わせのとき、素子に対応するジョーンズ行列、ストークス行列の積で表されるので形式的にきれいだし便利です。でも、意味がわからなくなるといけないのでここでは、その表記法は用いません。

質問コーナー（３） 誘電率テンソルの量をどのように測定するのですか。（M） A:　対角成分は普通のオプティクスで、n、κを求め、εxx’=n2-κ2, εxx”=2nκによって求めます。非対角成分については、回転角θ、楕円率ηと光学定数n,κとを用いて計算で求めます。 これについては、あとで触れます。光と磁気改訂版p58 問題3.12

質問コーナー(4) 電子分極の周波数領域では比透磁率は１とできるとのことでしたが、ワニエ励起子生成の場合はどの領域ですか（I） A:　非磁性半導体の励起子を考えている限り、比透磁率は１として扱うことができます。磁性半導体でも、バンドギャップ領域では、強磁性共鳴の周波数（GHz領域）より十分周波数が高いので比透磁率は１です。

第７回に学ぶこと 光の伝搬とマクスウェルの方程式 ファラデー配置の場合の固有値と固有状態 フォークト配置の場合の固有値と固有状態 固有解：波動解、固有値：複素屈折率 ファラデー配置の場合の固有値と固有状態 ２つの固有値と対応する固有状態（円偏光） フォークト配置の場合の固有値と固有状態 磁気誘起の複屈折 ファラデー効果の現象論 ファラデー効果と誘電率テンソル

マクスウェルの方程式 光の電界ベクトルをE 、電束密度ベクトルをD 、磁界ベクトルをH、磁束密度ベクトルをB、電流をJとすると、次の関係が成立する。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3.17) （SI単位系）

マクスウェル方程式をEとHで表す 簡単のため， J=0と置く。[伝導電流を分極電流（変位電流）の中に繰り込む] BとH、DとEの関係式 　を代入して、式(3.17)は次のように書き変えられる。 　　　　　　　　　　　　　　　(3.18) 誘電率テンソル

平面波の解を仮定する 波数ベクトルKとして (3.19) 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　(3.19) ここにＥ0，Ｈ0は時間や距離に依存しない定数ベクトルである。この式を式(3.18)に代入すると、 となる。

固有方程式 両式からHを消去し、固有方程式として 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　(3.20) が得られる。問題3.1参照

問題３．１ 式(3.19)を式(3.18)に代入して式(3.20)を導け。ただし、ベクトル積の公式 を利用せよ。 問題３．１ 式(3.19)を式(3.18)に代入して式(3.20)を導け。ただし、ベクトル積の公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を利用せよ。 　　　　　　　　からHを消去することにより 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を得る ここで上の公式を利用して 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　が導かれるので 　　　　　が導かれた　　　　　　

を解く この式を解いてKの固有値と対応する電界ベクトルEの固有関数を求めよう。ここで複素屈折率N、すなわち、N=n+iを導入する。ここにnは屈折率、は消光係数である。媒質中において波数Kは　 　　　　　　　　　　　　　　　で表される[1]。 [1]波数Kは2π/λ’となる。ここに’は媒質中での波長で、媒質中での光速をc’とすると　　　と表される。媒質中での光速c’は屈折率をnとするとc/nで与えられるから、K=n/cである。ここで屈折率を拡張して複素屈折率N、すなわちn+iを導入すると、 となる。

波数ベクトルの向きに平行で長さがNであるような屈折率ベクトルNを用いると、(3.19)の第１式は （３．２１） となり、固有方程式(3.20)は （３．２２） によって記述できる。以下では、2.3に述べた２つの配置(ファラデー配置とフォークト配置)について固有値を求める。

ファラデー配置の場合(=0) 磁化がz軸方向にあるとして、z軸に平行に進む波(N //z)に対して式(3.21)は と表される。固有方程式(3.22)は と書ける。この方程式がE0の解をもつためには、上式においてEの係数の行列式が0でなければならない。こうして次の永年方程式を得る。(問題3.2参照)

永年方程式 （３．２５） これより、N2の固有値として２個の値 （３．２６） を得る。 これらの固有値に対応する固有関数は、 （３．２７） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３．２５） これより、N2の固有値として２個の値 （３．２６） を得る。　　これらの固有値に対応する固有関数は、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３．２７）　　　　　　　　　　　　　　 E+、E-は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応する。 　　　　　　　　　　　　　　

固有関数は円偏光

フォークト配置の場合 N2の固有値として および という２つの解を得る。 N1およびN2に対応する固有関数は (3.33) 　　　　　　　　　および という２つの解を得る。 N1およびN2に対応する固有関数は 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3.33) となり、複屈折を生じる。(コットンムートン効果)

3.3のまとめ 光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述すると，磁化された等方性物質の屈折率Nは で与えられる２つの固有値をとり，それぞれが右円偏光および左円偏光に対応する．（ここに，εxxは誘電テンソルの対角成分，εxyは非対角成分である．）もし，εxyが０であれば，円偏光は固有関数ではなく，磁気光学効果は生じない．

左右円偏光に対する光学定数の差と誘電率テンソルの成分の関係 磁化と平行に進む光の複素屈折率の固有値は式(3.26) 　　　　　　, 置き換え ここに その結果 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を得る

複素ファラデー回転角 ΔnとΔκをεxyを使って表す。 ΔNに書き直すと 複素ファラデー回転角 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→

磁気光学の式(続き) 磁気光学効果には対角・非対角両成分が寄与