振動体の振幅を目標値一定とする 振動発電機負荷のフィードバック制御 修士論文発表会 Feedback control of vibration generator’s load for constant oscillation amplitude in environment 長岡技術科学大学 大学院 工学研究科 機械創造工学専攻 No. 12106387 永井 和貴 指導教員 小林 泰秀 准教授 2018/02/13
エネルギーを有効利用するシステムの設計開発に貢献 研究背景 振動体の振動を抑制 … 機械的損傷/騒音の防止 制御工学の適用例：多 振動体の振動を利用 … エネルギー・ハーベスティング 制御工学の適用例：少 【本研究】 制振と発電の中間制御 制御工学を応用する立場で エネルギーを有効利用するシステムの設計開発に貢献 研究方針
負荷を動的に可変して所望の振動振幅に制御する研究はない 研究背景 振動制御の従来研究 受動制御 … ダンパの取り付け 能動制御 … 制御系の使用 【着目】 エネルギーの浪費・消費 振動発電機 … 機械的振動からエネルギーを回収 （圧電式・電磁式など） 振動体の制振 発電 ①と②の中間制御 所望の振動振幅に制御したい 需要） 熱音響発電機 [12][13] 関連研究） Studies of a collocated PZT beam vibration absorber and harvester [Shyh-Chin Huang et al.2015] 概要：発電機の負荷抵抗 （静的） が制振と発電に与える効果 負荷を動的に可変して所望の振動振幅に制御する研究はない
負荷のフィードバック制御系を提案 研究背景 研究目的 振動発電機を用いて 振動体の振幅を目標値一定に PI補償器の出力を 可変負荷抵抗の指令値とする
実験装置 装置構成・使用機器の概要 レーザー変位計からの 変位電圧 v1 を計測することで 振動体の振動を測定 発電機は電磁誘導により発電 w Disturbance Actuator Driver x0 k1 c1 発電機は電磁誘導により発電 PIO PIO Vibrator Generator Rs i PC 可変負荷抵抗器 R(t) は、8ビット （0～255） のディジタル信号で 約400 Ω～38 kΩの間を可変 m2 R(t) v2 A/D A/D x2 - k2 c2 v1 m1 PSD Circuit x1 Mirror Vibrator Brass, Weight: 340 g, Spring Constant: 0.39 N/mm Generator Star Micronics, EH12, Weight: 20 g, Size: 37×25×8 mm, Resonance: 5.39 Hz Laser PSD
負荷抵抗のマニュアル調整 抵抗値と振動振幅の関係 （静的） 所望の振動振幅が実現できると期待 負荷抵抗を動的に可変すれば PC w PIO m2 k2 m1 k1 c1 x0 x2 x1 Generator Disturbance Actuator PSD Laser i Mirror Vibrator PC PIO A/D Driver Circuit v2 R c2 w v1 - Voltage Amplitude [V] Resistance [Ω] 負荷抵抗を動的に可変すれば 所望の振動振幅が実現できると期待
負荷のフィードバック制御系 制御系の概要 ^ ^ e u ^ v1 の絶対値信号をローパスフィルタ （1次、カットオフ角周波数0.25 rad/s） に 通し、推定振幅 V1 を得る ^ Disturbance Actuator x0 k1 c1 u e u Vibrator Generator Rs i 推定振幅 V1 と目標振幅 V1* との 差分をPI補償器に入力 ^ PI cont. m2 R(t) v2 x2 − V1* - k2 c2 V1 ^ m1 π/2 指数関数に通し 正数に変換したものを 可変負荷抵抗 R(t) として利用 x1 Mirror Laser LPF PSD v1 | ・ |
負荷を動的に可変して所望の振動振幅に制御 実験結果 時間応答の例 （V1* = 1.0 V） Time [s] Resistance (signal) Voltage [V], Rs/10 v1 ＾ V1 安定 （KP = 2.0、KI = 1.0） Voltage [V] Time [s] 2.0 V Ex. 5.24 Hz 負荷を動的に可変して所望の振動振幅に制御
負荷のフィードバック制御を行うことが可能 実験結果 時間応答の例 （V1* = 1.0 V） Time [s] Resistance (signal) Voltage [V], Rs/10 v1 ＾ V1 安定 （KP = 2.0、KI = 1.0） 不安定 （KP = 1.0、KI = 7.0） Resistance (signal) Voltage [V], Time [s] PIゲイン （KP、KI） を適切に選ぶことで 負荷のフィードバック制御を行うことが可能
PIゲイン （KP - KI 平面） に関する安定条件 実験結果 PIゲイン （KP - KI 平面） に関する安定条件 Proportional gain KP Integral gain KI x0 k1 c1 m1 Vibrator x1 k2 c2 m2 Generator x2 正の傾きを持つ近似直線 KP = 0 における切片 KI > 0 の存在
安定性解析：2次振動系モデル 解析モデル eu F P 入力 x0 と出力 x1 を持つ2次の制御対象 P 制御入力 （可変減衰比） ζ1 ※ ζ1 の可変により、振動体の振幅を 目標値一定に制御する場合を考える P F eu PI cont. ｜・｜ ζ1(t) x1 x0 X1* Xf − u
安定性解析：2次振動系モデル 解析モデル eu F P PI補償器の状態空間表現 ローパスフィルタ F の状態空間表現 PI cont. ｜・｜ ζ1(t) x1 x0 X1* Xf − u
安定性解析：2次振動系モデル 解析モデル eu F P 制御対象 P の振幅の動特性 PI cont. 非線形システム ｜・｜ ここで、ζ1 << 1 を仮定すると … さらに、振幅の変化が緩やかであるとして 2階の導関数を無視すると P F eu PI cont. ｜・｜ ζ1(t) x1 x0 X1* Xf − u 状態変数の連成項を含む 非線形システム
安定性解析結果：2次振動系モデル 安定条件の導出 ^ ^ - 拡大系の状態変数 x(t)、平衡点 x - 平衡点 x = x 回りで線形化した微分方程式 - ^ を1次近似した係数行列
安定性解析結果：2次振動系モデル 安定条件の導出 ^ 定理1 安定条件は ^ - 拡大系の状態変数 x(t)、平衡点 x - KP と KI の他のパラメータにも依存 右上がりの直線関係 切片の存在 安定条件は 上式が成り立てば閉ループ系は安定 すなわち x → x ^ - 定理1
安定性解析：4次振動系モデル 解析モデル eu F P 制御対象 P の複素振幅の動特性 PI cont. ｜・｜ ※ 2次振動系モデルのように 位相差を一定と仮定できない … 位相差を含めた振幅の変化を議論するため 複素振幅を用いて P F eu PI cont. ｜・｜ ζ2(t) x1 x0 X1* Xf − u
安定性解析：4次振動系モデル 解析モデル ~ |X1| eu F P x1 制御対象 P の複素振幅の動特性 PI cont. ｜・｜ ここで、状態変数を改めて … 制御対象 P の複素振幅の動特性 Time [s] Displacement x1 |X1| ~ P F eu PI cont. ｜・｜ ζ2(t) x1 x0 X1* Xf − u
安定性解析：4次振動系モデル 解析モデル eu F P 制御対象 P の複素振幅の動特性 PI cont. ｜・｜ ※ 以上の理論式を用いて 固有値解析を行う P F eu PI cont. ｜・｜ ζ2(t) x1 x0 X1* Xf − u
＾ 数値シミュレーション/実験との比較 安定条件の確認 Case (a) ζ2 x1 X1 Case (b) Time [s] KP KI Stability condition (a) 1.0 2.0 o (stable) (b) 12.0 x (unstable) 安定条件の確認 Case (a) ζ2 x1 ＾ X1 Time [s] Displacement, Damping ratio Case (b) Time [s] Displacement, Damping ratio
安定条件が数値シミュレーションと定量的に一致 KP - KI 平面において安定条件が実験と整合 数値シミュレーション/実験との比較 安定条件の確認 数値シミュレーション Integral gain KI Proportional gain KP 理論に基づく安定条件 Integral gain KI Proportional gain KP 安定条件が数値シミュレーションと定量的に一致 KP - KI 平面において安定条件が実験と整合
まとめ 結論 今後の課題 振動体の振幅を目標値一定とする 負荷のフィードバック制御系を提案 PIゲインなどを適切に選べば 閉ループ系が安定となることを実験的に提示 2次および4次振動系モデルに基づいて 理論的に与えた制御系の安定条件が 数値シミュレーション/実験に整合することを提示 今後の課題 4次振動系モデルの安定条件をシンボリックに導出
Appendix （付録）
実験装置の外観写真 Disturbance Actuator Vibrator Generator Laser Mirror R(t) PSD Generator Mirror R(t)
実験結果 （持続振動） 時間応答の例 （V1* = 1.0 V） 閉ループ系が不安定となるとき、推定振幅は時間が経過しても 目標値回りで持続振動する Time [s] Resistance (signal) Voltage [V], 時間応答の例 （V1* = 1.0 V） Time [s] Resistance (signal) Voltage [V], KP = 1.0、KI = 7.0 Time [s] Resistance (signal) Voltage [V],
実験結果 （持続振動） 時間応答の例 （V1* = 1.0 V） 閉ループ系が不安定となるとき、推定振幅は時間が経過しても 目標値回りで持続振動する Time [s] Resistance (signal) Voltage [V], 時間応答の例 （V1* = 1.0 V） Time [s] KP = 1.0、KI = 7.0 Voltage [V] Time [s] Resistance (signal) Voltage [V],
＾ 実験結果 （目標値を変更） Rs/10 V1 v1 時間応答の例 （V1* = 0.5 V） 可変負荷抵抗値の範囲内であれば、他の目標値の場合にも 同様の結果を得ることができる 時間応答の例 （V1* = 0.5 V） Time [s] Resistance (signal) Voltage [V], Rs/10 ＾ V1 v1 KP = 2.0、KI = 0.5 Time [s] Voltage [V] 1.0 V
抵抗値と減衰係数の対応関係 短絡時は、電気的な減衰が発電機内部のマスに発生する： この結果、振動体の振動エネルギーは吸収されず、振動振幅は大きくなる 開放時は、電気的な減衰はなく、振動体の振動エネルギーが 発電機内部のマスに吸収されることより、振動振幅は小さくなる m1 k1 c1 x1 x2 k2 x0 m2 i R v2 c2 - m1 k1 c1 x1 x2 k2 c2 x0 m2 抵抗値 R 減衰係数 c2 振動振幅 X1 0 （短絡時） ∞ 大 ∞ （開放時） 小
抵抗値と減衰係数の対応関係 短絡時は、電気的な減衰が発電機内部のマスに発生する： この結果、振動体の振動エネルギーは吸収されず、振動振幅は大きくなる 開放時は、電気的な減衰はなく、振動体の振動エネルギーが 発電機内部のマスに吸収されることより、振動振幅は小さくなる m1 k1 c1 x1 x2 k2 x0 m2 i R v2 m1 k1 c1 x1 x2 k2 c2 x0 m2 抵抗値 R 減衰係数 c2 振動振幅 X1 0 （短絡時） ∞ 大 ∞ （開放時） 小
安定性解析 （2次振動系モデル） 位相差の確認 数値シミュレーションにて、x0 に対する x1 の位相差の確認を行う Time [s] Displacement
安定性解析 （2次振動系モデル） eu F P ローパスフィルタ F の状態空間表現 PI cont. 簡単のため、制御対象が発電機のない2次振動系モデルとして 制御系の安定性を議論する 安定性解析では、ダンパの係数を可変とする場合を取り扱う ローパスフィルタ F の状態空間表現 P F eu PI cont. ｜・｜ ζ1(t) x1 x0 X1* Xf − u
安定性解析 （2次振動系モデル） eu F P ローパスフィルタ F の状態空間表現 PI cont. 簡単のため、制御対象が発電機のない2次振動系モデルとして 制御系の安定性を議論する 安定性解析では、ダンパの係数を可変とする場合を取り扱う ローパスフィルタ F の状態空間表現 P F eu PI cont. ｜・｜ ζ1(t) x1 x0 X1* Xf − u
固有値行列の導出 （2次振動系モデル） ^ - 平衡点 x = x 回りで線形化した微分方程式 2次振動系モデルに対して、固有値行列が三変数関数を平衡点回りで 1次近似した場合の係数行列であることに注意する 平衡点 x = x 回りで線形化した微分方程式 - ^
固有値行列の導出 （2次振動系モデル） ^ - 平衡点 x = x 回りで線形化した微分方程式 2次振動系モデルに対して、固有値行列が三変数関数を平衡点回りで 1次近似した場合の係数行列であることに注意する 平衡点 x = x 回りで線形化した微分方程式 - ^
数値シミュレーション結果 得られた制御系の安定条件が定量的に一致 MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 2次振動系モデルに対して、得られた制御系の安定条件の妥当性を示すため いくつかの場合に対して数値シミュレーションを行う MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 制御開始 t = 50 s～ （制御開始前の減衰比 ζ1 = 0.02 固定） 得られた制御系の安定条件が定量的に一致
数値シミュレーション結果 得られた制御系の安定条件が定量的に一致 MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 2次振動系モデルに対して、得られた制御系の安定条件の妥当性を示すため いくつかの場合に対して数値シミュレーションを行う MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 制御開始 t = 50 s～ （制御開始前の減衰比 ζ1 = 0.02 固定） 得られた制御系の安定条件が定量的に一致
数値シミュレーション結果 得られた制御系の安定条件が定量的に一致 MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 2次振動系モデルに対して、得られた制御系の安定条件の妥当性を示すため いくつかの場合に対して数値シミュレーションを行う MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 制御開始 t = 50 s～ （制御開始前の減衰比 ζ1 = 0.02 固定） 得られた制御系の安定条件が定量的に一致
数値シミュレーション結果 得られた制御系の安定条件が定量的に一致 MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 2次振動系モデルに対して、得られた制御系の安定条件の妥当性を示すため いくつかの場合に対して数値シミュレーションを行う MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 制御開始 t = 50 s～ （制御開始前の減衰比 ζ1 = 0.02 固定） 得られた制御系の安定条件が定量的に一致
数値シミュレーション結果 得られた制御系の安定条件が定量的に一致 MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 2次振動系モデルに対して、得られた制御系の安定条件の妥当性を示すため いくつかの場合に対して数値シミュレーションを行う MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 制御開始 t = 50 s～ （制御開始前の減衰比 ζ1 = 0.02 固定） 得られた制御系の安定条件が定量的に一致
数値シミュレーション結果 得られた制御系の安定条件が定量的に一致 MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 2次振動系モデルに対して、得られた制御系の安定条件の妥当性を示すため いくつかの場合に対して数値シミュレーションを行う MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 制御開始 t = 50 s～ （制御開始前の減衰比 ζ1 = 0.02 固定） 得られた制御系の安定条件が定量的に一致
数値シミュレーション結果 得られた制御系の安定条件が定量的に一致 MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 2次振動系モデルに対して、得られた制御系の安定条件の妥当性を示すため いくつかの場合に対して数値シミュレーションを行う MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 制御開始 t = 50 s～ （制御開始前の減衰比 ζ1 = 0.02 固定） 得られた制御系の安定条件が定量的に一致
数値シミュレーション結果 得られた制御系の安定条件が定量的に一致 MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 2次振動系モデルに対して、得られた制御系の安定条件の妥当性を示すため いくつかの場合に対して数値シミュレーションを行う MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 制御開始 t = 50 s～ （制御開始前の減衰比 ζ1 = 0.02 固定） 得られた制御系の安定条件が定量的に一致
数値シミュレーション結果 得られた制御系の安定条件が定量的に一致 MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 2次振動系モデルに対して、得られた制御系の安定条件の妥当性を示すため いくつかの場合に対して数値シミュレーションを行う MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 制御開始 t = 50 s～ （制御開始前の減衰比 ζ1 = 0.02 固定） 得られた制御系の安定条件が定量的に一致
数値シミュレーション結果 得られた制御系の安定条件が定量的に一致 MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 2次振動系モデルに対して、得られた制御系の安定条件の妥当性を示すため いくつかの場合に対して数値シミュレーションを行う MATLAB/Simulink 絶対値関数ブロックを使用 制御開始 t = 50 s～ （制御開始前の減衰比 ζ1 = 0.02 固定） 得られた制御系の安定条件が定量的に一致
安定性解析 （4次振動系モデル） 位相差の確認 数値シミュレーションにて、x0 に対する x1、x2 の位相差の確認を行う Time [s] Displacement
安定性解析 （4次振動系モデル） 複素振幅に関する1階の微分方程式 制御対象が振動体と発電機からなる4次振動系モデルとして 制御系の安定性を議論する 安定性解析では、ダンパの係数を可変とする場合を取り扱う 複素振幅に関する1階の微分方程式 補足） α = 0、ζ2 = 0 とすると ※ 2次振動系モデルの 位相差を一定と仮定した式に対応 ζ1 << 1 ⇒
安定性解析 （4次振動系モデル） |X1| ~ |X2| ~ x1 x2 時間応答の例 （X1* = 1.0） 複素振幅に関する1階の微分方程式に対して、数値シミュレーションを行う 絶対値の変化は元の微分方程式の変位を十分な精度で近似する 時間応答の例 （X1* = 1.0） |X1| ~ |X2| ~ Displacement Displacement x1 x2 Time [s] Time [s]
固有値行列の導出 （4次振動系モデル） ^ - 平衡点 x = x 回りで線形化した微分方程式 4次振動系モデルに対して、固有値行列が六変数関数を平衡点回りで 1次近似した場合の係数行列であることに注意する 平衡点 x = x 回りで線形化した微分方程式 - ^
固有値行列の導出 （4次振動系モデル） ^ - 平衡点 x = x 回りで線形化した微分方程式 4次振動系モデルに対して、固有値行列が六変数関数を平衡点回りで 1次近似した場合の係数行列であることに注意する 平衡点 x = x 回りで線形化した微分方程式 - ^
固有値行列の導出 （4次振動系モデル） ^ - 平衡点 x = x 回りで線形化した微分方程式 4次振動系モデルに対して、固有値行列が六変数関数を平衡点回りで 1次近似した場合の係数行列であることに注意する 平衡点 x = x 回りで線形化した微分方程式 - ^
固有値解析の結果 （4次振動系モデル） Case (a) Case (b) 固有値の実部が全て負ならば、リアプノフの線形化法に基づいて 平衡点は元の非線形システムにおいて漸近安定となる Case (a) Case (b)
安定性解析：4次振動系モデル 解析モデル eu F P 入力 x0 と出力 x1 を持つ4次の制御対象 P 制御入力 （可変減衰比） ζ2 PI cont. ｜・｜ ζ2(t) x1 x0 X1* Xf − u
安定性解析：4次振動系モデル 解析モデル eu F P PI補償器の状態空間表現 ローパスフィルタ F の状態空間表現 PI cont. ｜・｜ ζ2(t) x1 x0 X1* Xf − u