Interferometry and Synthesis in Radio Astronomy 3.1章 レポーター　佐藤一樹

3章　干渉計の信号の解析 この章では角度が小さいと仮定をしないときの干渉計の信号の 2次元解析を紹介する、観測した値から実際の強度分布にする 簡単なやり方を考えていく。

3.1章 強度とビジビリティのフーリエ変換の関係 3.1章　強度とビジビリティのフーリエ変換の関係 アンテナが光源を追っているSec2.3で紹介した位置にいるとき の単位ベクトルをs０とする。(Fig3.1) この位置は描く地図の真ん中になる。 s０ + σの位置にある立体 角dΩの光源は、アンテナに1/2 A I dv dΩ の電力をもたらす。 Fig2.5も参考になりそう

（2.2式） から、出力は受信した電力・フリンジの項cos(2πνtτ)に比例す る。 また ντg = Dλ・s = Dλ・(s0 + σ)　　 Dλは波長で測定した基線長

干渉計からの出力は dΩでの積分は光源が空間的にコヒーレントではないという仮定 で行う 標準評価パターンAN(σ)=A(σ)/A0 、修正強度分布A_N(σ) I(σ) を導入する。

ビジビリティは 虚数と実数を分離して また（3.1式）から

相関器の出力は参照点であるs0方向を基準としたフリンジのパ ターンによる。（ s0はだいたい光源の中心に設定する。） νの係数と位相は、振幅とフリンジの位相に等しい。位相は仮 定的な光源ではフリンジの位相と一致する。定義より、νの単 位はフラックス密度で、強度Iのフーリエ変換と一致する。

座標系は右のFig3.2のようなものを考える。 基線ベクトルの光度は観測する中心周波数の波長で測定され、基線は右手系の座標系で(u,v,w)の要素を持つ。空間の項νは北向き、uは東向きと定められている。wは天体の方向s0方向となっている。 天体の強度分布は強度分布I(l,m)となる。ここでl,mは軸u,vの余弦成分である。

定義した座標系を使って、 (1-l2-m2)0.5は、三次元でのnの余弦成分に等しい。また、 Dλ・σ = Dλ・s –Dλ・s０ これらを使って、(3.2式は) （次ページ）

(3.7式)のANIはl2+m2≧1で0 観測領域の外側ではかなり小さくなるので、積分範囲を±∞と設定してよい。 （3.7式)では角度が小さいという仮定をしていないことに注意。

l,mの座標系 強度分布を求めるのに便利 Fig3.3（下図）のように天の投影のtanを取ったもの

(l,m)からの距離はアンテナの向きの同位角のsinに比例する 角度が小さいので、同位角そのものに比例することとなる。

w=0の向きでできれば、(3.7式)はただの2次元のフーリエ変換の形になる。（一般にはそうはならない） マッピングをするには広い領域にわたってu,v平面を観測することが必要 これは地上のアンテナではアンテナ間の長さや向きを変え、地球の回転に合わせて目標を追っていくことで達成される。回転によりDλの投影がu.v平面上で動く。そのため観測はおおむね6-12時間続けられる。 地球の回転がアンテナを空間的に動かし、ベクトルDλが回転軸に対して平行な成分を持っていなければ基線ベクトルは平面上にとどまる。それは地球上で基線が東西に並んでいるときとなる。

l,mが十分小さければ となるからこの項が無視できる。よって(3.7式)は、次のように書き換えられる。 l,mが一定の範囲内ならばν(u,v,w)はwに対して独立だと近似ができ、逆変換は

この近似を使うとwに関する項がなくなるのでν(u,v,w)をν(u,v)と省略することがよくある。 (3.10式)はVan Cittert–Zernike の定理の形で、本来光学から生まれた式。　→詳しくは14.1章で

(3.9式)の近似では、位相の誤差を2πとしているが実際はπ(l2+m2)w この誤差の耐えられる制限は大まかに次のようになる。アンテナが光源を低い仰角で追っているとき、Fig3.4のようにwの値がDλに近づく。また、空間的な周波数が平等に外へ飛ばされているとき、総合的なビームサイズθBはDλの-1乗に近似できる。よって位相の誤差の最大値は 位相の誤差が大きくないときは 平等に外へ飛ばされているときってどういうとき？？

望遠鏡が東西の直線上のみにある時を考え、w=0とできるときについて議論する。

まず(u,v,w)の座標系をu軸まわりで、Fig3 まず(u,v,w)の座標系をu軸まわりで、Fig3.5のようにw軸が天体をむくまで回転させよう。回転系で測った値に注目する。(u’,v’)平面は地球の赤道に平行。東西方向のアンテナも地球の回転に合わせてこの平面上にある。 u’,v’座標系を使って l‘,m‘はu’,v’で測定した方向のcosの値。 逆変換は

この観測では半球はFig3.5のように天頂の平面にtanを取って投影される。 領域の広がりや光源の動きに対しては次のような座標変換を行う。 F(l’.m’)を左辺で書くと(3.14式)は ⇄はフーリエ変換の意味。 なんで左手系で書きたいのかわからない・・・F(l’.m’)を左手系で書くと(3.14式)は

(3.17式)の(u,v,sinδ0)の右辺は(u,v)平面への投影を表していて、これが(α0,δ0)の方向である。(u,v,w)の座標系ではu=u’,v=v’ sinδ0となる。Fig3.5ではw=-v’ cosδ0となる。 これらより(3.14式は) (3.10)を求めるとき(3.8)の一部の項を無視したのと同じやりかたをつかった。

(3.10)の項を省略する東西方向の望遠鏡での観測方法を適応すれ ば、位相の誤差が mの定義をm’’に変える。m”は赤道面のv’軸で 方向のcosを取ったものなので、南北の角度のスケールに大きな変 化が生じる。 ビジビリティが(u,v,w)平面に投影されたとき、wはuとvの線形で表される 位相の誤差π(l2+m2)wはu,vの線形で書ける 生じた誤差は座標変換で修正することができる。

Fig3.5よりすべての観測が(u,v)平面上で行われれば(u,v)平面上でのvは天の赤道上に近づく。このような方向で2次元の分析を得るにはアンテナが地球の軸に平行である必要がある。 →5章で詳しく 地球の回転の効果は(u,v,w)空間に分布し、観測時間が短くない限りは平面上には収まらない。 しかし100MHz以下の低周波域ではいくつかのテクニックを使って観測することができる。 （次ページ）

（3.7式）は3次元のフーリエ変換として書ける。強度分布は 単位体積の表面で書ける。 大きい領域の地図は小さいものをモザイクのように合わせて 作る。それぞれの地図の中心は同じ単位で取らなければなら ない。 ほとんどの地上のアンテナはほぼ平面に建設されているので 短時間の観測の間はほぼ同一平面上となる。数時間の観測も 座標系を調節してこれの連結をすることによってやることが できる。

Vocabulary P68 simplification 簡素化 appendix 追加、付加、付録 solid angle 立体角 proportional 比例する p69 spatially 空間的に modify 修正する p70 corresponding to ～に応じた nominal 名ばかりの? modulus 係数 p71 geometric 幾何学の coordinate system 座標系 axis 軸 p72 with respect to ～に関して projection 投影 celestial 天の corresponding angles 同位角 synthesis 総合

p73 omit 省略する、省く subsume 包摂する desire 望む elevation angle 仰角 p74 evenly 平らに、平等に sweep out 掃き出す p75 concentric with 同心円をなして、中心を共有して project onto 投影する、 映す vicinity 近く、付近 ascension 昇天 declination 下降 compress 圧縮して follow from 当然の 結果として～なる p76 derivation 導出 scheme 計画、案 distort ゆがめる、曲げる progressive 進歩的な、革新的なhence このゆえ foreshorten　縮小する resolution 決 断、分析 terrestrial 地球上の p77 implementation 実行