第３日目第４時限の学習目標 第１日目第３時限のスライドによる、名義尺度２変数間の連関のカイ２乗統計量についての復習 ２変量間の連関の強さの統計的有意性検定の理論と方法を学ぶ。 第１日目第３時限での演習（３）で使ったデータのカイ２乗統計量（イエーツの修正済み）を用いて、当該カイ２乗統計量の統計的有意性検定の演習を行う。

カイ２乗統計量の統計的有意性検定（１） 連関のカイ２乗統計量の復習 カイ２乗統計量の統計的有意性検定（１） 　　　　連関のカイ２乗統計量の復習 第１日目第３時限のスライドを見て、２つの名義尺度間の連関のカイ２乗統計量について復習をしよう。

カイ２乗統計量の統計的有意性検定（２） カイ２乗統計量の理論分布（１） カイ２乗統計量の統計的有意性検定（２） 　　　カイ２乗統計量の理論分布（１） 既に述べた、一般の r ×s 分割表の場合の（ピアソンの）カイ２乗統計量 は、２変量間に関連がない、という帰無仮説のもと で、近似的に自由度 ν=(r-1)(s-1) なるカイ２乗分布に従うことがわかっている。

カイ２乗統計量の統計的有意性検定（３） カイ２乗統計量の理論分布（２）（参考） カイ２乗統計量の統計的有意性検定（３） 　　カイ２乗統計量の理論分布（２）（参考） それでは、一般に、自由度 ν のカイ２乗分布とは、どんな分布であろうか。この理論分布（密度関数）は、つぎのように書かれる：

カイ２乗統計量の統計的有意性検定（４） カイ２乗統計量の理論分布（３）（参考） カイ２乗統計量の統計的有意性検定（４） 　　カイ２乗統計量の理論分布（３）（参考） ここで、Γ（ν/2）　はガンマ関数と呼ばれ、次式で定義される：

カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） カイ２乗統計量の理論分布（３）（参考） カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 　カイ２乗統計量の理論分布（３）（参考） 自由度２以下のカイ２乗分布は、単調な減少関数となる。 一方、自由度が２より大きい場合のカイ２乗分布は右のような図となる。 確率 ν－２ ｘ

カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 永平寺データの例での有意性検定（１） カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 　永平寺データの例での有意性検定（１） つぎに、第１日目に計算した永平寺データの「性と坐禅指導の評価」間の関連性のカイ２乗統計量をもとに、当該２変量間には統計的に有意な関連がみられるかどうかを見てみよう。 そのためには、まず当該分割表の行数が２、列数が３であることを思い出し、カイ２乗分布の自由度が、ν=(2-1)(3-1)=2 となることに注意しよう。 さらに、既に第１日目に見せたように、このデータの期待度数はすべて５以上なのでイエーツの修正は不要であることにも注意しよう。

カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 永平寺データの例での有意性検定（２） カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 　永平寺データの例での有意性検定（２） もし統計ソフトを利用しないならば、つぎのようなカイ２乗分布の棄却点についての数値表を見て、検定の危険率と上記自由度に対応する棄却点の値を読みとり、上記カイ２乗統計量と比較し、 カイ２乗統計量の値が、棄却点の値以上ならば、帰無仮説を棄却する。このことは、性と坐禅の評価の間には有意な関連があることを意味する。 そうでなく、カイ２乗統計量の値が、棄却点の値未満ならば、帰無仮説を採択する。このことは、性と坐禅の評価の間には有意な関連が見られないことを意味する。

自由度 ν の χ2-分布の棄却点の値の読み取り方 α　のこと p ν　　 0.90 0.80 … 0.05 0.01 1 .016 .064 3.841 6.635 2 .211 .446 5.991 9.210 3 .584 1.649 7.815 11.345 ∶ 30 20.599 23.364 43.773 50.892

カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 永平寺データの例での有意性検定（3） カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 　永平寺データの例での有意性検定（3） この表を見ると、明らかにデータから計算されるカイ２乗統計量の値から、性と坐禅の評価の間には少なくとも１％水準で統計的に有意な関連があると言える。 一方、国際的な統計ソフトの１つである SAS の出力を見ると、以下のようになり、両者の間には１％以上の高い水準で、性と坐禅の評価の間には少なくとも１％水準で統計的に有意な関連があることがわかる。

カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 永平寺データの例での有意性検定（４） カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 　永平寺データの例での有意性検定（４） Statistic DF Value Prob Chi-Square 2 17.889 0.000 Likelihood Ratio Chi-square 20.400 Statistic の項の Chi-square の項が、ピアソンのカイ二乗検定結果、Likelihood …の項が、尤度比カイ二乗検定結果である。 通常は、ピアソンのカイ二乗検定の p 値を見る。この例からは、両変数間には１パーセント以上の高い水準で有意な関連性があることがわかる。

カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 永平寺データの例での有意性検定（５） カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 　永平寺データの例での有意性検定（５） いずれにせよ、性と坐禅の評価の間には統計的に有意な関連があることがわかったので、最後に我々は第１日目に示した各セルの実度数、期待度数、セルカイ２乗値を見ながら、どのセルに両変量間の関連性の特徴が顕著に表れているのかを検討すると良い。 その際、注意すべきは、われわれは各セルの実度数のみで当該セルの度数の多少を論じてはいけない、ということである。なぜならば、実度数は各行や各列の合計（すなわち周辺度数）に依存しており、周辺度数の異なる行や列の実度数の単純な比較は問題があるからである。

性と坐禅指導の評価間の分割表情報 厳し 過ぎた 適当 もっと 厳しく 計 男 27 22.0 1.13 275 292.6 1.06 75 　過ぎた 適当 もっと 厳しく 　計 男 　　27 22.0 1.13 275 292.6 1.06 75 62.3 2.57 377 女 3 8.00 3.12 124 106.4 2.93 10 22.66 7.07 137 30 399 85 514 実度数 期待度数 セルカイ二乗

カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 永平寺データの例での有意性検定（６） カイ２乗統計量の統計的有意性検定（５） 　永平寺データの例での有意性検定（６） この表のセルのうち、赤印で示したのは、各セルのセルカイ２乗値の相対的に大きいもの３つである。 これらのセルは、当該分割表のカイ２乗値に対して大きく貢献しているセルであるので、これらのセルの特徴を見ることは、上記目的に合致する。 これらの各セルについて、各セルの実度数が多いか少ないかは、各セルの期待度数と比較すればよい。 例えば、女子で（坐禅指導を厳しすぎたとする）者(３名）は、（期待度数 8 名ほどに比べて）少なかったと言える。

演習９ 演習（２）で作成し、演習（３）で計算した各自の２×２分割表（性と向性）間の分割表のカイ２乗統計量を用いて、性と向性の間の関連性に有無の検定を行え。 帰無仮説の採択または棄却を、さきほどのカイ２乗統計量の棄却点の値を読み取り、決定せよ。 この場合、カイ２乗統計量の自由度は、幾つか。 最後に、統計ソフト SAS を用いて、検算をしてみよう。