４次元時空間（複素数）と ミンコフスキー時空間（実数）の差異 日本物理教育学会　九州支部総会　 長崎県立小浜高等学校　山本文隆 ＶＳ 　複素時空間（複素数）　　　　　　　ミンコフスキー時空間（実数）

スペースライクとタイムライクの範囲 ミンコフスキー時空間 　　　　（実数時空間）

固有時 への疑問 ｄτ＝ｄｓ／ｉｃ 「空間と時間の物理学」(恒岡美和) では固有時間τの変化を １ 固有時　への疑問 「空間と時間の物理学」(恒岡美和) では固有時間τの変化を 　ｄτ＝ｄｓ／ｉｃ 　 　 １ 　　　＝──√ｄｘ２＋ｄｙ２＋ｄｚ２＋(ｉｃｄｔ)２ 　 　　ｉｃ 　　　　　　　４次元複素時空間　スペースライク 　 　 ｄｔ ｄｘ　　 ｄｙ　　 ｄｚ 　 　＝──√(── )２＋(── )２＋(── )２－ｃ２ 　 ｉｃ ｄｔ　　 ｄｔ　　 ｄｔ 　　　　　　　４次元ミンコフスキー時空間 　　　　　　　　　　　　　　　　スペースライク 　 ｄｔ ｖ　 ｄｔ 　 ＝──√ｖ２－ｃ２ ＝ｄｔ√１－(─)２ ＝── 　 ｉｃ ｃ γ 　　　　虚数　 虚数　　　　　実数　　　実数 　　　　　　　　　　　タイムライク

”全ての系に共通にそれぞれ個々に流れる時間 と説明してある。 固有時間　の　４次元複素時空間　での定義 　　 　ｖ 　 γ＝１／ √１－(─)２ (＝１／√１－β２）（ｖは物体速度） 　 　　 　 ｃ として全ての系に 　 　 ｄｔ ｄｔ’ ｄｔ” 　　ｄτ ＝── ＝ ── ＝ ── ＝・・・ 　 　 γ 　 γ’ 　 γ” の関係があり、このｄτを固有時と定義し ”全ての系に共通にそれぞれ個々に流れる時間 と説明してある。

双曲線の性質 双曲線とピタゴラス三角形 ａｏ２=ｂｄ２-ｂｏ２ =ｂｄ２-β２ｂｄ２ =ｂｄ２(１-β２)＝Ｒ２ ｂｄ＝γＲ、ｏｂ＝γβＲ 双曲線の性質　双曲線とピタゴラス三角形 ａｏ２=ｂｄ２-ｂｏ２ 　　　　=ｂｄ２-β２ｂｄ２ 　　　=ｂｄ２(１-β２)＝Ｒ２ 　従ってγ＝ １／√１－β２ として ｂｄ＝γＲ、ｏｂ＝γβＲ 　点ｄ（ｃｔ，ｘ） 　　　＝ｄ（γβＲ、γＲ）

２次元ミンコフスキー時空 ｃｔ２－ｘ２＝ｓ２　単位時間双曲線 ｘ２ －ｃｔ２＝ｓ２ 単位距離双曲線 　　ｃｔ２－ｘ２＝ｓ２ は 　　ｃｔ２＝ｘ２＋ｓ２ 　　と考えてもいい。　

ローレンツ変換係数の関係 β：各慣性観測系同士の速度、対光速ｖ／ｃ １）γ=１／√１－β２)変形 （γ＝１／α ＞１） １＋γ２β２＝γ２ 　　　（γ＝１／α ＞１） 　１＋γ２β２＝γ２　 １＋ｔａｎ２θ＝１／ｃｏｓ２θ　 　γ２（１－β２ ）＝１ ２）α＝√１－β２）変形　 　　　（α＝１／γ ＜１） 　α２＋β２＝１　　 ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎ２θ　＝１　　

ローレンツ変換係数　　と　 三角関数 双曲線関数　 三角関数三平方の定理 のγ倍 ＝ 双曲線関数

変換係数 と 三角関数 と 双曲線関数 ｃｏｓｈ２φーｓｉｎｈ２φ＝１ 変換係数 三角関数 双曲線関数 １ 変換係数　と　三角関数　と　双曲線関数　　 変換係数　　　　　三角関数　　　　　　　 双曲線関数 　　　　　　　　　　 １ β２＋α２＝１ ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝１ ｔａｎｈ２φ＋───── ─ ─ ＝１ 　　　　　　　　　　　 ｃｏｓｈ２φ 　 １ 　↓　γ２倍　＝　　 ↓　───── ─ 　倍　 ＝　　 ↓　ｃｏｓｈ２φ倍 　 ｃｏｓ２θ 　　　　　　　 １ γ２β２＋１ ＝γ２ ｔａｎ２θ＋１＝───── ─ 　ｓｉｎｈ２φ＋１＝ｃｏｓｈ２φ 　　　　　　　 ｃｏｓ２θ 　　　　ｃｏｓｈ２φーｓｉｎｈ２φ＝１

ハイパボリック関数の定義からの三角関数の導出

ＶＳ 複素時空間 ミンコフスキー時空間 ４次元 ｓ２＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＋ｉ２ｃ２ｔ２ ｓ２＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ーｃ２ｔ２ ４次元　ｓ２＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＋ｉ２ｃ２ｔ２　ｓ２＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ーｃ２ｔ２ ３次元　ｓ２＝ｘ２＋ｙ２＋ｉ２ｃ２ｔ２　　　　ｓ２＝ｘ２＋ｙ２ーｃ２ｔ２ 　　　　　　　　　　　球　　　　　　　　　　　　双　曲　筒 ２次元　ｓ２＝ｘ２＋ｉ２ｃ２ｔ２　　　　　　　ｓ２＝ｘ２ーｃ２ｔ２ 　　　　　　　　　　　円　　　　　　　　　　　　双　曲　線 ＶＳ 　　　　複素時空間　　　　　　　ミンコフスキー時空間

ミンコフスキー時空、光世界線の上下左右 （２次元） ミンコフスキー時空、光世界線の上下左右 　（２次元） ｓ２＝ｘ２ーｃ２ｔ２　＞０　　スペースライク　左右双曲線群 　　　ｘ２ーｃ２ｔ２　＝０　　　　　　　　　　光世界線 ｓ２＝ｃ２ｔ２ーｘ２　＞０　　タイムライク　 上下双曲線群

スペースライクとタイムライクの範囲

ミンコフスキー時空、光円錐の内外（３次元） ｓ２＝ｘ２＋ｙ２ーｃ２ｔ２　＞０ 　スペースライク　光円錐外側 　　　ｘ２＋ｙ２ーｃ２ｔ２　＝０ 　　　　　　　　光　円　錐 ｓ２＝ｃ２ｔ２＋ｙ２ーｘ２　＞０ 　タイムライク　 光円錐内側

ミンコフスキー時空間 双曲筒 ｓ２＝ ｘ２＋ｙ２ーｃ２ｔ２ 双曲皿 ｓ２＝ ｃ２ｔ２－ｙ２ーｘ２ 把握空間 静止者発信 双曲筒　ｓ２＝ 　ｘ２＋ｙ２ーｃ２ｔ２ 双曲皿　ｓ２＝ 　ｃ２ｔ２－ｙ２ーｘ２ 把握空間 　静止者発信 　ｘ２＋ｙ２＝(ｃｔ+ｓ)２ 　運動者発信 　（ｘ＋γβｓ）２＋ｙ２ 　　＝ （ｃｔ＋γｓ）２

世界円筒 ←Ｓ 系 Ｓ‘系 ↓ Ｓ 系 静止 ｓ２ ＝ｘ２＋ｙ２ 運動 ｓ２ ＝γ２(ｘ－βｃｔ)２＋ｙ２ Ｓ‘系 世界円筒 ←Ｓ　系 　Ｓ‘系　↓ Ｓ　系 　静止 ｓ２ ＝ｘ２＋ｙ２ 　運動 ｓ２ ＝γ２(ｘ－βｃｔ)２＋ｙ２ Ｓ‘系 　運動 ｓ２ ＝γ２(ｘ‘＋βｃｔ’)２＋ｙ‘２ 　静止 ｓ２ ＝ｘ‘２＋ｙ’２

右下：角度変換、速度変換による

右下　ローレンツ変換による

世界円筒の式 その断面と ローレンツ変換 ｘ２＋ｙ２＝ｓ２ γ２(ｘ’+βｃｔ’)２＋ｙ’２＝ｓ２ 世界円筒の式　その断面と　ローレンツ変換 ｘ２＋ｙ２＝ｓ２ 　　　　　　　　　　γ２(ｘ’+βｃｔ’)２＋ｙ’２＝ｓ２ 　　　　　　　　　γ２（ｘ－βｃｔ）２＋ｙ２＝ｓ２　　　　　　　　　　　ｘ’２+ｙ’２＝ｓ２ ｘ－ｙ断面　　　　　　　　　　　　　　ｘ‘－ｙ’断面　 ｘ２＋ｙ２＝ｓ２　　　γ２ｘ２＋ｙ２＝ｓ２ 　 γ２ｘ‘２+ｙ’２=ｓ２　ｘ‘２+ｙ’２=ｓ２

光円錐の重ね合せ 把握空間 または 力線空間

把　　握　　空　　間 往復の光信号で知ることができる空間の最大範囲

距離双曲筒　と　時間双曲皿