東邦大学理学部情報科学科 白柳研究室 5514045 五味渕真也 (m,n)ウーラム数と その未解決問題 東邦大学理学部情報科学科 白柳研究室 5514045　五味渕真也

(m,n)ウーラム数の定義 2つの自然数(m,n)から始めて、それまでに出てきた異なる二項のただ1通りの和になるような数を選んで自然数の増加列を構成する。 　例）2つの自然数：(1,2) 　　　　3=1+2　　　　　　・・・・〇 　　　　4=1+3　　　　　　・・・・〇 　　　　5=1+4,2+3　　・・・・× 　　　（二通りの和で表される数なので×） 　　　　6=2+4　　　　　　・・・・〇 　　　（1+5は5が使えないので×） 　　これを繰り返す。 　　→ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26…

未解決問題 ①1＋2＝3以外に、隣接するウーラム数2個の和がウーラム数になるか。 ②2個のウーラム数の和で「表されない」数は無限個存在するか。 ③隣接するウーラム数のペアは無限個存在するか。 ④ウーラム数の間に任意に大きな間隙があるか。

未解決問題の現状 ①の未解決問題に関しては、第19項と第20項の和がウーラム数になると知られている。 ②の未解決問題に関しては、 　　23,25,33,35,43,45,67,92,94…が記載されている。 　また、清野駿一先輩が大幅に実例を増やした。 ③の未解決問題に関しては、2万項まで計算したが、 　　(1,2),(2,3),(3,4),(47,48) 　　の例以外は見つかっていない。 ④の未解決問題に関しては、事典に記載されていない。

本研究の目的 本研究では、未解決問題に対して、数式処理ソフトMapleを用いて計算機実験を行って法則性を見出し、解決の糸口になるような結果を求めることを目的として、研究を行う。 (1,2)ウーラム数では、③の未解決問題について検証し、(2,3)ウーラム数では、①・②・③の未解決問題について、検証する。

(1,2)ウーラム数 出力例(100個) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102, 106, 114, 126, 131, 138, 145, 148, 155, 175, 177, 180, 182, 189, 197, 206, 209, 219, 221, 236, 238, 241, 243, 253, 258, 260, 273, 282, 309, 316, 319, 324, 339, 341, 356, 358, 363, 370, 382, 390, 400, 402, 409, 412, 414, 429, 431, 434, 441, 451, 456, 483, 485, 497, 502, 522, 524, 544, 546, 566, 568, 585, 602, 605, 607, 612, 624, 627, 646, 668, 673, 685, 688, 690

(1,2)ウーラム数 未解決問題③ 「隣接するウーラム数のペアは無限個存在するか。」 実験結果 　[{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {47, 48}] 　 3万項まで計算した結果、他の例は見つからなかった。 　[1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48]

(2,3)ウーラム数 出力例(100個) 2, 3, 5, 7, 8, 9, 13, 14, 18, 19, 24, 25, 29, 30, 35, 36, 40, 41, 46, 51, 56, 63, 68, 72, 73, 78, 79, 83, 84, 89, 94, 115, 117, 126, 153, 160, 165, 169, 170, 175, 176, 181, 186, 191, 212, 214, 230, 235, 240, 245, 266, 273, 278, 283, 288, 325, 331, 332, 337, 342, 343, 348, 353, 354, 358, 359, 364, 369, 392, 401, 428, 440, 444, 445, 450, 462, 467, 472, 477, 482, 489, 509, 537, 541, 542, 547, 548, 553, 558, 563, 579, 586, 595, 602, 607, 612, 617, 640, 645, 650

未解決問題① 「2+3=5以外に、隣接するウーラム数2個の和がウーラム数になるか。」 実験結果 [5, 8, 325, 444] [2, 3, 5, 7, 8, 9, 13, 14, 18, 19…] […160, 165, 169, 170,…, 283, 288, 325, 331, 332…] […214, 230, 235, 240,…, 428, 440, 444, 445, 450 …]

未解決問題② 「2個のウーラム数の和で『表されない』数は無限個存在するか。」 実験結果(100個) [6, 52, 57, 62, 67, 95, 100, 105, 106, 110, 111, 116, 121, 127, 132, 137, 138, 143, 148, 149, 154, 159, 164, 192, 197, 202, 203, 207, 208, 213, 218, 224, 229, 234, 246, 251, 256, 257, 261, 262, 267, 272, 289, 294, 299, 300, 304, 305, 310, 311, 315, 316, 320, 321, 326, 370, 375, 380, 385, 386, 391, 396, 402, 407, 412, 413, 418, 423, 424, 429, 434, 439, 456, 461, 466, 483, 488, 493, 499, 504, 505, 510, 515, 520, 521, 526, 531, 532, 536, 564, 569, 574, 575, 580, 585, 590, 596, 601, 618, 623]

未解決問題③ 「隣接するウーラム数のペアは無限個存在するか。」 実験結果(50個) [{2, 3}, {7, 8}, {8, 9}, {13, 14}, {18, 19}, {24, 25}, {29, 30}, {35, 36}, {40, 41}, {72, 73}, {78, 79}, {83, 84}, {169, 170}, {175, 176}, {331, 332}, {342, 343}, {353, 354}, {358, 359}, {444, 445}, {541, 542}, {547, 548}, {919, 920}, {1076, 1077}, {1113, 1114}, {1178, 1179}, {1232, 1233}, {1291, 1292}, {1356, 1357}, {1361, 1362}, {1512, 1513}, {1518, 1519}, {1566, 1567}, {1658, 1659}, {1836, 1837}, {1841, 1842}, {1874, 1875}, {1879, 1880}, {1890, 1891}, {1895, 1896}, {2041, 2042}, {2046, 2047}, {2122, 2123}, {2127, 2128}, {2316, 2317}, {2321, 2322}, {2370, 2371}, {2375, 2376}, {2521, 2522}, {2596, 2597}, {2602, 2603}]

まとめ (1,2)ウーラム数における新たな未解決問題について、従来の計算範囲を拡大して検証した結果、他の例は見つからなかった。 (2,3)ウーラム数も同様にそれぞれ検証した結果、「隣接するウーラム数のペアは無限個存在するか」という問題については、(1,2)ウーラム数よりもはるかに多くの例を見つけることができた。

今後の課題 様々な(m,n)ウーラム数での未解決問題を考え、実例を増やし、一般的な証明をする。 計算機実験におけるプログラムの改良を行い、出力時間を短縮させる。 今回取り組めなかった未解決問題についても考える。

ご清聴ありがとうございました。