相対論的すれ違い効果 山本文隆　 長崎県立島原高等学校 Ｈ３０　日本物理教育学会　香川大会　８・１２

Ｆｍ≒ーωβＦｅ 磁気力 電流（電荷）速度×電気力 これまでの相対論が示す結論 磁気力は、見る立場を変えれば電気力になる。 相対論で扱われる磁気と電気の関係 準備 　　Ｆｍ≒ーωβＦｅ 　　　　　磁気力　　　　電流（電荷）速度×電気力 　　これまでの相対論が示す結論 　　磁気力は、見る立場を変えれば電気力になる。

相対論で使う変換係数の基本関係 α＝√１－β２ γ＝１／α α２ + β２ ＝ １ １ + γ２β２ ＝ γ２ 　相対論で使う変換係数の基本関係 　　　α＝√１－β２　　　　　　　　γ＝１／α 　　α２　+　β２　＝　１ 　　　　１　+　γ２β２　＝　γ２ 　　　　（ｃｏｓ2θ＋ｓｉｎ2θ＝１）　　　（１+ｔａｎ2θ=１/ｃｏｓ2θ） 　　　　　　　α2　＝　１ ーβ2 　　　　　　　１　＝　γ2 （１－β2）

相対論で使う変換係数の近似式 β＝０ → α＝γ＝１ γー１＝０＝１－α β→０ （１≫β） γ≒１ α≒１ γー１≒β２／２≒１－α β＝０　→　 α＝γ＝１　　　γー１＝０＝１－α β→０　（１≫β）　　　　γ≒１　　　 α≒１　 　　　　　　　　　　　　　　　γー１≒β２／２≒１－α 　例　Ｖ＝Ｃβ　として　ｍＣ２（γー１） ≒ ｍＶ２／２ 　　（γωー１）（γβー１）≒ ω２β２／４　≪　ωβ

新しい力の概念

撃力型電気力線（力線）　 　　　　　　　　　　　　　　　個々の関係 キャッチの瞬間の力線密度→　横方向　γ倍

電気力線の曖昧さと力線空間 　横方向電気力線密度γ倍増 進行方向→ 　　　 力線　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 電気力線

力の新しい考え方 これまでの電気力線→ 静的な力、普遍的、連続的 力線空間（力のキャッチボール）としての電気力線 → 打撃力の繰り返し。 これまでの電気力線→　静的な力、普遍的、連続的 力線空間（力のキャッチボール）としての電気力線 　　→　　打撃力の繰り返し。 　　　　１．一回の撃力の大きさ　　　　　　　　　個・群 　　　　　　　力線密度（相手側） 　 　　　　２．キャッチ周期（時間間隔）　　　　　　 個・群 　　　　３．撃力の数（キャッチ数・相手側）　　 個・群 　　　　４．撃される側の電荷密度（自己内部）　　 群

単独電荷同士

横方向の個々の力（密度×キャッチ数） 密度×キャッチ数 ＝繰り返しの撃力 Ｓ系同士 １×１＝１ ＳＳ’系 １×１＝１ Ｓ系同士　 １×１＝１ ＳＳ’系　　 １×１＝１ (すれ違い) γ×α＝１ Ｓ’系同士 γ×α＝１ 横方向の個々の力は 運動状態に関係なく一定

群としての 電荷同士

群としての電荷同士の関係 力のやりとりの２点（３点） 自電荷群の一つが相手電荷群から単位時間あたりキャッチボールされる回数（電場側対応）。 　　　　　　キャッチ数 自電荷群の空間密度（電荷側対応） 　　　　　　電荷密度 （相手電荷群の密度 　力線密度 　（電場対応、電場発生源））

時　空　面　積

速度ωの世界線と速度βの時間帯 γ β （１－ωβ） ・・2-3 ωの電荷がβの電荷群から受けるキャッチ周期の光速倍 ｃT を求める 　ｃＴ＝αβｃＴ０＋ωβｃＴ （ｃT０はともに静止時）より キャッチ周期　T 　　　　　　　αβ 　　 Ｔ＝─────Ｔ０ ・・2-1 　 １－ωβ キャッチ数（振動数相当） 　　　１ ｆ＝ ── ＝γ β （１－ωβ）／Ｔ０ 　　　T キャッチ数（変化部のみ） γ β （１－ωβ） ・・2-3

自電荷群の空間密度（電荷側対応） 電荷密度 自電荷群の空間密度（電荷側対応） 　　　　　　電荷密度 自電荷群（この場合、速度ω側）は運動により 電荷間隔が　αω　倍に縮小すると考えられる。 従って　電荷密度　は　γω　倍に増加する

撃力は一定なので総合力を時空密度と呼んでもいい 時空面積　と　時空密度 　時空面積（Ｓ） 時空面積（Ｓ）＝電荷間隔×キャッチ周期 （Ｓ　＝　Ｌ　ｃＴ　）・2-4 　　　　　　　　　　　　　　　αβ 　　　　　　　 αω αβ 　　　　　 　 　　　　＝αωL０・──────ｃＴ０ ＝ ────── S０ 　　　　　　　　　　 １－ωβ　　 　　 １－ωβ 時空密度（＝Ｓ０／Ｓ） ※ 時空密度＝電荷密度×キャッチ数×Ｓ０・・・2-5　　 総合力＝時空密度×撃力、 撃力は一定なので総合力を時空密度と呼んでもいい 　　時空密度　ρ＝γωγβ(１－ωβ） 2-6

時空密度は電荷側電場側 入れ替えても変化なし 時空密度は、静止時の時空面積（S０)と運動時の時空面積（S）の比　　時空密度＝S０／S　 時空面積が変化すればその逆比で 時空密度が変化する 　　　　　　　　　　　　　電荷密度×キャッチ数 A電荷側　B電場側　　γω　×　γβ（１－ωβ） B電荷側　A電場側　　γβ　×　γω（１－ωβ）

γν＝１／√１－ν２ ＝ γωγβ（１－ωβ） 相対論的速度合成式 ν＝(ω-β)/(１-ωβ) 変換係数の関係 γω＝１／√１－ω２ γβ＝１／√１－β２ γν＝１／√１－ν２ ＝１／√１ー(ω-β)２/(１-ωβ)２ ＝ (１-ωβ)/√(１-ωβ)２- (ω-β)２ ＝ (１-ωβ)/√１-ω２ /√ 1-β２ ＝ γωγβ（１－ωβ）

すれ違う荷電粒子電気力の一般解 （ 時 空 密 度 ） すれ違う荷電粒子電気力の一般解 　　　　　　（　時　空　密　度　） γ（β）γ（ω）（１－ωβ）＝γ（ν） （１）ω＝β　の場合　並進運動　 　　　　γ２（１－β２）＝１ （２）β＝０　の場合　　　　　　一方運動 　　　　　γ（ω）　　　　　　　　　すれ違い （３）ω＝０　の場合　　　　　　一方運動 　　　　　γ（β）　　　　　　　　　すれ違い

正負電荷群の総合力

＋　電荷同士　 共に静止　　電気力　＋ １ 　(基準系） ＋　電荷と　β速度　ー　電荷　 　　　　　　　　　すれ違い　　電気力　ーγ（β）(基準系） ＋　電荷と　ω速度　ー　電荷　 　　　　　 すれ違い　 電気力 ーγ（ω）(基準系） β速度　ー　電荷と　ω速度　ー　電荷　 　　　　　　　　　すれ違い　 電気力 ＋ γβγω（１-ωβ） 　　　　　　(基準系　γνはβ運動系、またはω運動系） 並行電流のローレンツ力 　　γ（β）γ（ω）（１-ωβ） ーγ（β） ーγ（ω）＋１ 　＝ （γ（ω）ー１）（γ（β）－１）－γ（ω）γ（β）ωβ≒ーωβ

近似計算 γ（β）γ（ω）（１-ωβ） ーγ（β） ーγ（ω）＋１ β２ ω２ ≒ １ ＋ ーー ＋ ーー ー ωβ ２ ２ β２ ω２ 　　　　　 　 β２　　　　 ω２　　 ≒ １ ＋　ーー　＋　ーー　ー　ωβ 　　　　 　　 ２　　　　　 ２ β２　　　　 ω２　 　 －１　ー　ーー　－１　ー　ーー　＋ １ 　　　　　　 ２　　　　　 ２ 　　＝－ωβ　

結論： ローレンツ力は 荷電粒子群のすれちがいから 　　結論：　　ローレンツ力は 　　　荷電粒子群のすれちがいから ＋電荷同士　 共に静止　　電気力　＋ １ 　(基準系） ＋電荷とβ速度ー電荷　 　　　　　　　　 すれ違い　　電気力　ーγ（β）(基準系） ＋電荷とω速度ー電荷　 　　　　　 すれ違い　 電気力 ーγ（ω）(基準系） β速度ー電荷とω速度ー電荷　 　　　　　 すれ違い　 電気力 ＋γ（ν） 　　　　　　　　　　　　　　　(β運動系、またはω運動系） 並行電流のローレンツ力　 　　　　　γ（ν） ーγ（β） ーγ（ω）＋１≒ーωβ

直線並行電流における 相対論的すれ違い効果

クーロン力のみから導かれる 並行電流のローレンツ力 クーロン力のみから導かれる 　　　　　　　　　　　　並行電流のローレンツ力

微小長さｄｌAｄｌB間に働くクーロン力 d2F＝ωβＦクーロンｓｉｎθ （R方向のみ） ｋｑＡｑＢ 　　　　　　　　　ｋｑＡｑＢ 　　　　　　 ＝ ωβーーーーｓｉｎθ （ｋはクーロン定数） 　　　　　　　　　　　　　　　　ｒ２ 　　　　　　　　　　ｋρＡｄｌＡρＢｄｌＢｓｉｎ３θ 　　 　＝ ωβーーーーーーーーーー 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ２ 　

微小長さｄｌAとｌB間に働くクーロン力 dF ＝ ∫ ｄ２F ＝ ωβ ∫Ｆクーロンｓｉｎθ ＝ (ωβρＡρＢｌＢｓｉｎ３θ／Ｒ２)　dｌＡ　　　　 ∫ dｌＢ＝ｌＢ

Ｆ＝∫dF ＝∫ (ωβρＡρＢｌＢｓｉｎ３θ／Ｒ２) dｌＡ π ＝ （ωβρＡρＢｌＢ／Ｒ） ∫ ｓｉｎθ dθ ０ 　ｄｌｓｉｎθ＝ｒ ｄθ Ｒ＝ｒｓｉｎθ　より Ｒ ｄｌＡ＝－－－ｄθ 　ｓｉｎ２θ Ｆ＝∫dF ＝∫ (ωβρＡρＢｌＢｓｉｎ３θ／Ｒ２)　dｌＡ 　　　　　　　　　　　　　　　　π 　　　　　　＝ （ωβρＡρＢｌＢ／Ｒ） ∫　ｓｉｎθ dθ 　　　　　　　　　　　　　　　　０ 　　　　　　　　　＝ ２ωβρＡρＢｌＢ／Ｒ

相対論的すれ違い効果により 並行電流に垂直に働くクーロン力 　　相対論的すれ違い効果により 　　並行電流に垂直に働くクーロン力 　　　　　　 ２ｋ ρＡβ ρＢω ｌＢ 　　Ｆ ＝ ーーーーーーー 　　　　　　　　　　Ｒ 　 　 ( ρＡβ=ＩＡ／Ｃ, ρＡβ=ＩＡ／Ｃ ) 　　　　　　 ２ｋ ＩＡ ＩＢ ｌＢ 　 　＝ーーーーーーーー 　　　　　　　　　Ｃ２Ｒ 　ここまでに、磁気力の要素はなにも含まれない。　　 　　しかし・・

並行電流に垂直に働くクーロン力を 磁気力の言葉に変えると 　　ｋ／C2= μ０／4π （＝１０－７　　μ０は透磁率） 　　　　　ＨＡ＝ＩＡ ／２πＲ、　ＢＡ＝ μ０ ＩＡ ／２πＲ　 　直線電流の作る（磁場）　　　（磁束密度）　　　より 　 Ｆ　＝　２ ｋ ＩＡ ＩＢ ｌＢ／Ｃ２Ｒ 　　 　 ＩＡ 　　　　 　　＝ μ０ーーー　ＩＢ ｌＢ ２πＲ　 　　　 Ｆ＝ μ０ＨＡＩＢ ｌＢ＝ ＢＡＩＢ ｌＢ＝ローレンツ力

ビオ・サバールの法則 ４πｒ２ ｄＢＡ＝μ０ｄＨＡ d F ＝ ( ｋωβρＡρＢ ｌ Ｂｓｉｎ３θ／Ｒ２) d ｌＡ 　　ビオ・サバールの法則 d F ＝ ( ｋωβρＡρＢ ｌ Ｂｓｉｎ３θ／Ｒ２) d ｌＡ 　　 ＝ （ ｋＩ Ａ Ｉ Ｂ ｌ Ｂ ｓｉｎθ／Ｃ２ｒ２ )　d ｌＡ 　　　 ＝ μ０（Ｉ Ａ d ｌ Ａｓｉｎθ／４πｒ２) Ｉ Ｂ ｌ Ｂ　 　　微小部分に流れる電流と相手電流に及働く磁気力 ｄ Ｆｍ＝ μ０（ｄＨＡ) Ｉ Ｂ ｌ Ｂ 　　２式を比べて 　　　　　　　　　　　ＩＡd ｌＡ 　　　　ｄＨＡ＝ーーーーーｓｉｎθ 　　　　　　　　　４πｒ２ 　　　　　ｄＢＡ＝μ０ｄＨＡ

ビオ・サバールの法則と 相対論的すれ違い効果 一般解

Fローレンツ＝－（ω・β）Fクーロン ＝－ω β Fクーロン ｃｏｓφ 相対論的すれ違い効果の一般式 Fローレンツ＝－（ω・β）Fクーロン ＝－ω β Fクーロン ｃｏｓφ

相対論的すれ違い効果を ローレンツ力へ書き換える 相対論的すれ違い効果を 　　　ローレンツ力へ書き換える │ｄ２Ｆローレンツ│＝ωβｄ２Ｆクーロンｃｏｓψ 　　　　ｋｑβｑω 　　　＝ωβ───── ｃｏｓψ 　　　　　ｒ２ 　　　　ｋｃβρβｄｌβｃωρωｄｌω 　　　＝─────────────ｃｏｓψ 　　　　　　　 ｃ２ｒ２ 　　　　　ｋＩβＩωｄｌβｄｌω 　　　＝─────────ｃｏｓψ　（Ｉβ＝ｃβρβ、Ｉω＝ｃβρω ） 　　　　　ｃ２ｒ２ 　　　　　μ０ＩβＩωｄｌβｄｌω 　　　＝──────────ｃｏｓψ・・5-4 　　 　　　　４πｒ２

ビオ・サバールの法則を用いると ──────────ｃｏｓψ ４πｒ２ ＝μ０─────Ｉωｄｌωｃｏｓψ ４πｒ２ ｄBβ 　　μ０ＩβＩωｄｌβｄｌω ──────────ｃｏｓψ 　　４πｒ２ 　　　　　　　　　Ｉβｄｌβ 　　 　　　＝μ０─────Ｉωｄｌωｃｏｓψ 　　 　　　４πｒ２ 　　　　　　　ｄBβ 　　　＝ ─────Ｉωｄｌωｃｏｓψ 　　　　　　　　ｓｉｎθ β 　　　　　　　ｄBω 　　　＝ ─────Ｉβｄｌβｃｏｓψ 　　　　　　ｓｉｎθ ω

２）２素片線間距離（Ｒ∥）方向 Ｒ │ｄ２Ｆローレンツ│──＝ ｒ μ０IβＩωｄｌβｄｌω Ｒ ＝───────── ─ ｃｏｓψ 　　　 Ｒ 　│ｄ２Ｆローレンツ│──＝ 　　　 ｒ 　　　 μ０IβＩωｄｌβｄｌω Ｒ 　　　＝───────── ─ ｃｏｓψ 　　 　　 ４πｒ２ ｒ 　　　 　　　 Ｒ 　　　＝ ｄＢβＩωｄｌω ────── ｃｏｓψ 　　 　　 　　　 　　 ｒ ｓｉｎθ β

ビオ・サバールの法則から得られるローレンツ力 １）一般方向 　　Iβ 　ｒ ｄHβ＝────（── ×ｄｌβ ）・・5-1 　 ４πｒ２ 　 ｒ ｄ２Ｆ ＝ μ０ｄＨβ ✕Ｉωｄｌω μ０ＩβＩω ｒ ＝─────（── ×ｄｌβ ✕ｄｌω ）・・・・5-2 ４πｒ２ ｒ

２素片線間距離方向 │ｄ２ＦＲ │＝ │μ０ｄＨβ∥ ✕Ｉωｄｌω│ ｄＨβ∥ ＝│μ０ｄＨβ ─── ✕Ｉωｄｌω│ ｄＨβ │ｄ２ＦＲ │＝ │μ０ｄＨβ∥ ✕Ｉωｄｌω│ 　　 ｄＨβ∥ ＝│μ０ｄＨβ ───　✕Ｉωｄｌω│ 　　ｄＨβ 　　 μ０Iβ 　　 ｓ 　Ｒ 　＝────ｄｌβ─・　─　Ｉωｄｌωsin(90―ψ) 　　 ４πｒ２ 　　 ｒ ｓ μ０IβＩωｄｌβｄｌω Ｒ ＝────────── ──ｃｏｓψ・・・・・・5-3 　　４πｒ２ ｒ

ビオ・サバールの法則と相対論的すれ違い効果 ↑両者は２素片距離R方向で一致する↑

ビオ・サバールの法則の欠陥 磁界ベクトルと電流素片ベクトルの外積としてのローレンツ力の方向は磁界を作る側の電流素片の方向を向いていない。同様に磁場と電流素片を入れ替えても、その力も磁界を作る側の電流素片の方向を向かない。 結果、ビオ・サバールの法則で示される電流素片同士に働く力には 作用反作用の法則が成立していない。 → ビオ・サバールの法則の欠陥

円形電流同士の 相対論的すれ違い効果

円形電流同士に働くローレンツ力

１）ビオ・サバールの法則による導出 設定 下円形導線電流 Ｉω、Ｂ点素片 ｄｌω 上円形導線電流 Ｉβ。、Ｅ点素片 ｄｌβ、 下円形導線電流　Ｉω、Ｂ点素片　ｄｌω　 上円形導線電流　Ｉβ。、Ｅ点素片　ｄｌβ、 電荷　ｑω＝ρωｄｌω、　ｑβ＝ρβｄｌβ　（ρ＝電荷密度） Ａ点を原点、円との接線右方向を基準線とする。また２素片間距離　ｒ（＝ＢＥ）、 ∠ＡＯＢ＝２θ、　∠ＡＢＤ＝θ　ｄｌβ＝２Ｌｄθ、 ∠ＤＢＥ＝ビオ角度φ ｓｉｎφ＝ＤＥ／ＢＥ＝ＤＥ／ｒ

　　　　　　　　IＢｄｌＢＤＥ 　　 ｄＨＢ＝───────　・・・・・5-6 　　　 ４πｒ３ Ｅ点素片単位ベクトルとの外積のＲ∥方向成分は 　（Ｒ／ＤＥ）ｃｏｓ２θ　であるから 　ｄＦ＝μ０ｄＨＩＥｄｌＥ(Ｒ/ＤＥ)ｃｏｓ２θ 　　 μ０ＬＲIωＩβｄｌβ 　＝──────────ｃｏｓ２θｄθ・5-7 　　　　　２πｒ３ Ｅ素片はすべて同条件だから　∫ｄｌβ＝２πＬ 　μ０Ｌ２ＲIωＩβ ∴ ｄＦ＝───────ｃｏｓ２θｄθ・5-8 ｒ３ 　　 π 　ｃｏｓ２θ 　Ｆ＝μ０Ｌ２ＲIωＩβ　∫　─────── 　ｄθ・5-9 　　　 ０ ｒ３

２）すれ違い効果による導出 5-4式で円形電流同士の場合ψ＝２θ となるので平行電流と同じ考え方で μ０Ｌ２ＲIωＩβ 　となるので平行電流と同じ考え方で 　　μ０Ｌ２ＲIωＩβ ｄＦ＝－───────　ｃｏｓ２θｄθ・5-9 　　ｒ３ これはビオサバールの法則と一致する。

円形電流同士に働くローレンツ力 円形電流同士に働く互いの距離方向の ローレンツ力は、互いの素片同士が最も 近いところの影響がほとんどである。

Ｒ⊥方向 は周回積分で消える ※ ビオ・サバール ｄ２Ｆ⊥ =√ｓ２－Ｒ２＝２Lｓｉｎ２θ、ψ＝２θ Ｒ⊥方向　は周回積分で消える 　　※　ビオ・サバール　 　 ｄ２Ｆ⊥ =√ｓ２－Ｒ２＝２Lｓｉｎ２θ、ψ＝２θ 　 ｒ２＝４Ｌ２ｓｉｎ２θ＋Ｒ２を5-6に代入 　　　 　２μ０IβＩωｄｌβｄｌLｓｉｎ２θ 　　 　───────────────cos２θ 　　 　４π（４Ｌ２ｓｉｎ４θ＋Ｒ２）３／２ 　　この式と ｄｌβ＝２Ｌｄθからθについて周回積分を行いｄＦ⊥を求めるが、これは解けていない。 　　しかし次の　ｄｌβについての周回積分　で求める総合力Ｆはベクトル量であり　円の対称性　からすべての力が打ち消し　Ｆ⊥＝０　になる。

Ｒ⊥方向　は周回積分で消える ※ 相対論的すれ違い効果は２つの電流素片間 に働く力であり 作用反作用の法則は成立。 またＲ⊥方向でｄ２Ｆ⊥は5-7式より μ０IβＩωｄｌβｄｌω・４Ｌ２sin２θ ───────────────cos２θ ４π（４Ｌ２sinｎ４θ＋Ｒ２）３／２ でありｄＦ⊥への積分は難しいが、ｄＦ⊥ からＦ⊥へ の周回積分で Ｆ⊥＝０ になることは ビオ・サバールの法則の場合と同様である。

円形電流と直線電流の 相対論的すれ違い効果

円形と直線電流間に働くローレンツ力 円の中央に直線電流素片を置いた時を考える →円電流からの距離ｒが一定で扱いやすい（ｒ＝一定）

１）Ｒ⊥方向（円電流の面に垂直な方向） 　　　　ＩωＩβｄｌβＬ 　　Ｒ ｄＦ＝－μ０―――――― ― cos(90+θ) 　　　４πｒ２ 　　 ｒ －cos(90+θ)＝sinθであり θ＝０～πで斥力、 π～２πで引力となる。 円電流は全く対称形で一周で打ち消し０ 　（ 周回　∫ sinθ ｄθ ＝ [－cosθ] ＝０ ）

①直線電流方向 ②直線電流垂直方向 に分けて考えると ①直線電流方向 ＩωＩβｄｌβ Ｌ２ ｄＦ＝ーμ０――――――sinθ cosθ ｄθ Ｒ⊥方向（円電流面に平行な方向） 　 ①直線電流方向　②直線電流垂直方向　 　に分けて考えると ①直線電流方向 ＩωＩβｄｌβ Ｌ２ ｄＦ＝ーμ０――――――sinθ cosθ ｄθ ４πｒ３ １ ∫ sinθ cosθ ｄθ＝――∫sin２θ ２ 電流方向の周回積分＝０となり力は働かない。

２）Ｒ⊥方向（円電流の面に平行な方向） ②直線電流垂直方向 ＩωＩβｌωｄｌβ Ｌ２ ｄＦ＝ーμ０―――――――sin２θｄθ ４πｒ３ １ 　∫ sin２θ ｄθ＝――∫(１-cos２θ)ｄθ 　　　　　　　　 ２ 電流垂直方向の周回積分＝π となり の左手の法則に従う方向に力が働く。その力は 　　 ＩωＩβｌωｄｌβ Ｌ２ 　　ｄＦ＝－μ０――――――・・・5-11 　　 ４ｒ３ 　 相対論的すれ違い効果から直線電流に働く水平方向(フレミングの左手の法則に従う)の アンペールの力(ローレンツ力)が導かれた。

フレミングの左手の法則

ローレンツ力 （F=qｖB)　と 相対論的すれ違い効果

６．ローレンツ力 （Ｆ＝ｑｖＢ）

ローレンツ力 （Ｆ＝ｑｖＢ） －β ＋０＝－γβ －β －ω＝γβγω(１+ωβ) 総和＝－γβ ＋ γβγω(１+ωβ) ローレンツ力 （Ｆ＝ｑｖＢ） 　　－β　＋０＝－γβ 　　 －β　－ω＝γβγω(１+ωβ) 総和＝－γβ ＋ γβγω(１+ωβ) ≒－１ －β２／２ + １ + β２／２ + ω２／２ + ωβ ＝ω２／２＋ωβ≒＋ωβ （∵β≫ω）

ｑ＝ρｄｌ、ｋ／ｃ２＝μ０／４π を用い 　　　　　　 　ｋｑωｑβ ｄＦ＝ωβＦクーロン＝　ωβ――――― 　　　　　　　 ｒ２ 　　　　　μ０ｃωｃβｑβρωｄｌω 　＝――――――――― 　　　４πｒ２ 　　　 ｃωρωｄｌω 　＝ｑβｃβ（μ０―――――――） 　　　　　　　　　　　　　４πｒ２ 　　　 Ｉωｄｌω 　＝ｑβｃβ（μ０―――――） 　　　　　　　　　　　　４πｒ２ 　＝ｑβｖμ０ｄＨω＝　ｑβｖｄＢ ω

磁場を用いたローレンツ力と全く同じ力が得られた。なお円形電流の他の部分の影響は方向の違いから小さくなるが、曲がることによって最大関与の素片の位置も移動し力を与える素片も変化する。この繰り返しと遠心力との釣り合いで電荷は円形電流と並行な円運動を引き起こす。

電磁石の透磁性と 相対論的すれ違い効果

透 磁 性 コイルに電流を流すと磁場が生じる。そこに鉄心を入れると磁束密度が強大になる。 透　磁　性 　　コイルに電流を流すと磁場が生じる。そこに鉄心を入れると磁束密度が強大になる。 　　これは鉄心中の電子がスピンをそろえ透磁率を増すからと説明されている

例えば鉄イオンにおいて、その周りを回る核外電子は光速を無視できないほど速い。これに対しコイル中の自由電子は人の速歩ほどである。とすれば前節の　　ローレンツ力が鉄イオン中の核外電子にも働く。 　コイル電子と同方向にはコイルからの引力、コイル電子と逆方向にはコイルからの斥力として。これらの力は図１２下の通電瞬間から安定時へのように回転方向を揃える理由となる。

水素分子の共有結合と 相対論的すれ違い効果

＋　　＋　： 　　ｋｑ２／ｎ２ ＋　　－　： ー２ｋｑ２ｎ／（１＋ｎ２）３／２ ー　　ー　： 　　ｋｑ２ｎ／（４＋ｎ２）３／２

距離：陽子同士　ｎ、電子同士√４＋ｎ２　 陽子電子　√１＋ｎ２ 電子速度：ともにβで同方向に回転とする クーロン力（原子同士引き合う方向へ換算）： 　陽子同士　　　　＋１／ｎ２　 　　　　　　　　　 －２γ 　ｎ 　陽子電子２組 ―――――・――――― 　 １＋ｎ２ √１＋ｎ２ ＋γ２（１＋β２） 　ｎ 　電子同士 　　――――――・―――― ４＋ｎ２ √４＋ｎ２ 　　この総和を縦軸に、ｎを横軸にとったものを 次図上に示す。また総和を通分したときの分子 の関係を次図下に示す。

水素の共有結合 Ｈ２ 共有結合の水素原子中心間の距離は１．６８Ｒのとき、引力も斥力も消える。 水素の共有結合　Ｈ２ 共有結合の水素原子中心間の距離は１．６８Ｒのとき、引力も斥力も消える。 またそれより短くなれば斥力が働き、長くなれば引力が働いて１．６８Ｒへ戻す。 ２原子中心点間距離はｎ＝１．６８のとき最も安定である。 　　半径Ｒの球が接する距離は２Ｒでありそれより互いに重なったところで結合が安定している。これは共有結合と考えていい

水素の共有結合　Ｈ２ 斥力が働く→　　安定　　←引力が働く